Приложение ортогональных полиномов Чебышева к оценке психофизиологической напряженности оператора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Петренко В. О. Приложение ортогональных полиномов Чебышева к оценке психофизиологической напряженности оператора // Молодой ученый. — 2013. — №6. — С. 37-40. — URL https://moluch.ru/archive/53/7032/ (дата обращения: 22.07.2018).

Рассматривается оценка психофизиологической напряженности оператора в семибалльной оценочной шкале при управлении транспортным средством в зависимости от жесткости рулевого колеса с использованием ортогональных полиномов Чебышева.

Приведем предварительные сведения о разложении функций по ортонормированной системе функций, в частности, полиномов.

Пусть на множестве точек () задана функция и определена система функций .

Скалярным произведением функций  и на множестве точек () называется

.                                                                                             

Число  является нормой функции  на множестве точек().

Функции  и называются ортогональными на множестве точек, если для скалярного произведения на этом множестве справедливо:

.                                                                           (1)

Система функций  называется ортогональной на множестве точек (), если все функции этой системы попарно ортогональны на этом множестве.

Коэффициенты  обобщенного многочлена

называются коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной системы функций, если они определяются по формулам

.                                                        (2)

Для функции , определенной на множестве точек (), обобщенный многочлен n-й степени с коэффициентами Фурье относительно ортогональной на множестве точек системы функций является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения этой функции, причем квадрат наименьшего отклонения равен

,                                                                                                        (3)

где Ck — коэффициенты Фурье, определяемые по формулам (2).

Оценка погрешности приближения определяется величиной .

Многочленами Чебышева на множестве точек () называются алгебраические многочлены, ортогональные на этом множестве, с нормой , отличной от нуля, и определяемые следующими рекуррентными формулами:

                                              (4)

где

Соотношения для коэффициентов  получаются из условия ортогональности (1).

Можно показать, что многочлен степени m на множестве точек (), полученный по рекуррентным формулам (4), на этом множестве точек имеет норму, равную нулю, и уже не является многочленом Чебышева.

Рассмотрим одно приложение к решению актуальной задачи определения аналитической зависимости психофизиологической напряженности оператора  (в семибалльной шкале [1]) от жесткости  [Н-м/градус] рулевого управления (приложение момента к рулевому колесу). Экспериментальные данные приведены в таблице:

Жесткость , Н-м/градус

0

1

3

4

Класс

4

0

1

2

Составим ортогональные многочлены Чебышева на множестве точек {0, 1, 3, 4}. Имеем:

;

,

,

.

Значения многочленов на множестве точек {0, 1, 3, 4} представлены в таблице.

1

0

1

–2

1,5

–1,2

2

1

1

–1

–1,5

2,4

3

3

1

1

–1,5

–2,4

4

4

1

2

1,5

1,2

Многочлены наилучшего приближения имеют вид:

      

Здесь коэффициенты Фурье определены по формулам (2):

Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется для приближения многочленом

Значения алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения в точках  представлены в таблице:

1

0

1,75

2,35

3,6

4,00

2

1

1,75

2,05

0,8

0,00

3

3

1,75

1,45

0,2

1,00

4

4

1,75

1,15

2,4

2,00

Графики функций  изображены на рис. 1 (очевидна целесообразность увеличения числа экспериментальных точек).

Рис. 1.

Эффективность использования аппроксимационных полиномов Чебышева подтвердилась при дальнейших исследованиях зависимости психофизиологической напряженности водителя от жесткости руля при надлежащем выборе числа экспериментальных точек.

Литература:

1.                  Леонова А. Б. Психодиагностика функциональных состояний человека. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 1984. — 200 с.

2.                  Данилов А. М., Гарькина И. А. Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография. — Пенза: ПГУАС, 2011. — 308 с.

Основные термины (генерируются автоматически): множество, система функций, многочлен, наилучшее среднеквадратичное приближение, рулевое колесо, психофизиологическая напряженность оператора, обобщенный многочлен, формула, коэффициент, функция.


Похожие статьи

О построении формул аппроксимации периодических функций...

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных до n-го порядка включительно в...

О представлении функции многочленом, имеющим заданные...

Ключевые слова: интерполяция Эрмита, многочлен Тейлора,формулы двухточечного представления, погрешность приближения функции на отрезке. Введение.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

О построении формул аппроксимации периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита.

Похожие статьи. Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом.

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы для квадратур...

Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования...

Обращение к функции: root(f(x)), где — выражение, равное нулю; — аргумент, варьируя который, система ищет значение, обращающее функцию в

Если полином имеет корней (с учетом кратности), то вектор включает в себя коэффициент. Начальное приближение вводить не надо.

К практическому применению нелинейной системы перестройки...

где - непрерывный аппроксимирующий обобщенный полином; - квадратичное отклонение (отклонение от нуля). Для функции (3) полиномом наилучшего приближения. (5). где , - постоянные коэффициенты

Исследование статической устойчивости Навоийской ТЭС...

W = . (12). Приравнивая коэффициенты и (i, j=1, 2, 3) в выражениях для V и W, получаем систему уравнений.

Методика определения функций принадлежности для аппроксимации периодических функций нечеткими множествами.

Методика определения функций принадлежности для...

Совокупность параметров всех функций принадлежности составляет множество параметров системы .

Необходимо ввести в эту функцию коэффициенты следующим образом .

В Таблице 1 приведены данные по среднеквадратичному отклонению кривых, полученных при...

Исследование и сравнительный анализ работы нейронных сетей...

где: z — функция n входных параметров, — весовой коэффициент. Рис. 2: Схема D-PNN.

Финальная функция (формула 6) формируется для каждого блока.

Стоит учесть, что среднеквадратичное значение функции F(x) на множестве D должно быть больше или равно...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О построении формул аппроксимации периодических функций...

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных до n-го порядка включительно в...

О представлении функции многочленом, имеющим заданные...

Ключевые слова: интерполяция Эрмита, многочлен Тейлора,формулы двухточечного представления, погрешность приближения функции на отрезке. Введение.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

О построении формул аппроксимации периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита.

Похожие статьи. Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом.

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы для квадратур...

Методы нахождения корней полинома в алгоритме пеленгования...

Обращение к функции: root(f(x)), где — выражение, равное нулю; — аргумент, варьируя который, система ищет значение, обращающее функцию в

Если полином имеет корней (с учетом кратности), то вектор включает в себя коэффициент. Начальное приближение вводить не надо.

К практическому применению нелинейной системы перестройки...

где - непрерывный аппроксимирующий обобщенный полином; - квадратичное отклонение (отклонение от нуля). Для функции (3) полиномом наилучшего приближения. (5). где , - постоянные коэффициенты

Исследование статической устойчивости Навоийской ТЭС...

W = . (12). Приравнивая коэффициенты и (i, j=1, 2, 3) в выражениях для V и W, получаем систему уравнений.

Методика определения функций принадлежности для аппроксимации периодических функций нечеткими множествами.

Методика определения функций принадлежности для...

Совокупность параметров всех функций принадлежности составляет множество параметров системы .

Необходимо ввести в эту функцию коэффициенты следующим образом .

В Таблице 1 приведены данные по среднеквадратичному отклонению кривых, полученных при...

Исследование и сравнительный анализ работы нейронных сетей...

где: z — функция n входных параметров, — весовой коэффициент. Рис. 2: Схема D-PNN.

Финальная функция (формула 6) формируется для каждого блока.

Стоит учесть, что среднеквадратичное значение функции F(x) на множестве D должно быть больше или равно...

Задать вопрос