Автор: Кузьмина Анна Александровна

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №5 (28) май 2011 г.

Статья просмотрена: 184 раза

Библиографическое описание:

Кузьмина А. А. Синтез наблюдателя для системы с запаздыванием по выходным переменным // Молодой ученый. — 2011. — №5. Т.1. — С. 70-74.

  1. Введение

Разработка алгоритмов автоматического управления часто осложнена наличием запаздывания в модели объекта управления. Запаздывание может быть как по входу (система управления реагирует с запаздыванием на входные воздействия), так и по выходу (система выдает с запаздыванием выходные сигналы).

Одним из наиболее распространенных способов управления такими процессами является создание модели объекта без запаздывания. При этом если задача наблюдения для системы с запаздыванием по входу решена [1], то аналогичная задача с запаздыванием по выходу связана с определенными трудностями ввиду ненаблюдаемости как вектора состояния, так и вектора выходных переменных в текущий момент времени.

Предлагается решение задачи наблюдения для системы с запаздыванием по выходным переменным с использованием блочного метода.

2. Постановка задачи

Рассмотрим случай запаздывания по выходным параметрам:



(1)

где , - вектор состояний, управления и выходного сигнала соответственно, время запаздывания, пара матриц - управляемая и пара матриц наблюдаемая. Для измерения доступен только вектор

Ставится задача наблюдения вектора состояния системы (1).

Если бы была известна величина , то использование наблюдателя состояний вида где привело бы к решению задачи. Однако вектор недоступен для измерения, так как выход системы представляет собой реакцию на предыдущее состояние.

В работе ставится задача восстановления вектора выхода в текущий момент времени.

3. Процедура восстановления вектора выхода в текущий момент времени

Рассмотрим задачу компенсации запаздывания по выходным переменным.

Введем в рассмотрение апериодическое звено с постоянной времени, равной времени запаздывания на вход которого поступает величина y(t). Установим соответствие между y(t) и выходом z(t) апериодического звена:


(2)

Оценим разность:

(3)

при этом полагая

Рассмотрим производную :

(4)


Выражение (4) можно представить в виде:

, (5)

где

Допустим, функция Dx(t) удовлетворяет условию Липшица с постоянной М. Тогда:

(6)


Представим исходную систему как последовательное соединение N элементарных звеньев с запаздыванием эквивалентное исходному звену с запаздыванием [2]:

(7)

где выходные величины соответствующих элементарных звеньев. На вход каждого i-го звена подается выходной сигнал предыдущего, также предусмотрена возможность подачи любого управляющего воздействия.

Сделаем аналогичное представление для апериодического звена запаздывания, разбив его на N элементарных апериодических звеньев с постоянной времени соединенных последовательно. По аналогии с выражением (2) можно записать:

(8)

где выходные величины соответствующих элементарных апериодических звеньев.

Рассмотрим разность

(9)


Согласно (7)

(10)


Как следует из (18),

Таким образом, при возрастании числа апериодических звеньев, выход N-го звена сходится равномерно по дискретизации к выходу реальной системы с запаздыванием. Однако рассогласование никогда не будет тождественно равно нулю при конечном N (что имеет место в реальных системах).

Для достижения сходимости необходимо ввести обратную связь по величине рассогласования

Подадим на вход каждого i-го звена системы (8) управляющее воздействие так, чтобы:

(11)

где - время запаздывания каждого апериодического звена относительно предыдущего, - время запаздывания каждого апериодического звена относительно выхода, - время запаздывания первого звена относительно выхода; пара матриц - управляемая и наблюдаемая.

Управляющие воздействия выбраны в виде:





(12)



где - определены ниже.



После интегрирования система (11) принимает вид:





Сделаем замену переменной i – номер звена. Введем в рассмотрение новый вектор состояния

. (13)

Заменим переменную интегрирования и получим следующую систему уравнений:

(14)



После дифференцирования по времени получаем:



с начальными условиями:

где

Представим систему (14) в векторной форме:

(15)



где - управляемая и пара матриц.

Оптимальное по быстродействию управление системой (15) находится методом поверхности переключений и в общем случае имеет вид:

(16)


Для определения оптимального управления системой (11) необходимо выразить координаты вектора через координаты вектора . С помощью такого оптимального управления будет достигнуто и, в свою очередь, сходимость выхода цепочки апериодических звеньев к выходу реальной системы

Таким образом, удалось восстановить вектор выходных переменных в текущий момент времени и решить поставленную задачу наблюдения.



Литература:
  1. Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. – М.: Наука, 2006. с. 245-250.

  2. Громов Ю.Ю., Земской Н.А. Системы автоматического управления с запаздыванием. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2007.

  3. Furukawa T., Shimemura E. Predictive control for systems with delay// Int. J. Control. 1983. Vol. 37. N 2. p.307-312.

  4. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. – М.: Наука, 1981.

Основные термины (генерируются автоматически): апериодического звена, апериодических звеньев, текущий момент, восстановления вектора выхода, апериодического звена запаздывания, выходу реальной системы, элементарных апериодических звеньев, запаздывания первого звена, текущий момент времени, пара матриц, наличием запаздывания, задачу компенсации запаздывания, вектора состояния, случай запаздывания, координаты вектора, -го звена, задача наблюдения вектора, задача восстановления вектора, вектора выходных переменных, -го звена системы.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос