Существование периодической траектории в модифицированной модели Калдора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №1 (135) январь 2017 г.

Дата публикации: 06.01.2017

Статья просмотрена: 137 раз

Библиографическое описание:

Асеев А. С. Существование периодической траектории в модифицированной модели Калдора // Молодой ученый. — 2017. — №1. — С. 103-108. — URL https://moluch.ru/archive/135/37870/ (дата обращения: 20.08.2018).



В статье рассматривается нелинейная экономическая модель бизнес-цикла Николаса Калдора. Дается строгое обоснование применения теоремы Пуанкаре-Бендиксона о существовании периодической траектории. Приводятся результаты численного моделирования.

Ключевые слова: модель Калдора, теорема Пуанкаре-Бендиксона, периодическая траектория

В последние годы нелинейные модели экономической динамики привлекают внимание многих исследователей, как экономистов, так и математиков. С одной стороны этот интерес обусловлен практической необходимостью, поскольку во многих ситуациях математическое моделирование является единственным средством исследования сложных экономических процессов. С другой стороны, моделирование экономических систем часто приводит к постановкам новых содержательных математических задач. Особый интерес представляет изучение нелинейных моделей экономической динамики, способных генерировать циклические движения, которые могут интерпретироваться, как периодически повторяющиеся кризисные явления.

Одной из таких экономических моделей, в которой возможна циклическая динамика, является известная модель бизнес-цикла Николаса Калдора, предложенная в 40-е годы ХХ века (см. [1]). Данная модель описывает динамику национального дохода и основных производственных фондов (капитала) абстрактной экономики в зависимости от заданных функций инвестиций и сбережений. Основная идея модели Калдора состоит в том, что возникающие в экономике циклы могут иметь внутреннюю (эндогенную) природу, связанную с нелинейностями, присущими рассматриваемым экономическим процессам.

В статье обосновывается применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона (см. [2]) о существовании периодических траекторий к модифицированной версии модели Калдора. Приведены результаты численного моделирования в среде MAPLE.

Модифицированная модель Калдора

Рассмотрим следующую модификацию модели Калдора:

(1)

здесь и — величины национального дохода и основных производственных фондов (капитала) в момент , — поправочный коэффициент, характеризующий скорость реакции системы, — норма амортизации основных фондов, и — заданные функции инвестиций и сбережений.

Будем считать, что функции инвестиций и сбережений имеют следующий вид:

(2)

где , и — такая положительная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, что , , и существует такое , что если и если . Заметим, что данная модель отличается как от исходной модели Калдора (см. [1]), так и от ее версии, рассмотренной в работе [3]. В нашем случае функция сбережений не зависит от фазовой переменной , а зависит только от переменной . Кроме того, функция инвестиций — неотрицательная (см. (2)).

Известно (см. [3]), что в общем случае система (1) может иметь от одного до трех положений равновесия, которые могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. В некоторых случаях система (1) может демонстрировать циклические движения. Такое поведение траекторий системы можно интерпретировать, как возникающие в экономике циклы экономического подъема с последующими спадами (т. е. кризисами).

Определим открытое множество и кривую следующим образом:

(3)

(4)

Очевидно, что кривая делит множество на две части:

Заметим, что в силу непрерывности функции инвестиций (см. (2)) и стандартной теоремы существования решения дифференциального уравнения (см. [2]), для любого начального состояния соответствующее решение системы (1) с начальными условиями существует на некотором ненулевом интервале . Поскольку во внутренности множества и во множестве функция непрерывно дифференцируема, а произвольное решение системы (1) можете пересекать кривую только в изолированные моменты времени (данный факт легко проверяется непосредственно), то для любого начального состояния решение соответствующей задачи Коши единственно. Далее, в силу ограниченности функции инвестиций все траектории системы (1) с начальным состоянием определены на бесконечном интервале .

Пусть — любое число, превосходящее максимальный корень уравнения . Обозначим через прямоугольник

а через , , и — его стороны:

Кривая (см. (4)) делит прямоугольник на две части:

В множестве система (1) имеет вид

(5)

Соответственно, в множестве система (1) имеет вид

(6)

Следующий результат обосновывает применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона к системе (1) с функцией инвестиций (2).

Теорема 1. Для любого сколь угодно малого существует такая непрерывная замкнутая кривая без самопересечений , отстоящая от границы множества не более чем на (в хаусдорфовой метрике), что в каждой точке векторное поле системы (1) направлено во внутрь множества .

Доказательство. Непосредственно проверяется, что на сторонах , и прямоугольника векторное поле системы (1) направлено во внутрь множества . В точке правая часть системы (1) принимает значение . Выберем произвольное . Для любого достаточно малого рассмотрим отрезок , где — точка кривой , отстоящая от на малое расстояние , а — точка пересечения стороны и прямой, проходящей через точку с углом наклона (см. рис. 1).

999.jpg

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству теоремы 1. Векторное поле системы (1). Множество

Поскольку функция — возрастающая вблизи 0, то при всех достаточно малых отрезок лежит ниже кривой . А так как , то при всех сколь угодно малых в каждой точке этого отрезка векторное поле системы (1) направленно внутрь множества . При этом для всех достаточно малых значений отрезок отстоит от кривой не более чем на величину .

Наряду с точкой рассмотрим лежащую справа от неё на расстоянии точку на кривой . Пусть и — кривые, образованные траекториями системы (6) приходящими в точки и из множества . В силу вида системы (6) такие траектории существуют и при всех достаточно малых и они не имеют общих точек с кривой , кроме и . Пусть и — точки пересечения кривых и со стороной прямоугольника . Поскольку обе кривые и являются графиками траекторий системы (6), то несложно показать, что существует такая кривая , соединяющая точки и , что она трансверсальна векторному полю системы (6), т. е. векторное поле системы (1) на кривой направленно внутрь множества .

Пусть , , и — стороны прямоугольника , лежащего внутри прямоугольника и отстоящего от него на малую величину . Рассмотрим замкнутую непрерывную кривую состоящую из сторон , прямоугольника , части его стороны , лежащей правее ее пересечения с , части кривой до точки , части отрезка , до пересечения с и оставшейся части стороны . Выбирая при фиксированном произвольно малом сначала достаточно малое , а затем достаточно малое получаем непрерывную замкнутую кривую лежащую внутри прямоугольника , и отстоящую от его границы не более чем на величину . По построению эта кривая не имеет точек самопересечения и при всех достаточно малых в каждой точке векторное поле системы (1) направлено во внутрь множества . □

Следствие. Из доказанной теоремы вытекает, что в случае, когда система (1), взятая с функциями инвестиций и сбережений (2), имеет в области единственное неустойчивое положение равновесия, в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона [2], она имеет в области замкнутую периодическую траекторию.

Численное моделирование

Аналогично [4], выберем в качестве функции — логистическую функцию:

(7)

Здесь параметры и — положительные числа. При заданных положительных значениях и соответствующие функции инвестиций и сбережений определяются условиями (2). Очевидно, функция удовлетворяет всем сделанным ранее предположениям.

Следуя [4] выберем следующие значения параметров:

(8)

В этом случае результаты численного моделирования в среде MAPLE показывают, что система (1) имеет периодическую траекторию (см. рис. 2).

pic2.jpg

Рис. 2. Численное моделирование. Периодическая траектория

Действительно, в области система (1) имеет единственное положение равновесия . Матрица линеаризованной в окрестности положения равновесия имеет вид

(9)

Подставляя заданные функции инвестиций и сбережений (см. (2), (7)) и значения параметров (8) получаем, что в этом случае матрица (9) имеет два комплексно-сопряженных собственных значения, имеющих положительные действительные части:

, .

Таким образом, положение равновесия — неустойчивый фокус (см. [5]).

Поскольку — единственное неустойчивое положение равновесия, то в данном случае, в силу теоремы 1 система (1) имеет периодическую траекторию.

Заключение

В статье рассматривается модифицированная модель бизнес-цикла Н. Калдора. Данная модель включает нелинейную систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику капитали и национального дохода в рыночной экономике. Приводится строгое обоснование применения теоремы Пуанкаре-Бендиксона о существовании замкнутых периодических траекторий. При помощи численного моделирования продемонстрирована соответствующая траектория.

Литература:

1. N. Kaldor, A model of trade cycle, The Economic Journal, 1940, vol. 50, No. 197, pp. 78–92.

2. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальный уравнения, М.: Мир, 1970.

3. H. -W. Lorenz, Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion, Berlin, 1993.

4. Т. В. Рязанова, Стохастические аттракторы и индуцированные шумом явления в моделях экономической динамики. Отчет о научно- исследовательской работе, УрФУ, Екатеринбург, 2013.

5. Л. С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальный уравнения, М.: Наука, 1974.

Основные термины (генерируются автоматически): численное моделирование, векторное поле системы, периодическая траектория, функция инвестиций, система, MAPLE, множество, национальный доход, заданная функция инвестиций, начальное состояние.


Ключевые слова

модель Калдора, теорема Пуанкаре-Бендиксона, периодическая траектория

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Имеющиеся в наличии денежные средства можно инвестировать в банковский депозит или любой другой инвестиционный инструмент, что обеспечит процентный доход.

Пусть ‒ функция, задающая денежный поток в любой момент времени . Тогда, учитывая (2) и (4)...

Применение математического пакета Maple к решению...

Поэтому при решении подобных задач мы применили систему компьютерной математики Maple, хорошо приспособленную к решению математических задач, требующих большого количества аналитических преобразований.

1. Задаем подынтегральную функцию

Имитационное моделирование инвестиционных рисков...

Имитационное моделирование инвестиционных рисков в бизнес-процессах. Автор: Бабенко Надежда Ивановна.

Начальные инвестиции I0, долл. 143000. Следует отметить, что применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности...

Построение эконометрических моделей для анализа...

Ключевые слова: инвестиции в основной капитал, эффективность инвестиционной деятельности, регрессионный анализ, валовый региональный

Данные о наличии таких связей могут быть использованы для формирования регрессионного уравнения (системы уравнений).

Роль инвестиций в экономике | Статья в журнале...

В рамках централизованной плановой системы экономики он отождествлялся с

- потенциальная способность инвестиций приносить доход

При этом индикатором состояния экономики является динамика показателей валовых и чистых инвестиций.

Построение АФЧХ системы автоматического регулирования...

Передаточную функцию системы можно задать или рассчитать. У нас система довольно сложная поэтому её передаточную функцию нам рассчитает Maple. Для этого сначала зададим передаточные функции регулятора, объекта управления и датчика угла...

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Пусть задана функция.

В итоге имеем: (Преобразуемк виду (3) см. ниже). Составим систему линейных уравнений

Аппроксимация трехпараметрического множества неопределенности при помощи эллипсоида.

Применение метода имитационного моделирования в оценке...

Оценка инвестиций в недвижимость всегда споровождается риском возникновения непредвиденных потерь, убытков, недополучения доходов, прибыли по

Количественнй анализ дает возможность численно определить размер простых рисков, а также риска проекта в целом.

Использование векторных полей в задачах компенсации...

Абсолютные значения скоростей движения фрагментов проекции можно при этом задать

где: vx,vy — проекции вектора линейных скоростей в прямоугольной системе координат.

Согласно результатам моделирования, по тройке опорных блоков удаётся выявлять векторные поля и...

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Имеющиеся в наличии денежные средства можно инвестировать в банковский депозит или любой другой инвестиционный инструмент, что обеспечит процентный доход.

Пусть ‒ функция, задающая денежный поток в любой момент времени . Тогда, учитывая (2) и (4)...

Применение математического пакета Maple к решению...

Поэтому при решении подобных задач мы применили систему компьютерной математики Maple, хорошо приспособленную к решению математических задач, требующих большого количества аналитических преобразований.

1. Задаем подынтегральную функцию

Имитационное моделирование инвестиционных рисков...

Имитационное моделирование инвестиционных рисков в бизнес-процессах. Автор: Бабенко Надежда Ивановна.

Начальные инвестиции I0, долл. 143000. Следует отметить, что применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности...

Построение эконометрических моделей для анализа...

Ключевые слова: инвестиции в основной капитал, эффективность инвестиционной деятельности, регрессионный анализ, валовый региональный

Данные о наличии таких связей могут быть использованы для формирования регрессионного уравнения (системы уравнений).

Роль инвестиций в экономике | Статья в журнале...

В рамках централизованной плановой системы экономики он отождествлялся с

- потенциальная способность инвестиций приносить доход

При этом индикатором состояния экономики является динамика показателей валовых и чистых инвестиций.

Построение АФЧХ системы автоматического регулирования...

Передаточную функцию системы можно задать или рассчитать. У нас система довольно сложная поэтому её передаточную функцию нам рассчитает Maple. Для этого сначала зададим передаточные функции регулятора, объекта управления и датчика угла...

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Пусть задана функция.

В итоге имеем: (Преобразуемк виду (3) см. ниже). Составим систему линейных уравнений

Аппроксимация трехпараметрического множества неопределенности при помощи эллипсоида.

Применение метода имитационного моделирования в оценке...

Оценка инвестиций в недвижимость всегда споровождается риском возникновения непредвиденных потерь, убытков, недополучения доходов, прибыли по

Количественнй анализ дает возможность численно определить размер простых рисков, а также риска проекта в целом.

Использование векторных полей в задачах компенсации...

Абсолютные значения скоростей движения фрагментов проекции можно при этом задать

где: vx,vy — проекции вектора линейных скоростей в прямоугольной системе координат.

Согласно результатам моделирования, по тройке опорных блоков удаётся выявлять векторные поля и...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Имеющиеся в наличии денежные средства можно инвестировать в банковский депозит или любой другой инвестиционный инструмент, что обеспечит процентный доход.

Пусть ‒ функция, задающая денежный поток в любой момент времени . Тогда, учитывая (2) и (4)...

Применение математического пакета Maple к решению...

Поэтому при решении подобных задач мы применили систему компьютерной математики Maple, хорошо приспособленную к решению математических задач, требующих большого количества аналитических преобразований.

1. Задаем подынтегральную функцию

Имитационное моделирование инвестиционных рисков...

Имитационное моделирование инвестиционных рисков в бизнес-процессах. Автор: Бабенко Надежда Ивановна.

Начальные инвестиции I0, долл. 143000. Следует отметить, что применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности...

Построение эконометрических моделей для анализа...

Ключевые слова: инвестиции в основной капитал, эффективность инвестиционной деятельности, регрессионный анализ, валовый региональный

Данные о наличии таких связей могут быть использованы для формирования регрессионного уравнения (системы уравнений).

Роль инвестиций в экономике | Статья в журнале...

В рамках централизованной плановой системы экономики он отождествлялся с

- потенциальная способность инвестиций приносить доход

При этом индикатором состояния экономики является динамика показателей валовых и чистых инвестиций.

Построение АФЧХ системы автоматического регулирования...

Передаточную функцию системы можно задать или рассчитать. У нас система довольно сложная поэтому её передаточную функцию нам рассчитает Maple. Для этого сначала зададим передаточные функции регулятора, объекта управления и датчика угла...

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Пусть задана функция.

В итоге имеем: (Преобразуемк виду (3) см. ниже). Составим систему линейных уравнений

Аппроксимация трехпараметрического множества неопределенности при помощи эллипсоида.

Применение метода имитационного моделирования в оценке...

Оценка инвестиций в недвижимость всегда споровождается риском возникновения непредвиденных потерь, убытков, недополучения доходов, прибыли по

Количественнй анализ дает возможность численно определить размер простых рисков, а также риска проекта в целом.

Использование векторных полей в задачах компенсации...

Абсолютные значения скоростей движения фрагментов проекции можно при этом задать

где: vx,vy — проекции вектора линейных скоростей в прямоугольной системе координат.

Согласно результатам моделирования, по тройке опорных блоков удаётся выявлять векторные поля и...

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Имеющиеся в наличии денежные средства можно инвестировать в банковский депозит или любой другой инвестиционный инструмент, что обеспечит процентный доход.

Пусть ‒ функция, задающая денежный поток в любой момент времени . Тогда, учитывая (2) и (4)...

Применение математического пакета Maple к решению...

Поэтому при решении подобных задач мы применили систему компьютерной математики Maple, хорошо приспособленную к решению математических задач, требующих большого количества аналитических преобразований.

1. Задаем подынтегральную функцию

Имитационное моделирование инвестиционных рисков...

Имитационное моделирование инвестиционных рисков в бизнес-процессах. Автор: Бабенко Надежда Ивановна.

Начальные инвестиции I0, долл. 143000. Следует отметить, что применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности...

Построение эконометрических моделей для анализа...

Ключевые слова: инвестиции в основной капитал, эффективность инвестиционной деятельности, регрессионный анализ, валовый региональный

Данные о наличии таких связей могут быть использованы для формирования регрессионного уравнения (системы уравнений).

Роль инвестиций в экономике | Статья в журнале...

В рамках централизованной плановой системы экономики он отождествлялся с

- потенциальная способность инвестиций приносить доход

При этом индикатором состояния экономики является динамика показателей валовых и чистых инвестиций.

Построение АФЧХ системы автоматического регулирования...

Передаточную функцию системы можно задать или рассчитать. У нас система довольно сложная поэтому её передаточную функцию нам рассчитает Maple. Для этого сначала зададим передаточные функции регулятора, объекта управления и датчика угла...

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Пусть задана функция.

В итоге имеем: (Преобразуемк виду (3) см. ниже). Составим систему линейных уравнений

Аппроксимация трехпараметрического множества неопределенности при помощи эллипсоида.

Применение метода имитационного моделирования в оценке...

Оценка инвестиций в недвижимость всегда споровождается риском возникновения непредвиденных потерь, убытков, недополучения доходов, прибыли по

Количественнй анализ дает возможность численно определить размер простых рисков, а также риска проекта в целом.

Использование векторных полей в задачах компенсации...

Абсолютные значения скоростей движения фрагментов проекции можно при этом задать

где: vx,vy — проекции вектора линейных скоростей в прямоугольной системе координат.

Согласно результатам моделирования, по тройке опорных блоков удаётся выявлять векторные поля и...

Задать вопрос