Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш., Аимбетова М. Т., Байтуганова А. О., Пирова Г. К. О когомологии gl(3,k)в положительной характеристике // Молодой ученый. — 2016. — №19.2. — С. 21-23.



Хорошо известно, что когомологии общей алгебры картановского типа зависит от когомологии нулевой компонентыее стандартной градуировки [1], [2]. В данной заметке вычисляется когомологиис коэффициентами в тривиальном одномерном модуле.

Теорема 1. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда

Доказательство. Заметим, что Рассматривая как идеал алгебры Ли и как -модуль, мы можем использовать спектральную последовательность Серра-Хохшильда. В частности, для получаем

Очевидно, что и если Поэтому если Так как, то, и в других целочисленных точках первого квадранта. Следовательно,

(1)

Теорема 1 доказана.

Таким образом, вычисление когомологии приведено к вычислениям когомологии и В качестве примера рассмотрим алгебру Ли

Предложение 2. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда если и В остальных случаях когомологии тривиальны.

Доказательство. Согласно теореме 1вычисление когомологииприводится к вычислениям когомологии и Они вычислены в работе [3]. Согласно результатам этой работы еслиВ остальных случаях когомологии тривиальны. Тогда утверждение предложения 2 следует из (1) предложения 2.

В малых характеристиках предложение 1 не верно. Пусть Согласно предложению 6.2 работы [4],

Лабиринт

и предложению 4.1 работы [5],

Используя следующие хорошо известные формулы, справедливые для произвольной алгебры Ли и-модуля:

(2)

(3)

где – дуальный для-модуль, легко можно показать, что

,

где – семимерное линейное пространство над. Таким образом, согласно теореме 1, справедливо следующее

Предложение 3.Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда

если

Лабиринт если

если

В остальных случаях когомологии тривиальны.

Пусть теперь, Согласно предложению 6.2 работы [4],

и результату работы [6],

Используя формулы (2) и (3) для-модуля, получаем

,

Используя, полученные изоморфизмы в теорему1, получим следующее

Предложение 4. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда

если

Лабиринт если

если

В остальных случаях когомологии тривиальны.

Таким образом, получено полное описание когомологии общей линейной алгебры Ли степени 3 над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики с коэффициентами в тривиальном одномерном модуле.

Литература:

  1. Chiu Sen, Shen Guangyu. CohomologyofgradedLiealgebrasofCartantypeofcharacteristicp // Abh. Math.Sem. Univ. Humburg. – 1986. – V. 57. – P. 139-156.
  2. Shi Bin, Yu-Feng Yao. On cohomology of a non-classical restricted simple Lie algebras // Journal of Algebra and its applications (в печати).
  3. Ибраев Ш.Ш., Елеусинов Б.Т. Когомологии о восьмимерной модулярной классической алгебры Ли // Тезисы докл. IV межд.конф. «Проблемы ДУ, анализа и алгебры». – Актюбинск. – 2006. -С. 115-116.
  4. Jantzen J.C. First cohomology groups for classical Lie algebras // Progress in Math. – 1991. – V. 95. – P. 291-300.
  5. Ибраев Ш.Ш. О первой когомологии алгебраической группы и ее алгебры Ли в положительной характеристике // Матем. заметки. – 2014. – Т. 96, вып. 4. – С. 512-521.
  6. van der Kallen W.L.J. Infinitesimally central extensions of Chevalley groups.– Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1973.
Основные термины (генерируются автоматически): случаях когомологии тривиальны, вычислениям когомологии, алгебраически замкнутым полем, линейная алгебра Ли, алгебры Ли, алгебра Ли степени, замкнутым полем характеристики, когомологии общей алгебры, общая линейная алгебра, когомологии нулевой компонентыее, вычисление когомологии, когомологии алгебраической группы, положительной характеристике, классической алгебры Ли, Ибраев Ш.Ш, алгебру Ли, точках первого квадранта, van der kallen, спектральную последовательность Серра-Хохшильда, chevalley groups.– berlin.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос