Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш. Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической группой типа в положительной характеристике // Молодой ученый. — 2011. — №2. Т.1. — С. 6-10.

Дано полное описание когомологий первой степени простой алгебраической группы типа над алгебраически замкнутым полем характеристики с коэффици­ентами в простых модулях.

Пусть G – полупростая односвязная алгебраическая группа над алгебраичес­ки замкнутым полем характеристики , G1 – ядро отображения Фробениуса F : GG. Обозначим через В и Т соответственно подгруппу Бореля и максимальный тор группы G. Будем считать, что унипотентный радикал В соответствует отрицательным корням системы корней R группы G.

Пусть для всех – множество доминантных весов и для всех – множество ограниченных весов, где Х(Т) – группа характера максимального тора Т, а S – множество простых корней.

Когомологии первой степени простых модулей полностью вычислены только для следующих односвязных алгебраических групп: [1], [2], [3]. Для когомологий второй степени аналогичные результаты получены для [1], [4], [5], [6]. Для простых модулей, размерности которых не превосходят р, вторые когомологии вычислены для всех алгебраических групп [7].

Пусть L – рациональный G-модуль. Через L(d) обозначим кручение Фробениуса степени d для L. Тогда существует единственный и рациональный G-модуль V такой, что V(d) = L. Обозначим его через L(-d).

Когомологии над индуцированных модулей для вычислены в [8]:

(1)

где – максимальная нильпотентная подалгебра алгебры Ли группы , соответствующая отрицательным корням, – симметрическая алгебра на , – длина элемента .

Пусть теперь – полупростая односвязная алгебраическая группа типа и . Обозначим через фундаментальные веса и будем использовать сокращенную запись для . Так как из фундаментальных весов является наименьшим только , то имеются ровно альковы аффинной группы Вейля с ограниченными весами. Обозначим их через . Пусть , , , , , , – элементы аффинной группы Вейля . Тогда ; ; ; ; ; ; ; , , где нижний фундаментальный альков аффинной группы Вейля.

Кроме того, существует следующие двадцать альковов с неограниченными весами: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Предложение 1. Пусть , и – ограниченный неприводимый -модуль. Тогда , кроме следующих случаев:

(i) , если и ;

(ii) , если и ;

(iii) , если и ;

(iv) , если и .

Доказательство. По принципу связанности только следующие 48 ограниченных весов -связаны с нулевым весом:

.

Согласно (1) только 3 модуля имеют нетривиальную когомологию , причем

Пусть . Только 7 модулей имеют нетривиальное инвариантное подпространство , причем

Согласно [9, c.298, 301],

. (2)

Тогда только для перечисленных выше 9 простых ограниченных модулей первые группы когомологий нетривиальны. Кроме того, используя (2), получаем изоморфизмы -модулей (i) – (iv). Предложение 1 доказано.

Для простого G-модуля L(λ) спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра имеет вид [10], 1.6.6.(3):

. (3)

Если - ее стабилизированное значение, то

(4)

Определим множество простых модулей . Из (1) и теоремы Стейнберга о тензорном произведений следует, что

(5)

Теорема 2. Пусть – односвязная алгебраическая группа типа над алгебраически замкнутым полем характеристики и – конечномерный простой G-модулъ. Введем на рассмотрение множества весов

= , если ,

= , если ,

и предположим, что . Тогда

где и .

Сначала докажем следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 3. Пусть . Тогда

(i) , если ;

(ii) , если ;

(iii) , если ;

(iv) , если ;

(v) .

Доказательство. (i) Пусть . По (3)

.

Далее, по предложению 1(iv) и по лемме 1.1 работы [11],

.

(ii) Пусть . По (3)

.

Далее, по предложению 1(ii) и по лемме 1.1 работы [11],

.

(iii) и (iv) доказываются аналогично предыдущему случаю.

(v) Если μ = 0, то по (3),

. Доказательство леммы завершено.

Лемма 4. Пусть . Тогда

(i) ;

(ii) .

Доказательство. (i) следует из (3) и предложения 1. Утверждение (ii) вытекает из леммы 3(v) и утверждения (i) данной леммы. Лемма доказана.

Предложение 5. Пусть и – конечномерный простой G-модулъ. Тогда

(i) ;

(ii) ;

(iii) .

Доказательство. По теореме Стейнберга о тензорном произведений λ можно пред­ставить в следующем виде: λ = μ + , где и . По определению является когомологией последовательности . Тогда , если

, когда (6)

Для выполнение условия (6) очевидно. Докажем, что = 0 если ≠ 0. Если ≠ 0, то по предложению 1, . Тогда согласно (3), = 0.

Для любой спектральной последовательности и . Это доказывает справедливость утверждений (i) и (ii). Утверждение (iii) следует из утверждений (i), (ii) данной леммы и формулы (2). Предложение доказано.

Доказательство теоремы 2. Очевидно, что . Кроме того, согласно лемме 3 множества также попарно не пересекаются. Тогда утверждение теоремы следует из предложения 5 и леммы 4. Доказательство теоремы 2 завершено.

Литература:
  1. Stewart D.I. The second cohomology of simple SL2-modules // arXiv:0904.0623v2 [math.RT], 2009.

  2. Yehia S. El. Extensions of simple modules for the universal Chevalley group and parabol­ic subgroup.- Warwick: Ph.D. Thesis. - 1982.

  3. Ye Jiachen. Extensions of simple modules for the group Sp(4,K) // J. London Math. Soc. - 1990. - V. 2(41). - P. 51-62.

  4. Stewart D.I. The second cohomology of simple SL3-modules // arXiv:0907.4626vl [math.RT], 2009.

  5. Ibraev S.S. The second cohomology groups of simple modules for Sp4(k) // Intern. algebraic conf. dedicated to the 70th birthday of A.V. Yakovlev. - St. Peterburg, Russia. - 2010. - P. 113-114.

  6. Ибраев Ш.Ш. О второй когомологии простых модулей над в положительной характеристике // Материалы II межд. Научно-практ. Конф. «Наука в современном мире». - Москва.- 2010. С. 273-278.

  7. McNinch G.J. The second cohomology of small irreducible modules for simple algebraic group // Pacific. J. Math. - 2002. - V. 204, No. 2. - P. 459-472.

  8. Andersen H.H., Jantzen J.C. Cohomology of induced representations for algebraic groups // Math. Annalen. - 1984. - Vol. 269. - P. 487-525.

  9. Jantzen J.C. First cohomology groups for classical Lie algebras // Progress in Math. - 1991. - Vol. 95. - P. 289 - 315.

  10. Jantzen J.C. Representations of algebraic groups. Boston: Pure and Applied Mathe­matics. V. 131, 1987.

  11. Sullivan J.B. Frobenius operations on Hochschild cohomology // Amer. J. Math. - 1980. - V. 102, No 4. - P. 765-780.

Работа выполнена при финансовой поддержке государственной программы фундаментальных исследований Ф. 0508 МОиН РК.

Основные термины (генерируются автоматически): простых модулей, замкнутым полем характеристики, односвязная алгебраическая группа, аффинной группы Вейля, степени простых модулей, of simple modules, modules for, simple modules for, алгебраически замкнутым полем, second cohomology of, алгебраическая группа типа, Jantzen J.C, ограниченных весов, положительной характеристике, algebraic groups, простых ограниченных модулей, Доказательство теоремы, когомологии простых модулей, cohomology of simple, множество простых корней.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос