О пространствах A2-ядер | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш., Аймбетова М. Т., Пирова Г. К. О пространствах A2-ядер // Молодой ученый. — 2016. — №7.1. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/111/28197/ (дата обращения: 23.09.2018).



Пусть g классическая алгебра Ли надалгебраически замкнутым полем k положительной характеристикиp. Ее можно рассматривать как алгебру Ли простой односвязнойалгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем kхарактеристики p>0. Пусть T максимальный тор в G,B T подгруппа Бореля группы G, соответствующаяотрицательным корням, U унипотентный радикал B. Алгебры Ли

B и U соответственно обозначим черезu иb. Ядро морфизма Фробениуса, рассматриваемое как ядроморфизма групповых схем, обозначается через G1. Известно, чтотеория представления G1 и теория представления алгебры Лиg группы G эквивалентны.

Обозначим через Ф систему корней группы G относительно(G,T). Множество положительных и отрицательных корнейсоответственно обозначим через Ф+ и Ф-, и пусть множество простых корней. Для системы корней ранга, пусть - простые корни и – фундаментальные веса. Обозначим целочисленную решетку весов, порожденную фундаментальными весами, через X(T) (аддитивная группа характеров максимального тора T) и пусть X+(T) множество доминантных весов, X1(T)

множество ограниченных весов.

Скалярное произведение на евклидовом пространстве E, порожденное системой корней Ф, обозначается через . Двойственным к Фкорнем является

Пусть - максимальный корень, и -максимальный короткий корень. Действие группы Вейля W системы Ф на группу характеров X(T) определяется по правилу, где Если обозначить полусумму положительных корней через , то другое действие группы Вейля, часто используемое в теории представлений, задается по формуле, где

Аффинная группа Вейля порождается всеми аффинными отражениями , где, nZ. В дальнейшем мы будем пользоваться действием на X(T), определяемым формулой

Для любого существует одномерный B-модультогда и только тогда, когда Пусть V()

модуль Вейля над G со старшим весом , тогда , т.е. индуцированный модуль является G-модулем, двойственным модулю Вейля со

старшим весом –w0(). При этом простой G-модуль L() будет простым цоколем или простым фактор-модулем V() по максимальному подмодулю.

Пусть V- рациональный G-модуль. Обозначим через V(r) скручивание Фробениуса V степени r. Более того, существует единственный r1, такой, что V(-r) есть G-модуль, на котором G1 действует нетривиально.

Для доказательства основного результата мы будем использовать условие коцикличности для 2 и 3коцепей. При n=2,3 условие коцикличности записывается соответственно

+

Теорема. Пусть g – классическая алгебра Ли типа A2 над алгебраически замкнутым полем k характеристики p>3 и V - неприводимый модуль. Тогда , кроме следующих случаев:

(a) V=L(0): dimH3(g,V)=1;

(b) V=L(p-3)λ1: dim H3(g,V)=3;

(c) V=L(p-3) λ2: dim H3(g,V)=3;

(d) V=L(p-2)( λ1+ λ2): dim H3(g,V)=8.

Доказательство. (a) V=L(0). Подпространство (g,V) восьмимерно и порождается векторами h1*۸ e1* ۸f1*,h*2۸ e1*۸f1*, h1*۸ e2* ۸f2*,h*2۸ e2*۸f2*,

h1*۸ e3* ۸f3*,h*2۸ e3*۸f3*, e3*۸ f1* ۸f2*,e*1۸ e2*۸f3*.

Предположим, что линейная комбинация этих векторов соответственно с коэффициентами bi, i=1,……,8 является 3-коциклом. Тогда из условия коцикличности (2) следует, что

Подпространство решений этой линейной системы относительно bi, i=1,……,8, трехмерно. Следовательно dimZ3(g,V) =3.

Подпространство (g,V) 4- мерно и порождается векторами h1*۸ h2* , e1* ۸f1*, e*2۸ f2*, e3f3*, если а1h1*۸ h2*+ a2e*1۸ f1*+a3e*2۸ f2*+ a4e*3۸ f3* €, то согласно (1)

(4)

Следовательно, dim

Таким образом по формуле размерности, dim,H3(g,V) = dimdimdim

(b) V=L((p3)1). Согласно определению,

V((p-3)1= (5)

и очевидно, что L((p-3)1V((p-3)1).

Пространство (g,V) шестимерно и порождается векторами

Предположим, что линейная комбинация этих векторов соответственно с коэффициентами b i,i=1,2,…,6, является 3-коциклом. Тогда, используя условия коцикличности (2) для всех возможных четверок базисных векторов алгебры Ли (их количество равно 70), получим: b2=b5=0 и b3=b4. Следовательно, dim(g,V)=3.

(g,V) трехмерно и порождается векторами

Условие коцикличности (18) тривиально относительно каждого их этих 2-коцепей. Тогда

(g,V)=(g,V) и dim(g,V)=3.

Наконец, по формуле (2), dimH3(g,V)= dim(g,V)+ dim(g,V)- dim(g,V)=

3+3-3=3.

Утверждение (c) доказывается совершенно аналогично предыдущему

утверждению.

Теперь докажем утверждения (d). Пусть V=L((p-2)(1)+2). Так как в модуле Вейля

V((p-2)(1+2) с векторами работать сложно, мы будем доказывать это утверждение иначе чем предыдущие утверждения. Согласно лемме 3, имеет место следующая короткая точная последовательность G-модулей:

Рассмотрим соответствующую длинную когомологическую точную

последовательность G-модулей:

Известно, что Тогда,

Кроме того H2(g,L(0))=0 [17] и H0(1+2)=L(1+2) (p>3). Поэтому отображение

является эпиморфизмом. Тогда, из последней длинной когомологической последовательности получим изоморфизм G-модулей По формуле Вейля dimH0(1+2)=8.

Теперь докажем, что для модулей V=L((p-2)1+2), L(1+(p-2)2) когомологии степени 3 тривиальны.

Пусть V=L((p-2)1+2). Докажем, что H3(g,V)=0. Тривиальность H3(g,L(1+(p-2)2)) следует из взаимной сопряженности модулей V и L (1+(p-2)2). Имеем:

dim(g,V)=42 и Как циклический G-модуль пространство H3(g,V) порождаются старшим вектором (когомологическим классом) веса

p1, так как p1 является единственным доминантным весом из Поэтому достаточно показать, что Результаты соответствующих вычислений приведены в таблице1.

Таблица1

n

dim(g,V)

dim(g,V)

dim(g,V)

1

2

1

1

2

7

1

0

3

14

6

0

Согласно этой таблице, dim(g,V)=0. Доказательство предложения 1 завершено.

Литература:

  1. Andersen H. H., Jantzen J. C. Cohomology of induced representations for algebraic groups, Math. Ann. 1984. Vol. 269. P. 487 525.
Основные термины (генерируются автоматически): вес, замкнутое поле, Алгебра Ли, модуль, утверждение, вектор, действие группы, максимальный тор, линейная комбинация.


Похожие статьи

Нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых...

алгебра Ли, положительная характеристика, группа, результат работы, замкнутое поле, модуль, второе, предложение, простая односвязная алгебраическая группа, простой модуль группы.

Эквивалентность обычной и ограниченной второй когомологий...

Пусть – простая односвязная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики , – ядро отображения Фробениуса для и – алгебра Ли группы . В категории ограниченных модулей теория представлений и теория представлений алгебры Ли...

Когомологии первой степени простых модулей над...

аффинная группа, односвязная алгебраическая группа, вес, лемма, модуль, предложение, простой G-модулъ, рациональный G-модуль, доказательство теоремы, замкнутое поле, множество, утверждение.

Анализ системы автоматического управления образовательным...

Основной целью модуля «векторная алгебра», является предоставить знания по разложению вектора по базису, развить навыки и умения по

В зависимости от причины неуспеваемости, коэффициент для корректировки оценки , будет принимать различный вес. Таблица 1.

О когомологии gl(3, k) в положительной характеристике

Теорема 1. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда.

Тогда утверждение предложения 2 следует из (1) предложения 2. В малых характеристиках предложение 1 не верно.

Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме

Уравнения (1.1)-(1.2) позволяют вывести замкнутые уравнения для полей и

Поскольку в вакууме свободные заряды отсутствуют, т. е. div = 0, для вектора напряженности электрического поля получаем следующее уравнение.

Уравнения (1.7) и (1.8) линейны по полю.

Максимизация направленности фазированных антенных решеток...

Как описывалось в [1], поля излучения антенных систем, имеющих точки питания, могут быть представлены в виде линейной комбинации частных

Следует подчеркнуть, что это функция от вектора, который определяет точку, при которой электромагнитное поле вычисляется.

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Пусть произвольная ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел.

Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана , если существует такая последовательность центральных проекторов...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых...

алгебра Ли, положительная характеристика, группа, результат работы, замкнутое поле, модуль, второе, предложение, простая односвязная алгебраическая группа, простой модуль группы.

Эквивалентность обычной и ограниченной второй когомологий...

Пусть – простая односвязная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики , – ядро отображения Фробениуса для и – алгебра Ли группы . В категории ограниченных модулей теория представлений и теория представлений алгебры Ли...

Когомологии первой степени простых модулей над...

аффинная группа, односвязная алгебраическая группа, вес, лемма, модуль, предложение, простой G-модулъ, рациональный G-модуль, доказательство теоремы, замкнутое поле, множество, утверждение.

Анализ системы автоматического управления образовательным...

Основной целью модуля «векторная алгебра», является предоставить знания по разложению вектора по базису, развить навыки и умения по

В зависимости от причины неуспеваемости, коэффициент для корректировки оценки , будет принимать различный вес. Таблица 1.

О когомологии gl(3, k) в положительной характеристике

Теорема 1. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда.

Тогда утверждение предложения 2 следует из (1) предложения 2. В малых характеристиках предложение 1 не верно.

Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме

Уравнения (1.1)-(1.2) позволяют вывести замкнутые уравнения для полей и

Поскольку в вакууме свободные заряды отсутствуют, т. е. div = 0, для вектора напряженности электрического поля получаем следующее уравнение.

Уравнения (1.7) и (1.8) линейны по полю.

Максимизация направленности фазированных антенных решеток...

Как описывалось в [1], поля излучения антенных систем, имеющих точки питания, могут быть представлены в виде линейной комбинации частных

Следует подчеркнуть, что это функция от вектора, который определяет точку, при которой электромагнитное поле вычисляется.

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Пусть произвольная ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел.

Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана , если существует такая последовательность центральных проекторов...

Задать вопрос