Хорошо известно, что когомологии общей алгебры картановского типа
зависит от когомологии нулевой компоненты
ее стандартной градуировки [1], [2]. В данной заметке вычисляется когомологиис коэффициентами в тривиальном одномерном модуле.
Теорема 1. Пусть
– общая линейная алгебра Ли степени 
над алгебраически замкнутым полем 
характеристики
Тогда
Доказательство. Заметим, что 
Рассматривая как идеал алгебры Ли 
и как -модуль, мы можем использовать спектральную последовательность Серра-Хохшильда
. В частности, для 
получаем
Очевидно, что 
и 
если 
Поэтому 
если Так как
, то
,
и 
в других целочисленных точках первого квадранта. Следовательно,
(1)
Теорема 1 доказана.
Таким образом, вычисление когомологии
приведено к вычислениям когомологии 
и 
В качестве примера рассмотрим алгебру Ли 
Предложение 2. Пусть
– общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики
Тогда 
если
и 
В остальных случаях когомологии тривиальны.
Доказательство. Согласно теореме 1вычисление когомологии
приводится к вычислениям когомологии 
и 
Они вычислены в работе [3]. Согласно результатам этой работы если
В остальных случаях когомологии тривиальны. Тогда утверждение предложения 2 следует из (1) предложения 2.
В малых характеристиках предложение 1 не верно. Пусть 
Согласно предложению 6.2 работы [4],
и предложению 4.1 работы [5],
Используя следующие хорошо известные формулы, справедливые для произвольной алгебры Ли и-модуля
:
(2)
(3)
где
– дуальный для
-модуль, легко можно показать, что
,
где 
– семимерное линейное пространство над. Таким образом, согласно теореме 1, справедливо следующее
Предложение 3.Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики
Тогда
если
если
если
В остальных случаях когомологии тривиальны.
Пусть теперь, 
Согласно предложению 6.2 работы [4],
и результату работы [6],
Используя формулы (2) и (3) для-модуля
, получаем
,
Используя, полученные изоморфизмы в теорему1, получим следующее
Предложение 4. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда
если
если
если
В остальных случаях когомологии тривиальны.
Таким образом, получено полное описание когомологии общей линейной алгебры Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики с коэффициентами в тривиальном одномерном модуле.
Литература:
- Chiu Sen, Shen Guangyu. CohomologyofgradedLiealgebrasofCartantypeofcharacteristicp // Abh. Math.Sem. Univ. Humburg. – 1986. – V. 57. – P. 139-156.
- Shi Bin, Yu-Feng Yao. On cohomology of a non-classical restricted simple Lie algebras // Journal of Algebra and its applications (в печати).
- Ибраев Ш.Ш., Елеусинов Б.Т. Когомологии о восьмимерной модулярной классической алгебры Ли // Тезисы докл. IV межд.конф. «Проблемы ДУ, анализа и алгебры». – Актюбинск. – 2006. -С. 115-116.
- Jantzen J.C. First cohomology groups for classical Lie algebras // Progress in Math. – 1991. – V. 95. – P. 291-300.
- Ибраев Ш.Ш. О первой когомологии алгебраической группы и ее алгебры Ли в положительной характеристике // Матем. заметки. – 2014. – Т. 96, вып. 4. – С. 512-521.
- van der Kallen W.L.J. Infinitesimally central extensions of Chevalley groups.– Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1973.
