Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 30 ноября, печатный экземпляр отправим 4 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №16 (202) апрель 2018 г.

Дата публикации: 22.04.2018

Статья просмотрена: 5568 раз

Библиографическое описание:

Селютин А. Д. Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов // Молодой ученый. — 2018. — №16. — С. 91-96. — URL https://moluch.ru/archive/202/49571/ (дата обращения: 20.11.2019).



Вданной статье рассмотрено решение проблемы уменьшения суммы квадратов отклонений определённых функций от искомых переменных для полиномиальных уравнений n степени. Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, полиномы, полиномиальная регрессия, оконное приложение.

Метод наименьших квадратов — один из методов статистики, имеющий различное практическое применение, в основе которого лежит минимизация суммы квадратов отклонений функций от подлежащих нахождению переменных [4].

История создания.

Одной из основных задач, для решения которой применяется метод наименьших квадратов, является решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных меньше, чем число уравнений. Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием. Метод в дальнейшем был доработан и улучшен [4].

Суть метода.

Допустим, что x — группа nнеизвестных переменных: –набор функций от группы переменных. Целью является подбор таких x, чтобы значения функций были близки к yi [3]. Следовательно, суть метода наименьших квадратов может быть выражена следующей формулой:

Полиномиальная регрессия.

Допустим, что имеется nзначений переменной yи соответствующих переменных x. Необходимо аппроксимировать корреляцию между yи xопределённой функцией f(x,a), где a–известные параметры.

В случае, когда имеется некоторая полиномиальная регрессионная зависимость, например: можно определить параметры системы, учитывая, что а также

Тогда, матричные уравнения будут иметь следующий вид:

Цель работы.

Целью проводимой работы является вывод рабочих формул, минимизирующих сумму квадратов отклонений полиномиальной функции 2 степени, а также создание практической программы, позволяющей находить коэффициенты квадратичной функции и полинома nстепени. Приложение будет являться оконным (будет предусмотрена возможность построения графика по заданным точкам).

Математическое решение проблемы для полиномов 2 степени.

Пусть дан полином второй степени вида:

Пусть задана функция

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуем к виду (1) см. ниже)

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуем к виду (2) см. ниже)

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуемк виду (3) см. ниже)

Составим систему линейных уравнений:

Решим систему. Найдём определитель системы:

Найдём первый частный определитель системы:

Найдём второй частный определитель системы:

Найдём третий частный определитель системы:

, b=, c=.

Решение проблемы для полиномов n степени.

Пусть дан полином вида: , где , а длина отрезка известных нам значений [2].

Необходимо найти такие параметры , чтобы сумма квадратов отклонений от в точках была минимальной, то есть

Задача сводится к решению системы уравнений:

Для решения будем использовать метод Гаусса. Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.

Программа

Оконное приложение на языке программирования C# для определения коэффициентов аппроксимации полиномов nстепени.

Основная работа программы приходится на обработчик нажатия кнопки вычислить. Считывается степень полинома. Вычисляется кол-во точек. Далее по заданным точкам заполняется матрица сумм. Далее матрица сумм приводится к такому виду, чтобы на главной диагонали не было нулей. Высчитываются коэффициенты аппроксимации.

Программа позволяет импортировать данные из текстового файла, строить график получившейся функции и сохранять его в формате.png, экспортировать в текстовый файл получившиеся коэффициенты.

Оконные формы приложения:

Рис. 1. Оконное приложение, реализующее метод наименьших квадратов для полиномиальных уравнений n степени.

Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.

Программа доступна к использованию по ссылке: https://yadi.sk/d/G9WiaoGe3UYqsJ

Вывод

В ходе работы были выведены рабочие формулы, минимизирующие сумму квадратов отклонений полиномиальной функции второй и n-ой степени, а также была создана практическая программа, позволяющая находить коэффициенты аппроксимируемой функции.

Разработанная программа может применяться при расчётах в эконометрике для наглядного определения зависимостей одних зависимостей от других, также в оценке параметров однофакторной эконометрической модели и других областях науки.

Литература:

  1. Письменный Т.Д — Конспект лекций по высшей математике
  2. NetBeansURL: https://netbeans.org/ (Дата обращения: 5.4.18).
  3. Аппроксимация функций полиномом методом наименьших квадратов.URL: http://www.alexeypetrov.narod.ru/C/sqr_less_about.html (Дата обращения: 6.4.18)
  4. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Метод наименьших квадратов. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_наименьших_квадратов (Дата обращения: 6.4.18).
Основные термины (генерируются автоматически): оконное приложение, частный определитель системы, сумма квадратов отклонений, вид, язык программирования, матрица сумм, практическая программа, полиномиальная функция, полиномиальная регрессия, квадрат.


Похожие статьи

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

1) нахождение вектора оценок параметров, минимизирующих сумму квадратов отклонений, 2) определение доверительной области для найденного вектора.

Появится главное окно программы — «GLSM». Кроме того, имеются ещё две вкладки: «Константы» и «Регрессия».

Технологии Wolframalpha при изучении элементов прикладной...

МНК предполагает минимизацию суммы квадратов отклонений от , т. е

Следовательно, матрица квадратичной формы имеет вид. причем значения элементов не зависят от а и b.

7. Polynomial model 10th order. Полиномиальная аппроксимация 10-го порядка.

Приложение ортогональных полиномов Чебышева к оценке...

Пусть на множестве точек ( ) задана функция и определена система функций .

Многочлены наилучшего приближения имеют вид

Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется для приближения многочленом.

Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования...

Приведён соответствующий листинг программ в пакете Mathcad.

Вычисление координат ИИ, в данном случае азимута, при помощи алгоритма UCA‑Root‑Rare, выполняется путём нахождения корней следующего полиномиального уравнения

где — определитель матрицы

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде...

Столбец узловых неизвестных в локальной системе координат имеет вид.

Частные производные полного двумерного полинома (3) определяются выражениями.

Например для функции q1(х, у) матрица-строка узловых значений имеет вид.

Математическое моделирование композитов по...

Оказывается, если точность измерения при всех одинакова и равна s, то, для того чтобы совокупность наблюдённых значений была наивероятнейшей, нужно выбрать функцию так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдённых значений от была минимальной

Аппроксимация трехпараметрического множества...

Тогда система запишется в виде

. Определитель матрицы В пропорционален определителю матрицы A и определяется по формуле

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов.

О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений...

где - выход модели, - система линейно-независимых функций.

При работе с непараметрической оценкой регрессии требуется определить вид ядерной функции (6, 7, 8) и

При оценке параметров А, В, С, здесь и далее, используется метод наименьших квадратов.

Похожие статьи

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

1) нахождение вектора оценок параметров, минимизирующих сумму квадратов отклонений, 2) определение доверительной области для найденного вектора.

Появится главное окно программы — «GLSM». Кроме того, имеются ещё две вкладки: «Константы» и «Регрессия».

Технологии Wolframalpha при изучении элементов прикладной...

МНК предполагает минимизацию суммы квадратов отклонений от , т. е

Следовательно, матрица квадратичной формы имеет вид. причем значения элементов не зависят от а и b.

7. Polynomial model 10th order. Полиномиальная аппроксимация 10-го порядка.

Приложение ортогональных полиномов Чебышева к оценке...

Пусть на множестве точек ( ) задана функция и определена система функций .

Многочлены наилучшего приближения имеют вид

Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется для приближения многочленом.

Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования...

Приведён соответствующий листинг программ в пакете Mathcad.

Вычисление координат ИИ, в данном случае азимута, при помощи алгоритма UCA‑Root‑Rare, выполняется путём нахождения корней следующего полиномиального уравнения

где — определитель матрицы

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде...

Столбец узловых неизвестных в локальной системе координат имеет вид.

Частные производные полного двумерного полинома (3) определяются выражениями.

Например для функции q1(х, у) матрица-строка узловых значений имеет вид.

Математическое моделирование композитов по...

Оказывается, если точность измерения при всех одинакова и равна s, то, для того чтобы совокупность наблюдённых значений была наивероятнейшей, нужно выбрать функцию так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдённых значений от была минимальной

Аппроксимация трехпараметрического множества...

Тогда система запишется в виде

. Определитель матрицы В пропорционален определителю матрицы A и определяется по формуле

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов.

О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений...

где - выход модели, - система линейно-независимых функций.

При работе с непараметрической оценкой регрессии требуется определить вид ядерной функции (6, 7, 8) и

При оценке параметров А, В, С, здесь и далее, используется метод наименьших квадратов.

Задать вопрос