Применение математического пакета Maple к решению вариационных задач | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Информатика

Опубликовано в Молодой учёный №22 (102) ноябрь-2 2015 г.

Дата публикации: 17.11.2015

Статья просмотрена: 227 раз

Библиографическое описание:

Шевченко А. С. Применение математического пакета Maple к решению вариационных задач // Молодой ученый. — 2015. — №22. — С. 33-37. — URL https://moluch.ru/archive/102/23217/ (дата обращения: 15.12.2018).

 

Одно из направлений развития вычислительных технологий в настоящее время − это появление мощных математических пакетов, позволяющих максимально упростить процесс подготовки задачи, ее решения и анализа результатов. При использовании таких средств, как Maple [1], Mathcad, Mathematica или Matlab, решение дифференциального или трансцендентного уравнения, аналитическое либо численное дифференцирование и интегрирование, операции с матрицам, решение проблемы собственных значений, вычисление пределов, разложение в ряд и многие другие задачи решаются с помощью одной команды. Но, конечно, эту команду нужно правильно применить: надо корректно сформулировать задачу, знать в каком в виде искать решение и т. д. Иными словами, применение математических пакетов позволяет ускорить и упростить выполнение рутинных действий, выкладок и избавить от появления досадных ошибок, но математические пакеты не избавляют от необходимости думать.

Всеобщая компьютеризация коснулась и сферы образования. Внедрение вычислительной техники в учебный процесс поставило на повестку дня задачу создания учебников по различным дисциплинам, ориентированных на применение компьютеров и, в частности, на использование математических пакетов.

Например, широко распространенные учебники по вариационному исчислению [2–4] были написаны в 70-е годы прошлого столетия или даже раньше. Несомненно, они остаются прекрасными в научном и методическом плане книгами, но их авторы не предвидели и не могли предвидеть столь бурной компьютеризации, поэтому необходима адаптация курса вариационного исчисления к использованию современных компьютерных технологий.

Мною разработано учебно-методическое пособие «Вариационное исчисление» предназначенное для студентов всех форм обучения направления подготовки «Прикладная информатика» при изучении дисциплины «Теория оптимального управления». Данное учебно-методическое пособие посвящено методам решения классических вариационных задач.

Пособие содержит разделы «Основные понятия вариационного исчисления», «Вариационные задачи с фиксированными границами», «Вариационные задачи с подвижными границами», «Задачи на условный экстремум», «Достаточные условия экстремума», «Прямые методы в вариационных задачах», «Индивидуальное домашнее задание», «Приложение».

В каждом разделе кратко изложены теоретические сведения, содержащие основные определения и теоремы, приведены решения типовых примеров.

Поскольку ручное составление и решение уравнений (как правило, дифференциальных) связано с большими трудностями, и, как показывает опыт, плохо усваивается студентами. Поэтому при решении подобных задач мы применили систему компьютерной математики Maple, хорошо приспособленную к решению математических задач, требующих большого количества аналитических преобразований. Это самый первый пакет символьной математики. В настоящее время он является лидером среди универсальных систем символьных вычислений и пользуется особой популярностью в научной среде и предоставляет возможности для математических исследований любого уровня.

Разработала mws-файлы с подробными комментариями для каждого типа задач: вариационные задачи с фиксированными, подвижными границами и на условный экстремум.

Пример 1. Найти расстояние между параболой и прямой .

Решение: Эта задача с подвижными границами. Задача сводится к нахождению экстремального значения функционала , при условии, что левый конец экстремали может перемещаться по кривой , а правый — по прямой .

1. Задаем подынтегральную функцию:

> restart:

> F:=(x,Y,DY)->sqrt(1+DY^2);

> x0:=X0;x1:=X1;

2. Задаем две фиксированные кривые и , находим их производные:

> F1:=(x)->x^2; dF1:=diff(F1(x),x);

> F2:=(x)->x-5; dF2:=diff(F2(x),x);

3. Составляем функционал:

> J:=int(F(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1);

4. Записываем основную формулу уравнения Эйлера:

> eq:=diff(F(x,Y,DY),Y)-diff(diff(F(x,Y,DY),x),DY)-diff(diff(F(x,Y,DY),Y),DY)*DY-diff(F(x,Y,DY),DY$2)*D2Y=0;

5. Выполняемзамены (оператор subs) :

> eq1:=subs(Y=y(x),DY=diff(y(x),x),D2Y=diff(y(x),x$2),eq);

6. Находим общее решение уравнения Эйлера:

> rez:=dsolve(eq1);

>assign(rez):y(x):

7.Записываем условия трансверсальности:

> dFdY:=diff(F(x,Y,DY),DY);

> df:=subs(Y=y(x),DY=diff(y(x),x),D2Y=diff(y(x),x$2),dFdY):

> us_t1:=F(x,y(x),diff(y(x),x))+(dF1-diff(y(x),x))*df=0;

> us_t2:=F(x,y(x),diff(y(x),x))+(dF2-diff(y(x),x))*df=0;

> a:=subs(x=x0,us_t1);

> b:=subs(x=x1,us_t2);

8.Записываем граничные условия ,

> left:=subs(x=x0,y(x))=F1(x0);

> right:=subs(x=x1,y(x))=F2(x1);

9. Находим,, , и экстремаль:

> rez1:=solve({left,right,a,b});

> y(x):=subs(rez1,y(x));assign(rez1);

10.Находим значение функционала при полученном решении:

> F(x,y(x),diff(y(x),x)):

>J;

Пример 2. Найти экстремаль функционала , удовлетворяющую граничным условиям и интегральным связям , .

Решение: Это изопериметрическая задача.

1. Задаем подынтегральную функцию и граничные условия:

> restart:

> F:=(x,Y,DY)->DY^2;

> x0:=0;x1:=1;y0:=0;y1:=0;

2. Составляем функционал:

> J:=int(F(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1);

3.Составляем функцию Лагранжа. Т. к. , , , то

> H1:=(x,Y,DY)->Y;H2:=(x,Y,DY)->x*Y;

> F1:=(x,Y,DY)->F(x,Y,DY)+l1*H1(x,Y,DY)+l2*H2(x,Y,DY);

4. Записываем основную формулу уравнения Эйлера:

> eq:=diff(F1(x,Y,DY),Y)-diff(diff(F1(x,Y,DY),x),DY)-diff(diff(F1(x,Y,DY),Y),DY)*DY-diff(F1(x,Y,DY),DY$2)*D2Y=0;

5. Выполняемзамены (оператор subs): :

> eq1:=subs(Y=y(x),DY=diff(y(x),x),D2Y=diff(y(x),x$2),eq);

6. Находим общее решение уравнения Эйлера:

> dsolve(eq1,y(x));

7. Составляем краевую задачу:

> tk:={eq1,y(x0)=y0,y(x1)=y1};

8. Решаем краевую задачу (оператор dsolve):

> S:=dsolve(tk,y(x));

> assign(S):y(x):

9. Из уравнений связей находим l1,l2

> a1:=int(H1(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1)=1; a2:=int(H2(x,y(x),diff(y(x),x)),x=x0..x1)=0;

> L:=solve({a1,a2});

10.Находим значение функционала при полученном решении:

> y(x):=subs(L,y(x));

> F(x,y(x),diff(y(x),x)):

> J;

Участие в процессе обучения одновременно педагога и компьютера значительно улучшает качество образования. Использование возможностей системы Mapleактивизирует процесс преподавания, повышает интерес студентов к изучаемой дисциплине и эффективность учебного процесса, позволяет достичь большей глубины понимания учебного материала.

 

Литература:

 

  1. Шевченко, А. С. Использование математического пакета Maple при проведении лабораторных работ по курсу «Численные методы» / А. С. Шевченко // Молодой ученый. − 2015. − № 9. − С. 1222–1225.
  2. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление/ И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. − М.: Физматлит, 1961.
  3. Краснов, М. Л. Вариационное исчисление: задачи и упражнения: учебное пособие для втузов / М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев. — М.: Наука, 1973. — 190 с.
  4. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: Учебник для физ. спец. ун-тов/ Л. Э. Эльсгольц — М.: Наука, 1969. –424 с.
Основные термины (генерируются автоматически): задача, вариационное исчисление, решение, учебно-методическое пособие, условный экстремум, подынтегральная функция, основная формула уравнения, общее решение уравнения, краевая задача, учебный процесс.


Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

Итак, выполнены все условия леммы 1, поэтому уравнение имеет решение , а краевая задача (12) имеет решение , удовлетворяющее оценке (11).

3. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов., М., Наука, 1972, — 416 с.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу: Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. МВИ обеспечивает последовательность функций...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Основные термины (генерируются автоматически): решение задачи, краевая задача, нечетная функция, область, краевое условие, задача, уравнение

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Организация вычислений решения краевой задачи для...

Основные термины (генерируются автоматически): MATHCAD, функция, точное решение, система, элемент метода, линейная система уравнений, краевая задача, вычисление значений, вспомогательная функция, математическая система.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие: (2). Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема.

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род. функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

Итак, выполнены все условия леммы 1, поэтому уравнение имеет решение , а краевая задача (12) имеет решение , удовлетворяющее оценке (11).

3. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов., М., Наука, 1972, — 416 с.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу: Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. МВИ обеспечивает последовательность функций...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Основные термины (генерируются автоматически): решение задачи, краевая задача, нечетная функция, область, краевое условие, задача, уравнение

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Организация вычислений решения краевой задачи для...

Основные термины (генерируются автоматически): MATHCAD, функция, точное решение, система, элемент метода, линейная система уравнений, краевая задача, вычисление значений, вспомогательная функция, математическая система.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие: (2). Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема.

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род. функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций.

Задать вопрос