Эквивалентность обычной и ограниченной второй когомологий простых модулей классических модулярных алгебр Ли | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 26 октября, печатный экземпляр отправим 30 октября.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш., Айтбаева А. Е., Тажибаева А. С. Эквивалентность обычной и ограниченной второй когомологий простых модулей классических модулярных алгебр Ли // Молодой ученый. — 2014. — №1.2. — С. 1-2. — URL https://moluch.ru/archive/60/8907/ (дата обращения: 16.10.2019).

Пусть  – простая односвязная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем  характеристики ,  – ядро отображения Фробениуса для  и  – алгебра Ли группы .  В категории ограниченных модулей теория представлений  и теория представлений алгебры Ли   эквивалентны [1; часть I, п. 9.6]. Следовательно, когомология ограниченного модуля для  и соответствующая ограниченная когомология алгебры Ли  также эквивалентны. Ограниченная когомология ограниченной алгебры Ли для ограниченного модуля была введена Хохшильдом в [2]. В этой же работе была построена точная последовательность, устанавливающая связь между ограниченной и обычной когомологиями алгебры Ли, а также изучены свойства начальных членов этой последовательности. В частности, установлено эквивалентность первой обычной и первой ограниченной когомологий ограниченной алгебры Ли. Для второй когомологии это утверждение же неверно. Однако известные примеры классических алгебр Ли малых рангов показывают, что в этих случаях вторые ограниченные и обычные когомологий простых ограниченных нетривиальных модулей совпадают.  В данной работе доказывается, что, если соответствующая первая группа когомологии тривиальна, то последнее утверждение распространяется для всех классических алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики.

Теорема 1. Пусть – классическая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем  характеристики . Предположим, что для алгебры Ли типа  . Если   и , то .

Доказательство. Для всех  справедлива следующая точная последовательность Хохшильда:

        .  (1)

Если  и все условия теоремы 1 выполнены, то ,  и  из точной последовательности (1) получаем следующую короткую точную последовательность -модулей:

                               .

Все нетривиальные случаи когомологии   подробно изучены в работах  [3], [4].

Если  и все условия теоремы 1 выполнены, то очевидно, что  и из точности последовательности (1) следует требуемый изоморфизм теоремы 1. Доказательство теоремы 1 завершено.

Если , то вероятнее всего утверждение теоремы 1 также выполняется, но доказать это пока не удается.  Для когомологии индуцированного модуля  в работах  [5], [6] получена следующая замечательная формула, справедливая для ,     

                     (2)

где  – максимальная нильпотентная подалгебра алгебры Ли группы , соответствующая отрицательным корням,  – симметрическая алгебра на ,  –  длина элемента .  Формальных характеров -модуля  можно вычислить по формуле

                         ,            (3)

где  – размерность -весового подпространства пространства .

Для вычисления , где , можно использовать следующий алгоритм:

1) Вычислить .

2) Если , то по принципу связанности для  .

3) Пусть . Отношение сильной связанности, введенное Андерсеном  в [7], является отношением эквивалентности на множестве  и делит это множество на эквивалентные классы, сильно связанных с друг другом элементов. Число эквивалентных классов равно порядку  фундаментальной группы  системы корней . Согласно [7], элементов каждого эквивалентного класса можно упорядочить по обычному частичному порядку. Так как эквивалентные классы не пересекаются, то  принадлежит только одному из этих классов, т.е. .  Предположим, что он упорядочен по возрастанию и  для некоторого .  Рассматривая длинные точные когомологические последовательности -когомологии, соответствующие  коротким точным последовательностям

                               ,                     

и используя общую формулу Андерсена-Янцена (2), формулу формальных характеров (3), индуктивно по  и по  можно вычислить когомологии . Тогда .

Литература:

1.      J.C. Jantzen. Representations of algebraic groups. – Boston: Pure and Applied Mathematics, Vol. 131. - 1987. - 446 p.

2.      G. Hochschild. Cohomology of restricted Lie algebras // Amer. J. Math. - 1954. - Vol. 76. - P. 555-580.

3.      W.L.J. van der Kallen. Infinitesimally central extensions of Chevalley groups, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1973.

4.      Ш.Ш. Ибраев. О центральных расширениях классических алгебр Ли  // Сиб. электрон. матем. изв. – 2013. – Т. 10. – С. 450-453.

5.      Andersen H.H., Jantzen J.C. Cohomology of induced representations for algebraic  groups // Math. Annal. - 1984. - Vol. 269. - P. 487-525.

6.      Kumar S., Lauritzen N., Thomsen J. Frobenius splitting of cotangent bundles of flag varieties // Invent. Math. - 1999. - Vol. 136. - P.603-621.

7.      Andersen H.H. The strong linkage principle // J. Reine Anew. Math. - 1980. - Vol. 315. - P. 53-59.

Основные термины (генерируются автоматически): алгебра Ли, замкнутое поле, точная последовательность, алгебра Ли группы, ограниченная алгебра Ли, ограниченный модуль, условие теоремы.


Похожие статьи

Нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых...

алгебра Ли, положительная характеристика, группа, результат работы, замкнутое поле, модуль, второе, предложение, простая односвязная алгебраическая группа, простой модуль группы.

О пространствах A2-ядер | Статья в журнале «Молодой ученый»

Пусть g классическая алгебра Ли надалгебраически замкнутым полем k положительной характеристикиp. Ее можно рассматривать как алгебру Ли простой односвязнойалгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем kхарактеристики p>0. Пусть T максимальный...

Когомологии первой степени простых модулей над...

где – максимальная нильпотентная подалгебра алгебры Ли группы , соответствующая отрицательным корням, – симметрическая алгебра на , – длина

Для простого G-модуля L(λ) спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра имеет вид [10], 1.6.6.(3)

О когомологии gl(3, k) в положительной характеристике

Теорема 1. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда.

Заметим, что Рассматривая как идеал алгебры Ли и как -модуль, мы можем использовать спектральную последовательность Серра-Хохшильда .

О строении одной разрешимой алгебры Лейбница

In this paper we consider Leybniz algebra with a known nilradical. It proved that such an algebra is decomposed as a direct sum of its nilradical and two-dimensional complementary subspace. Определение 1. Алгебра G над полем F называется алгеброй Ли, если для любых x,y...

О жесткости одной разрешимой алгебры Лейбница...

Активные исследования алгебр Ли привели к возникновению нового алгебраического объекта — алгебр Лейбница. Алгебра Лейбница является обобщением алгебры Ли, для которого уникальное свойство алгебры Ли...

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Пусть произвольная ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел.

Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется измеримым относительно

Следующая теорема описывает линейное пространство. для алгебр фон Неймана, имеющих тип I .

Построение периодических решений для квазилинейных...

Справедлива следующая теорема, показывающая смысл такого понятия простого решения.

Если обозначит через матрицу то по условию леммы определитель имеет порядок , т. е.

Здесь - линейный, ограниченный оператор; - непрерывная функция дифференцируемая по и...

Похожие статьи

Нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых...

алгебра Ли, положительная характеристика, группа, результат работы, замкнутое поле, модуль, второе, предложение, простая односвязная алгебраическая группа, простой модуль группы.

О пространствах A2-ядер | Статья в журнале «Молодой ученый»

Пусть g классическая алгебра Ли надалгебраически замкнутым полем k положительной характеристикиp. Ее можно рассматривать как алгебру Ли простой односвязнойалгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем kхарактеристики p>0. Пусть T максимальный...

Когомологии первой степени простых модулей над...

где – максимальная нильпотентная подалгебра алгебры Ли группы , соответствующая отрицательным корням, – симметрическая алгебра на , – длина

Для простого G-модуля L(λ) спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра имеет вид [10], 1.6.6.(3)

О когомологии gl(3, k) в положительной характеристике

Теорема 1. Пусть – общая линейная алгебра Ли степени над алгебраически замкнутым полем характеристики Тогда.

Заметим, что Рассматривая как идеал алгебры Ли и как -модуль, мы можем использовать спектральную последовательность Серра-Хохшильда .

О строении одной разрешимой алгебры Лейбница

In this paper we consider Leybniz algebra with a known nilradical. It proved that such an algebra is decomposed as a direct sum of its nilradical and two-dimensional complementary subspace. Определение 1. Алгебра G над полем F называется алгеброй Ли, если для любых x,y...

О жесткости одной разрешимой алгебры Лейбница...

Активные исследования алгебр Ли привели к возникновению нового алгебраического объекта — алгебр Лейбница. Алгебра Лейбница является обобщением алгебры Ли, для которого уникальное свойство алгебры Ли...

Свойства коммутаторов на *-подалгебрах в алгебрах локально...

Пусть произвольная ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел.

Замкнутый линейный оператор , присоединенный к , называется измеримым относительно

Следующая теорема описывает линейное пространство. для алгебр фон Неймана, имеющих тип I .

Построение периодических решений для квазилинейных...

Справедлива следующая теорема, показывающая смысл такого понятия простого решения.

Если обозначит через матрицу то по условию леммы определитель имеет порядок , т. е.

Здесь - линейный, ограниченный оператор; - непрерывная функция дифференцируемая по и...

Задать вопрос