Хорошо известно [1], что если 
алгебра фон Неймана типа I и 
её 
-автоморфизм такой, что 
для всякого центрального элемента 
, тогда 
является внутренним, т. е. 
для некоторого унитарного элемента 
Некоторые результаты такого рода для неограниченных операторных алгебр были получены в [2]. А именно было доказано, что всякий * ‑ автоморфизм максимальной 
-алгебры является внутренним.
В последнее время изучение 2-локальных дифференцирований и 2-локальных автоморфизмов на операторных алгебрах является одним из важных классов теории операторных алгебр. В работе [3] дана характеристика влияния 2-локалных дифференцирований и 2-локалных автоморфизмов алгебр всех линейных ограниченных операторов на гильбертово пространство. В работе [4] были изучены 2-локалные гомоморфизмы 
-алгебры, в частности было показано, что всякий линейный ограниченный 2-локалный автоморфизм унитальной 
-алгебры является автоморфизмом. А в работе [5] показано, что всякий сюърективний 2-локальный
*-автоморфизм является *-автоморфизмом.
Настоящая работа посвящена изучению 2-локальных автоморфизмов конечной алгебры фон Неймана типа I.
Пусть 
гильбертово пространство, 
— алгебра всех линейных ограниченных операторов на 
, 
некоторая подалгебра 
. Через 
обозначим коммутанта 
т. е.
.
Очевидно, что 
является унитальной алгеброй. Для алгебры 
бикоммутант
содержит алгебру 
.
Если для *-подалгебры 
выполняется равенство
,
тогда 
называется алгеброй фон Неймана.
Если проектор 
конечная, тогда 
называется конечной алгеброй.
Если для любого ненулевого центрального проектора 
существует конечный абеловый проектор 
, такой, что 
, тогда 
называется алгеброй типа 
.
Пусть 
измеримое пространство с 
-конечной мерой 
т. е. имеется семейство 
такое, что для каждого 
существует счетное подмножество 
и множество 
с мерой нуль, такой, что 
Пусть 
множество всех измеримых отображений из 
в 
и пусть 
факторизация этого множества по отношению равенства почти всюду. Обозначим через 
класс эквивалентности из 
, содержащий отображение 
Далее мы отождествляем элемент 
с классом 
Отметим, что функция 
измерима для всех 
Класс эквивалентности, содержащий функцию 
, обозначим через 
. Для 
положим 
Пусть 
, где 
— единица в 
.
Положим, 
Тогда 
является Банахово пространство относительно нормы 
Известно, что если 
алгебра фон Неймана типа I, то существует единственная (кардинально-индексированная) система центральных ортогональных проекторов 
с 
, такая, что 
изоморфно тензорному произведению алгебр 
и 
с 
т. е.
Пусть 
некоторая алгебра, 
биективний линейный оператор.
‒ Если для любого
имеет место равенство 
, тогда оператор 
называется автоморфизмом.
‒ автоморфизм называется внутренним, если имеет вид 
, где 
обратимый элемент.
Оператор 
называется 2-локальным внутренним автоморфизмом, если для каждого 
найдется внутренний автоморфизм 
, такой, что 
.
Из определения следует, что если оператор 
2-локальной внутренний автоморфизм, тогда для любого 
найдется такой 
, имеет место равенства 
и 
.
Теорема. Пусть 
— конечная алгебра фон Неймана типа 
. Тогда всякий
2-локальной автоморфизм алгебры 
является автоморфизмом.
Литература:
- I. Kaplansky, Modules over operator algebras //Amer. J.Math. — 1953, — V.75. N4 — P. 839–858.
- K. Schmudgen, Unbounded Operator Algebras and Representation Theory. Akademie — Verlag. Berlin. ‑ 1990.
- Ayupov, Sh. A., Kudaybergenov, K. K., 2-local derivations and automorphisms on B(H). J. Math. Anal. Appl. 2012. Vol. 395, P. 15--18.
- D. Hadwin, J. Li, Local derivations and local automorphisms. J. Math. Anal. Appl. 2004. 290, no. 2, 702–714.
- A. M. Peralta, A note on 2-local representations of C*-algebras. preprint, 2014.
