Библиографическое описание:

Игамбердиев Х. З., Юсуфбеков А. Н. Регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся регуляторов в задачах управления динамическими объектами // Молодой ученый. — 2012. — №1. Т.1. — С. 13-16.


Приводятся регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся регуляторов в задачах управления динамическими объектами на основе ретроспективных и рекуррентных выражений калмановской фильтрации.

Решение задач оптимального управления многими технологическими объектами с использованием их математической модели может быть осуществлено системой управления, работающей на основе принципа компенсации возмущений [1,2]. Принцип управления по возмущению может быть охарактеризован использованием явления компенсации возмущений, математическим выражением которых в настоящее время стали условия инвариантности. Теория инвариантности располагает широкими возможностями для создания высокоточных автоматических систем управления объектами в условиях, когда возмущающие воздействия непосредственно наблюдаемы. К настоящему времени получили дальнейшее развитие прикладные разделы теории управления по возмущению сложными технологическими комплексами, в том числе с применением ЭВМ в комбинированных системах оптимального управления процессами [3,4].

В условиях неконтролируемых возмущений известные методы синтеза инвариантных систем в значительной степени утрачивают свою эффективность. Связано это в первую очередь с необходимостью дополнительного оценивания неизвестных возмущений. Для решения этой задачи при описании системы управления оказывается целесообразным использование моделей возмущений, основанных на концепциях формирующих фильтров и волнового представления. Модели возмущений, основанные на этих концепциях, способны точно описать широкий класс реальных неопределенных возмущений, встречающихся при практическом проектировании систем управления динамическими объектами. Использование указанного подхода к описанию возмущений совместно с современными методами теории управления позволяет получить некоторое многообразие высококачественных регуляторов, обладающих свойствами приспособления к возмущениям [2,5]. Применение такого рода регуляторов позволяет строить многомерные замкнутые системы управления, весьма эффективные в противодействии разного рода временным и постоянно действующим возмущениям, которые сопутствуют реальным системам.

Будем рассматривать управляемую систему, описываемую уравнениями

(1)

(2)

где xn – вектор состояния системы, ur- вектор входных сигналов системы, wp - вектор неизвестных возмущений, приложенных к системе, ym -вектор выходных сигналов системы, и – матрицы соответствующих размерностей.

Возмущающие воздействия wk, фигурирующие в (1), (2), будем определять уравнениями вида

, (3)

, (4)

где z&#; - вектор состояния возмущения wk, – последовательность типа дискретного белого шума, матрицы Hk, Lk, Dk и Mk определяются процедурами построения формирующих фильтров посредством линейных моделей состояния.

В задачах управления динамическими системами мгновенное «состояние» неопределенных возмущений является наиболее важной информацией о возмущениях. В частности, оказывается, что величина мгновенного «состояния» zk неопределенного возмущения wk содержит всю информацию, необходимую для корректного выбора управления в момент времени k, хотя будущее поведение возмущения неизвестно. Этот результат называют «принципом оптимального приспособления к возмущениям» [5].

Общее управляющее воздействие uk представим в виде , при этом на компоненту возлагается задача поглощения возмущений wk, а на компоненту – задача требуемого управления состоянием xk и выходной переменной yk.

Можно показать [5], что условие минимизации влияния возмущений имеет вид:

, (5)

где xk и zk – текущие состояния системы и вектора возмущений.

Для оценивания состояний xk и zk в сформулированных выше условиях можно использовать методы построения наблюдателей состояния неизмеряемых воздействий.

Таким образом, для синтеза регуляторов, минимизирующих возмущения, необходимо решить уравнение (5).

Производя некоторые преобразования относительно уравнения (5) можно написать

, (6)

где , , , .

В уравнении (6) правая часть представляет собой оценки состояния системы xk и возмущения zk, формируемые на основе расширенного оценивателя состояния. В связи с этим обстоятельством уравнение (6) запишем в виде

, (7)

где помеха vk имеет нулевое среднее и неотрицательно определенную ковариационную матрицу Rk, или , где , и .

Практическая реализация указанного подхода приводит к необходимости разработки эффективных вычислительных процедур синтеза приспосабливающихся регуляторов с использованием регулярных методов. Это обусловлено тем, что при решении уравнения (6) могут нарушаться условия устойчивости решения, связанные с возможной плохой обусловленностью матрицы . Поэтому целесообразно рассмотреть различные возможные подходы к решению задач повышения точности вычисления управляющего воздействия методами регуляризации и выявить наиболее перспективные для практического использования методы и алгоритмы решения некорректно поставленных задач.

Рассмотрим задачу оценивания управляющего воздействия приспосабливающегося регулятора при различном объеме априорной информации о уравнении наблюдения объекта. Построение оценки для будем производить при следующих предположениях: априорная информация о векторе задана математическим ожиданием и корреляционной матрицей ; помеха измерения имеет нулевое среднее и корреляционную матрицу ; вектор помехи измерения подчиняется нормальному распределению; матрицы и обратимы. Принятые предположения являются довольно общими и широко используются при решении разнообразных теоретических задач синтеза систем управления динамическими объектами.

В условиях принятых предположений на основе методов статистического оценивания [6,7] можно показать, что оценка может быть определена из системы уравнений вида:

. (8)

Систему (8) можно получить и как первый шаг алгоритма калмановской фильтрации. Однако при решении большинства практических задач априорное распределение вектора неизвестно. Тогда оценку можно найти из следующей системы алгебраических уравнений

, (9)

где – неотрицательно определенная симметричная матрица.

Параметр регуляризации в (9) целесообразно определять на основе способов квазиоптимальности, отношений и взаимной значимости [6,8]. Можно показать [6,7], что если корреляционная матрица помехи измерения допускает представление и выбор параметра регуляризации &#; удовлетворяет условию при , то сходится в среднем квадратическом к при , где – псевдорешение матричного уравнения (7) при точной правой части.

Для повышения точности решения уравнения (7) целесообразно производить последовательную компенсацию смещения оценки. Ошибку решения уравнения (7) обозначим в виде . Здесь вектор характеризует систематическую составляющую ошибки решения, а вектор - случайную составляющую. Для решения , определяемого формулой (9) вектор можно находить из системы уравнений

,

при этом справедливы следующие предельные соотношения

,

где – точное решение уравнения (7).

Ввиду того, что априори точное решение уравнения (7) неизвестно, целесообразно вычислять нулевое приближение вектора на основе выражения вида

.

Тогда регуляризованное решение характеризуется смещением . Такой итерационный процесс уточнения оценки вектора смещения можно представить в виде

Решение можно записать в виде

,

где . Тогда вектор ошибки состоит из двух составляющих: вектора смещения и случайной составляющей . На основании [6,9] можно заключить, что последовательность норм при увеличении j монотонно убывает, а последовательность при увеличении j является монотонно возрастающей. Таким образом, ошибку решения можно уменьшить не только за счет выбора параметра регуляризации, но и путем компенсации смещения регуляризованного решения. При этом формально решение совпадает с «гладким» регуляризованным по А.Н.Тихонову решением при замене . Однако как по алгоритму построения, так и по своей интерпретации «гладкое» решение не связано с возможностью уменьшения ошибки решения.

Уравнение (7) можно также решить методом калмановской фильтрации. Для этого динамическую модель процесса, соответствующего рассматриваемой задаче, представим в виде:

, (10)

, (11)

где - i-я строка матрицы .

В этой модели вектор измерения является одномерным, т.е. скалярной величиной, а сама последовательность измерений ограничена числом проекций N=n+&#;.

Из общих уравнений фильтра Калмана [1,5] следует, что оценка , минимизирующая среднеквадратическую ошибку оценивания, определяется рекуррентным соотношением

(12)

а матрица коэффициентов усиления вычисляется по формулам

(13)

(14)

где - диагональные элементы корреляционной матрицы , характеризирующие дисперсии помехи измерения в i-х точках.

Отметим один важный момент, возникающий при использовании фильтра Калмана в форме (12)-(14). Неточность задания матриц , и ошибки вычисления могут вызвать расходимость фильтра. Суть этого явления заключается в том, что элементы матрицы стремятся к нулю и информация о векторе , заключенная в новых измерениях , не участвует в формировании оценки . Это резко увеличивает ошибку оценивания по сравнению с расчетными значениями матрицы . Здесь для предотвращения процесса расходимости целесообразно использовать адаптивные алгоритмы фильтрации по последовательности скалярных измерений и с обратной связью по обновляемой последовательности [10].

В заключение отметим, что приведенный алгоритм калмановской фильтрации может успешно использоваться при решении задачи оценивания управляющей последовательности в случае как многократного, так и однократного измерения правой части операторного уравнения (7). При этом алгоритм одновременно строит оптимальную устойчивую оценку вектора решения и вычисляет ковариационную матрицу ошибки решения.

На основе многочисленных модельных примеров показана состоятельность искомых оценок, обладающих свойствами асимптотической сходимости. Практическая реализация приведенных алгоритмов в условиях конкретного технологического объекта управления в сочетании с алгоритмами адаптивной идентификации, основанными на теории оценивания, показали свою эффективность.


Литература:

  1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука, 1987. - 712 с.

  2. Егупов Н.Д., Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Учебник в 5 томах. - М.: Издательство МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2004.

  3. Алиев Р.А. Принцип инвариантности и его применение для проектирования промышленных систем управления. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 128 с.

  4. Дроздов И.В., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. -Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989. - 284 с.

  5. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К. Т. Леондеса Пер. с англ., - М.: Мир, 1980. - 407 с.

  6. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. – Новосибирск: Наука, 1984.

  7. Федотов А.М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. - Новосибирск : Наука, 1982. - 192 с.

  8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. – 285 с.

  9. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

  10. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. –М.: Энергоатомиздат, 1990. -208 с.



Основные термины (генерируются автоматически): управления динамическими объектами, задачах управления динамическими, систем управления, неопределенных возмущений, калмановской фильтрации, систем управления динамическими, компенсации возмущений, неизвестных возмущений, ошибки решения, вектор состояния, вектор неизвестных возмущений, состояния системы, автоматического управления, оценивания неизвестных возмущений, вектор состояния возмущения, условиях неконтролируемых возмущений, теории автоматического управления, вектора возмущений, явления компенсации возмущений, принципа компенсации возмущений.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос