Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально измеримых операторов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №4 (138) январь 2017 г.

Дата публикации: 26.01.2017

Статья просмотрена: 55 раз

Библиографическое описание:

Жураев И. М., Мустафаева З. Э. Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально измеримых операторов // Молодой ученый. — 2017. — №4. — С. 109-110. — URL https://moluch.ru/archive/138/38622/ (дата обращения: 18.08.2018).



В работе рассматриваются свойства коммутаторов и тройные лиевые дифференцирований, действующих на идеальных *-подалгебрах в алгебрах LS(M) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана M. Даются также достаточные условия на тип алгебры фон Неймана M, обеспечивающие ассоциативность всех тройных лиевых дифференцирований на .

Пусть произвольная ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел. Линейный оператор называется ассоциативным дифференцированием на алгебре , если для любых . Если a ∈ A, то отображение Da: A → A, определенное равенством Da(x) = ax — xa = [a, x], x ∈ A, является дифференцированием на A. Дифференцирования вида Da называются внутренними дифференцированиями.

Говорят, что линейный оператор L: A → A есть лиевое дифференцирование на алгебре , если L([x, y]) = [L(x), y] + [x,L(y)] для всех x, y ∈ A. Каждое ассоциативное дифференцирование D: A → A, очевидно, является лиевым дифференцированием.

Примером лиевого неассоциативного дифференцирования служит центрозначный след E:→ Z(), т. е. такое линейное отображение E из алгебры со значениями в центре Z() алгебры , для которого E(xy) = E(yx) при всех x, y ∈.

Линейный оператор называется тройной лиево дифференцированием на алгебре ,если

.

Хорошо известно, что любое тройной лиево дифференцирование L на алгебре фон Неймана имеет стандартной формы, т. е. имеет вид , где -ассоциативное дифференцирование на и -центрозначный след на .

В случае, когда A является алгеброй фон Неймана, стандартная форма тройного лиевого дифференцирования имеет вид L = Da + E для некоторого A. Развитие теории алгебр S(M) измеримых операторов и алгебр LS(M) локально измеримых операторов, присоединненных к алгебрам фон Неймана или AW* алгебрам M, дало возможность строить и изучать новые содержательные примеры *-алгебр неограниченных операторов. Одной из интересных задач здесь стала проблема описания всех дифференцирований, действующих в S(M). В случае коммутативных алгебр фон Неймана M верно равенство S(M) = LS(M) и что любое дифференцирование в S(M) является внутренним, т. е. нулевым, тогда и только тогда, когда M — атомическая алгебра. Для коммутативных AW* — алгебр M критерием существования ненулевых дифференцирований в S(M) служит отсутствие свойства -дистрибутивности у булевой алгебры всех проекторов из M. Для алгебр фон Неймана M типа I, все дифференцирования на алгебрах LS(M) и S(M) были описаны в [1].

Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется измеримым относительно алгебры фон Неймана , если — сильно плотно в . Множество всех операторов, измеримых относительно , является * — алгеброй с единицей над полем относительно операций сильного сложения, сильного умножения и перехода к сопряженному оператору, (умножение на скаляры определяется обычным образом, при этом, считается, что . Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана , если существует такая последовательность центральных проекторов из , что и для всех . Множество всех локально измеримых относительно операторов также образует *-алгебру с единицей 1 относительно операций сильного сложения, сильного умножения и перехода к сопряженному оператору, при этом, и есть *-подалгебры в . Центр в * — алгебре совпадает с *-алгеброй , и в случае когда — фактор, либо — конечная алгебры фон Неймана, всегда верно равенство .

Теорема 1. Пусть - алгебра фон Неймана типа типа I, либо типа III. — идеальная *-подалгебра в содержащая . Тогда каждое тройной лиево дифференцирование представляется в виде , где -внутреннее дифференцирование на а --значный след на .

Следующая теорема описывает линейное пространство

для алгебр фон Неймана, имеющих тип I.

Теорема 2. (см. [2]) Если M — алгебра фон Неймана типа I и A- идеальная * — подалгебра в LS(M), M A, то [A, A] = A.

Иеет место следующая

Теорема 3. Пусть M- алгебра фон Неймана, имеющая тип I, A идеальная *-подалгебра в LS(M), M A. Тогда любое тройной лиево дифференцирование в A является ассоциативным дифференцированием.

Замечание. Если M имеет тип I, A — *- подалгебра в LS(M) и 1 A. Тогда [A,A] это означает, что LS(M) = S(M) = Mat(n,S(Z(M)) существуют тройные лиевые дифференцирования, которые не являются ассоциативными диффеnренцированиями. Таковым является, например след который, очевидно, есть тройной лиево дифференцирование, однако E не является ассоциативным дифференцированием, поскольку E(1) 0.

Литература:

  1. S. Albeverio, Sh. A. Ayupov, K. K. Kudaybergenov, Structure of derivations on various algebras of measurable operators for type I von Neumann algebras, J. Func. Anal. 256 (2009), 2917–2943.
  2. Чилин В. И., Жураев И. М. Коммутаторы локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана типа I, Материалы Республиканской научной конференции. Ургенч. 9–10 ноября 2012. Т. II. С. 122–124.
  3. Чилин В. И., Жураев И. М. Аддитивные лиевые дифференцирования на алгебрах локально измеримых операторов, Материалы Республиканской научной конференции. Ташкент. 20–24 май 2013. С. 256–258.

Основные термины (генерируются автоматически): алгебра, дифференцирование, фон, ассоциативное дифференцирование, линейный оператор, замкнутый линейный оператор, сильное сложение, сильное умножение, стандартная форма, III.


Похожие статьи

2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана

В последнее время изучение 2-локальных дифференцирований и 2-локальных автоморфизмов на операторных алгебрах является одним из важных классов теории операторных алгебр.

Пусть некоторая алгебра, биективний линейный оператор.

О жесткости одной разрешимой алгебры Лейбница...

Алгебра Лейбница является обобщением алгебры Ли, для которого уникальное свойство алгебры Ли, а именно свойство оператора правого умножения быть дифференцированием, сохраняется. Понятие алгебры Лейбница было введено Лоде [4]...

Условия существования собственных значений одной операторной...

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как

где матричные элементы , являются линейными ограниченными операторами. Очевидно, что оператор тогда и только тогда, когда.

О строении одной разрешимой алгебры Лейбница

Определение 5. Линейное преобразование d алгебры Лейбница L называется дифференцированием, если.

Похожие статьи. 2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана.

Разрешимость одной краевой задачи для...

— билинейная форма, заданная на

Отметим, что для случая линейного ограниченного оператора, из сильной монотонности следует его коэрцитивность.

Пусть — линейный оператор.

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и

Оператор возмущения оператора является самосопряженным одномерным оператором.

Алгебра и анализ.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

где L, N — линейный и нелинейный оператор соответственно; g(t) — неоднородная часть уравнения; у — неизвестная функция.

Метод полезен и для линейных и для нелинейных уравнений. Этот метод очень силен и эффективен для нахождения точных и приближенных...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Известно, что точечный спектр оператора лежит в , а его аппроксимативно точечный спектр содержится в . Если есть замкнутый оператор и всякая

Тогда оператор всегда записывается в виде блочно-операторной матрицы. (1). с линейными ограниченными операторами

2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана

В последнее время изучение 2-локальных дифференцирований и 2-локальных автоморфизмов на операторных алгебрах является одним из важных классов теории операторных алгебр.

Пусть некоторая алгебра, биективний линейный оператор.

О жесткости одной разрешимой алгебры Лейбница...

Алгебра Лейбница является обобщением алгебры Ли, для которого уникальное свойство алгебры Ли, а именно свойство оператора правого умножения быть дифференцированием, сохраняется. Понятие алгебры Лейбница было введено Лоде [4]...

Условия существования собственных значений одной операторной...

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как

где матричные элементы , являются линейными ограниченными операторами. Очевидно, что оператор тогда и только тогда, когда.

О строении одной разрешимой алгебры Лейбница

Определение 5. Линейное преобразование d алгебры Лейбница L называется дифференцированием, если.

Похожие статьи. 2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана.

Разрешимость одной краевой задачи для...

— билинейная форма, заданная на

Отметим, что для случая линейного ограниченного оператора, из сильной монотонности следует его коэрцитивность.

Пусть — линейный оператор.

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и

Оператор возмущения оператора является самосопряженным одномерным оператором.

Алгебра и анализ.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

где L, N — линейный и нелинейный оператор соответственно; g(t) — неоднородная часть уравнения; у — неизвестная функция.

Метод полезен и для линейных и для нелинейных уравнений. Этот метод очень силен и эффективен для нахождения точных и приближенных...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Известно, что точечный спектр оператора лежит в , а его аппроксимативно точечный спектр содержится в . Если есть замкнутый оператор и всякая

Тогда оператор всегда записывается в виде блочно-операторной матрицы. (1). с линейными ограниченными операторами

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана

В последнее время изучение 2-локальных дифференцирований и 2-локальных автоморфизмов на операторных алгебрах является одним из важных классов теории операторных алгебр.

Пусть некоторая алгебра, биективний линейный оператор.

О жесткости одной разрешимой алгебры Лейбница...

Алгебра Лейбница является обобщением алгебры Ли, для которого уникальное свойство алгебры Ли, а именно свойство оператора правого умножения быть дифференцированием, сохраняется. Понятие алгебры Лейбница было введено Лоде [4]...

Условия существования собственных значений одной операторной...

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как

где матричные элементы , являются линейными ограниченными операторами. Очевидно, что оператор тогда и только тогда, когда.

О строении одной разрешимой алгебры Лейбница

Определение 5. Линейное преобразование d алгебры Лейбница L называется дифференцированием, если.

Похожие статьи. 2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана.

Разрешимость одной краевой задачи для...

— билинейная форма, заданная на

Отметим, что для случая линейного ограниченного оператора, из сильной монотонности следует его коэрцитивность.

Пусть — линейный оператор.

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и

Оператор возмущения оператора является самосопряженным одномерным оператором.

Алгебра и анализ.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

где L, N — линейный и нелинейный оператор соответственно; g(t) — неоднородная часть уравнения; у — неизвестная функция.

Метод полезен и для линейных и для нелинейных уравнений. Этот метод очень силен и эффективен для нахождения точных и приближенных...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Известно, что точечный спектр оператора лежит в , а его аппроксимативно точечный спектр содержится в . Если есть замкнутый оператор и всякая

Тогда оператор всегда записывается в виде блочно-операторной матрицы. (1). с линейными ограниченными операторами

2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана

В последнее время изучение 2-локальных дифференцирований и 2-локальных автоморфизмов на операторных алгебрах является одним из важных классов теории операторных алгебр.

Пусть некоторая алгебра, биективний линейный оператор.

О жесткости одной разрешимой алгебры Лейбница...

Алгебра Лейбница является обобщением алгебры Ли, для которого уникальное свойство алгебры Ли, а именно свойство оператора правого умножения быть дифференцированием, сохраняется. Понятие алгебры Лейбница было введено Лоде [4]...

Условия существования собственных значений одной операторной...

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как

где матричные элементы , являются линейными ограниченными операторами. Очевидно, что оператор тогда и только тогда, когда.

О строении одной разрешимой алгебры Лейбница

Определение 5. Линейное преобразование d алгебры Лейбница L называется дифференцированием, если.

Похожие статьи. 2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана.

Разрешимость одной краевой задачи для...

— билинейная форма, заданная на

Отметим, что для случая линейного ограниченного оператора, из сильной монотонности следует его коэрцитивность.

Пусть — линейный оператор.

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и

Оператор возмущения оператора является самосопряженным одномерным оператором.

Алгебра и анализ.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

где L, N — линейный и нелинейный оператор соответственно; g(t) — неоднородная часть уравнения; у — неизвестная функция.

Метод полезен и для линейных и для нелинейных уравнений. Этот метод очень силен и эффективен для нахождения точных и приближенных...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Известно, что точечный спектр оператора лежит в , а его аппроксимативно точечный спектр содержится в . Если есть замкнутый оператор и всякая

Тогда оператор всегда записывается в виде блочно-операторной матрицы. (1). с линейными ограниченными операторами

Задать вопрос