Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов
Отправьте статью сегодня! Электронный вариант журнала выйдет 14 августа,печатный экземпляр отправим18 августа.

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов

В данной статье рассмотрено решение проблемы уменьшения суммы квадратов отклонений определённых функций от искомых переменных для полиномиальных уравнений n степени. Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.
Поделиться в социальных сетях
14444 просмотра
Библиографическое описание

Селютин, А. Д. Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших квадратов / А. Д. Селютин. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 16 (202). — С. 91-96. — URL: https://moluch.ru/archive/202/49571/ (дата обращения: 05.08.2021).



Вданной статье рассмотрено решение проблемы уменьшения суммы квадратов отклонений определённых функций от искомых переменных для полиномиальных уравнений n степени. Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, полиномы, полиномиальная регрессия, оконное приложение.

Метод наименьших квадратов — один из методов статистики, имеющий различное практическое применение, в основе которого лежит минимизация суммы квадратов отклонений функций от подлежащих нахождению переменных [4].

История создания.

Одной из основных задач, для решения которой применяется метод наименьших квадратов, является решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных меньше, чем число уравнений. Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием. Метод в дальнейшем был доработан и улучшен [4].

Суть метода.

Допустим, что x — группа nнеизвестных переменных: –набор функций от группы переменных. Целью является подбор таких x, чтобы значения функций были близки к yi [3]. Следовательно, суть метода наименьших квадратов может быть выражена следующей формулой:

Полиномиальная регрессия.

Допустим, что имеется nзначений переменной yи соответствующих переменных x. Необходимо аппроксимировать корреляцию между yи xопределённой функцией f(x,a), где a–известные параметры.

В случае, когда имеется некоторая полиномиальная регрессионная зависимость, например: можно определить параметры системы, учитывая, что а также

Тогда, матричные уравнения будут иметь следующий вид:

Цель работы.

Целью проводимой работы является вывод рабочих формул, минимизирующих сумму квадратов отклонений полиномиальной функции 2 степени, а также создание практической программы, позволяющей находить коэффициенты квадратичной функции и полинома nстепени. Приложение будет являться оконным (будет предусмотрена возможность построения графика по заданным точкам).

Математическое решение проблемы для полиномов 2 степени.

Пусть дан полином второй степени вида:

Пусть задана функция

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуем к виду (1) см. ниже)

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуем к виду (2) см. ниже)

Тогда: (двойку можно сократить)

В итоге имеем: (Преобразуемк виду (3) см. ниже)

Составим систему линейных уравнений:

Решим систему. Найдём определитель системы:

Найдём первый частный определитель системы:

Найдём второй частный определитель системы:

Найдём третий частный определитель системы:

, b=, c=.

Решение проблемы для полиномов n степени.

Пусть дан полином вида: , где , а длина отрезка известных нам значений [2].

Необходимо найти такие параметры , чтобы сумма квадратов отклонений от в точках была минимальной, то есть

Задача сводится к решению системы уравнений:

Для решения будем использовать метод Гаусса. Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.

Программа

Оконное приложение на языке программирования C# для определения коэффициентов аппроксимации полиномов nстепени.

Основная работа программы приходится на обработчик нажатия кнопки вычислить. Считывается степень полинома. Вычисляется кол-во точек. Далее по заданным точкам заполняется матрица сумм. Далее матрица сумм приводится к такому виду, чтобы на главной диагонали не было нулей. Высчитываются коэффициенты аппроксимации.

Программа позволяет импортировать данные из текстового файла, строить график получившейся функции и сохранять его в формате.png, экспортировать в текстовый файл получившиеся коэффициенты.

Оконные формы приложения:

Рис. 1. Оконное приложение, реализующее метод наименьших квадратов для полиномиальных уравнений n степени.

Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.

Программа доступна к использованию по ссылке: https://yadi.sk/d/G9WiaoGe3UYqsJ

Вывод

В ходе работы были выведены рабочие формулы, минимизирующие сумму квадратов отклонений полиномиальной функции второй и n-ой степени, а также была создана практическая программа, позволяющая находить коэффициенты аппроксимируемой функции.

Разработанная программа может применяться при расчётах в эконометрике для наглядного определения зависимостей одних зависимостей от других, также в оценке параметров однофакторной эконометрической модели и других областях науки.

Литература:

  1. Письменный Т.Д — Конспект лекций по высшей математике
  2. NetBeansURL: https://netbeans.org/ (Дата обращения: 5.4.18).
  3. Аппроксимация функций полиномом методом наименьших квадратов.URL: http://www.alexeypetrov.narod.ru/C/sqr_less_about.html (Дата обращения: 6.4.18)
  4. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Метод наименьших квадратов. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_наименьших_квадратов (Дата обращения: 6.4.18).

основные термины

генерируются автоматически
метод наименьших квадратов, полиномы, полиномиальная регрессия, оконное приложение
Похожие статьи
Цибанов Валерий Валентинович
Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных моделей по методу наименьших квадратов без вычисления производных
Химические науки
2017
Качалова Галина Алексеевна
Технологии Wolframalpha при изучении элементов прикладной математики студентами бакалавриата
Педагогика
2013
Будылина Евгения Александровна
Приложение ортогональных полиномов Чебышева к оценке психофизиологической напряженности оператора
Технические науки
2013
Коробков Михаил Александрович
Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования UCA Root Rare в пакете Mathcad
Технические науки
2014
Сорокина Елена Ивановна
Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных (функции формы для перемещений)
Технические науки
2014
Пчелинцев Илья Алексеевич
Математическое моделирование композитов по экспериментальным данным
Технические науки
2013
Архипова Анастасия Борисовна
Аппроксимация трехпараметрического множества неопределенности при помощи эллипсоида
Математика
2010
Корнеева Анна Анатольевна
О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений с пропусками в задаче идентификации с шумами
Технические науки
2012
дата публикации
апрель 2018 г.
рубрика
Математика
язык статьи
Русский
Опубликована
Похожие статьи
Цибанов Валерий Валентинович
Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных моделей по методу наименьших квадратов без вычисления производных
Химические науки
2017
Качалова Галина Алексеевна
Технологии Wolframalpha при изучении элементов прикладной математики студентами бакалавриата
Педагогика
2013
Будылина Евгения Александровна
Приложение ортогональных полиномов Чебышева к оценке психофизиологической напряженности оператора
Технические науки
2013
Коробков Михаил Александрович
Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования UCA Root Rare в пакете Mathcad
Технические науки
2014
Сорокина Елена Ивановна
Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных (функции формы для перемещений)
Технические науки
2014
Пчелинцев Илья Алексеевич
Математическое моделирование композитов по экспериментальным данным
Технические науки
2013
Архипова Анастасия Борисовна
Аппроксимация трехпараметрического множества неопределенности при помощи эллипсоида
Математика
2010
Корнеева Анна Анатольевна
О непараметрическом восстановлении матрицы наблюдений с пропусками в задаче идентификации с шумами
Технические науки
2012