Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для симметрично зависимых случайных величин | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 29 июня, печатный экземпляр отправим 3 июля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (197) март 2018 г.

Дата публикации: 15.03.2018

Статья просмотрена: 9 раз

Библиографическое описание:

Мамуров Б. Ж. Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для симметрично зависимых случайных величин // Молодой ученый. — 2018. — №11. — С. 3-5. — URL https://moluch.ru/archive/197/47720/ (дата обращения: 20.06.2019).



В данной работе рассматриваются неравномерные оценки для последовательности симметрично зависимых случайных величин. В работе [1] изучены теоретико-вероятностные проблемы для вероятностных мер со значениями в пространствах измеримых функций. Будем придерживается определения и обозначения этой работы.

Пусть (T,) — измеримое пространство, т. е. множество T с выделенной Ϭ — алгеброй его подмножеств. Через S=S(T,) будем обозначать совокупность всех измеримых относительно Ϭ- алгебры на пространстве T.

Множество S образует алгебру относительно операций точечного умножения, сложения функций и поточечного умножения на скаляр.

Пусть (T,) — вероятностное пространство, т. е. измеримое пространство (T,) с числовой вероятностной мерой , определенной на элементах Ϭ –алгебры Σ.

Обозначим через идеал алгебры S(T,) состоящий из тех функций из S(T,), которые m –п. в. равны нулю.

Фактор алгебру L0(T,) = S(T,)/ обозначим через E.

Через обозначим класс содержащей x. Нуль и единица алгебры E обозначаются соответственно через и 1.

Пусть Ω -непустое множество и F- некоторая алгебра его подмножеств.

Определение 1. E-значной вероятностью на измеримом пространстве (Ω, F) называется Ϭ-аддитивная функция P: F {x, ≤x≤1 }такая, что P(Ω)=1.

Определение 2. Говорят что пространство (Ω, F,P)сE-значной вероятностью P обладает полноты, если M AF, P(A)= , то M F и P(M)= .

Пусть Γ –конечныйили бесконечный класс подмножестве из F.

Определение 3. Множества из Γ называются P — независимыми, если

P() =)

для любого конечного набора { Ai, i=1,2, …,n} различных множеств из Γ.

Пусть — Ϭ — подалгебры Ϭ — алгебры F.

Определение 4. Вероятность P назовем однородной (или E — однородной) если

P(AB)= P(B)

для любого A, BF (I(A)- индикатор события A).

E-значные вероятности со свойством E-однородности возникают при рассмотрении условных вероятностей.

Действительно, пусть (Ω,F,P) –вероятностные пространство с числовой вероятностью Р, G — Ϭ-алгебра в F и : A F (A) ∈ S(Ω, G) — один из вариантов условной вероятности относительно Ϭ-подалгебры G.

Если E= L0(Ω,G,P) –совокупность классов P-эквивалентных случайных величин из S(Ω, G), то условная вероятность определяет на (Ω, F) E-значную вероятность

P(A) = , A F.

В этом случае, E-значное математическое ожидание M=случайной Ω величина есть просто условное математическое ожидание , а E-значная функция распределения P{ < } есть условная функция распределения

() = , .

При этом P- независимость в точности совпадает с понятием условной независимости относительно Ϭ — подалгебры G.

В работа [2] автором получены неравномерные оценки для последовательности P-независимых случайных величин. В случае, когда вероятность P однородный (или E — однородный) как следствие этого результата можно получить следующую неравномерную оценку для последовательности условно независимых случайных величин.

Теорема 1. Пусть (Ω, F,P) — вероятностное пространство с числовой вероятностью P, G- Ϭ — подалгебра F и 1, 2,n,…- последовательность условно независимых случайных величин относительно Ϭ — подалгебры G.

Пусть существуют P-п.в. конечные третьи условные моменты

и =>0 P — п.в..

Тогда |() — Φ() | P- п.в.,

где () = { (1+ 2n)<λ }, Φ()-стандартная нормальная распределения, -абсолютная константа.

Пусть 1, 2,n,…последовательность случайных величин заданных в некатором вероятностном пространстве (Ω, F,P) c числовой вероятностью P.

Определение 4. Последовательности случайных величин 1, 2,n,… назовем симметрично зависимыми, если k-мерная числовая функция распределения

для любого ( инвариантна относительно перестановок индексов ,,…, (индексы ,,…, предполагаются попарно различными).

Для каждого n обозначим через Un Ϭ — подалгебру в F, порожденную случайными величинами n, n+1,и пусть = алгебра в F асимптотических событий последовательности 1, 2,n,….

Вместо Ϭ — алгебры рассмотрим ее P- пополнение , т. е. наименьшую Ϭ — подалгебру в F, содержащую и все множество нулевой вероятности P (сама алгебра F предполагается P- полной).

Для симметрично зависимых случайных величин 1, 2,n,… Ϭ –подалгебра совпадает с Ϭ — алгеброй = , и -Ϭ — алгебра, порожденная событиями, симметрично зависящими от 1, 2,n и произвольно зависящими от n+1, n+2,

Теорема 2. (см. например [1]). Если последовательность случайных величин 1, 2,n,… на вероятностном пространстве (Ω,F,P) является симметрично зависимой, то случайные величины 1, 2,n,… являются условно независимыми и имеет одинаковые условные распределения относительно Ϭ — алгебры асимптотических событий последовательности 1, 2,n,….

Обратно, пусть B- произвольная P- полная Ϭ — подалгебра в F и 1, 2,n,… — последовательность случайных величин на (Ω, F,P), которые условно B; тогда случайные величины 1, 2,n,… симметрично зависимы и = B. В частности, симметрично зависимые случайные величины 1, 2,n,… независимы в том и только в том случае, когда Ϭ — алгебры вырождена.

С помощью этой теоремы, связывающего понятие, симметричной зависимости случайных величин и условной независимости случайных величин с одной и той же условной функцией распределения из теоремы 1 можно получить следующие неравномерные оценки для последовательности симметрично зависимых случайных величин.

Теорема 3. Пусть 1, 2,n,…- последовательность симметрично зависимых случайных величин на вероятностном пространстве (Ω, F,P) и U= -P-пополнение Ϭ — алгебры асимптотических событий этой последовательности.

Предположим, что существуют P-п. в. конечные третьи условные моменты

и =>0 P — п. в..

Тогда |() — Φ() | P- п. в.,

где, () = { (1+ 2n)<λ }, Φ()-стандартная нормальная распределения, -абсолютная константа.

Литература:

  1. Кучкаров Я. Вероятностные распределения со значениями в пространствах измеримых функций. Ташкент, Фан. 1984, 176 стр.
  2. Мамуров Б. Ж. Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для L0 –значных вероятностей. — Докл. АН УзССР, 1985, № 2, с. 3–5.
Основные термины (генерируются автоматически): измеримое пространство, алгебра, величина, вероятностное пространство, вероятность, условная вероятность.


Похожие статьи

Взаимосвязь теории вероятности и случайных событий

Многих интересует вопрос: возможно ли повлиять на случайные события, выявить какую-либо закономерность событий, получить тот результат, который желателен. Все явления, которые окружают нас, происходят и изменяются с какой-то долей случайности, неопределенности.

Визуализация комбинаторных задач теории вероятностей

Визуализация комбинаторных задач теории вероятностей. Комбинаторные способы рассуждения занимают особое место в общей структуре научного мышления, поэтому требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся значительно выше...

О некоторых свойствах вероятностных характеристик

Свяжем абсолютную величину разности вероятностей событий и их зависимость относительно друг друга. Рассмотрим связь между границами применимости определенной вероятности некого события и нахождением этой вероятности в пространстве первой или...

Общая теория уязвимостей компьютерных систем

К сожалению, этиологией и профилактикой наступления вероятностного события мало кто занимается по причине

пространство исходов, либо пространство элементарных событий [5].

Вероятность несанкционированного доступа к данным итеративным путём, используя...

О некоторых непараметрических оценках плотности вероятности...

Сначала рассмотрим непараметрическую оценку плотности вероятности по наблюдениям и изучим асимптотические свойства этой оценки. Пусть (x,y) – случайная величина со значениями в пространстве , а p(x,y)>0 – плотность распределения двумерной случайной...

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана , если существует такая

Следующая теорема описывает линейное пространство. для алгебр фон Неймана, имеющих тип I .

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Пусть (X, φ, ρ) - вероятностное пространство. Здесь φ - минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X, а ρ

Вероятность p определяется в σ-алгебре φ и является функцией множества, а μ(x) есть обычная функция, областью определения которой...

К вопросу о проверке параметрических статистических гипотез...

3. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли. Пусть в испытаниях Бернулли «успех» имел место раз.

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами.

Анализ методов тематического моделирования текстов на...

Вероятностный латентно-семантический анализ — это статистический метод анализа корреляций двух типов данных.

К достоинствам данной модели относительно алгебраических можно отнести возможность нахождения вероятности отношения каждого...

Похожие статьи

Взаимосвязь теории вероятности и случайных событий

Многих интересует вопрос: возможно ли повлиять на случайные события, выявить какую-либо закономерность событий, получить тот результат, который желателен. Все явления, которые окружают нас, происходят и изменяются с какой-то долей случайности, неопределенности.

Визуализация комбинаторных задач теории вероятностей

Визуализация комбинаторных задач теории вероятностей. Комбинаторные способы рассуждения занимают особое место в общей структуре научного мышления, поэтому требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся значительно выше...

О некоторых свойствах вероятностных характеристик

Свяжем абсолютную величину разности вероятностей событий и их зависимость относительно друг друга. Рассмотрим связь между границами применимости определенной вероятности некого события и нахождением этой вероятности в пространстве первой или...

Общая теория уязвимостей компьютерных систем

К сожалению, этиологией и профилактикой наступления вероятностного события мало кто занимается по причине

пространство исходов, либо пространство элементарных событий [5].

Вероятность несанкционированного доступа к данным итеративным путём, используя...

О некоторых непараметрических оценках плотности вероятности...

Сначала рассмотрим непараметрическую оценку плотности вероятности по наблюдениям и изучим асимптотические свойства этой оценки. Пусть (x,y) – случайная величина со значениями в пространстве , а p(x,y)>0 – плотность распределения двумерной случайной...

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана , если существует такая

Следующая теорема описывает линейное пространство. для алгебр фон Неймана, имеющих тип I .

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Пусть (X, φ, ρ) - вероятностное пространство. Здесь φ - минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X, а ρ

Вероятность p определяется в σ-алгебре φ и является функцией множества, а μ(x) есть обычная функция, областью определения которой...

К вопросу о проверке параметрических статистических гипотез...

3. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли. Пусть в испытаниях Бернулли «успех» имел место раз.

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами.

Анализ методов тематического моделирования текстов на...

Вероятностный латентно-семантический анализ — это статистический метод анализа корреляций двух типов данных.

К достоинствам данной модели относительно алгебраических можно отнести возможность нахождения вероятности отношения каждого...

Задать вопрос