Библиографическое описание:

Кочкин С. А., Островский В. В. Определение потенциальной энергии частицы по известной линейной энергетической зависимости периода ее финитного движения в потенциальной яме // Молодой ученый. — 2016. — №18. — С. 20-22.



В данной работе на основе закона сохранения энергии и решения соответствующего интегрального уравнения получено точное выражение для потенциальной энергии частицы по заданной зависимости периода финитного движения частицы от ее полной механической энергии, взятой в линейном приближении. Также проведено сравнение результата с известной потенциальной энергией в случае гармонических колебаний частицы.

Ключевые слова: одномерное финитное движение, зависимость периода от энергии, интегральное уравнение Абеля, гармонические колебания

Во многих теоретических и прикладных задачах классической механики [1], а также других разделов физики [2], включая теорию колебаний атомно-молекулярных систем, возникает необходимость определения зависимости периода или частоты колебаний от полной энергии той или иной частицы, совершающей подобное финитное движение в известном потенциальном поле. Однако нередко требуется знать решение обратной задачи — задачи о нахождении заранее неизвестной потенциальной энергии частицы, совершающей финитное движение в некотором — зачастую достаточно сложном — внешнем поле, по известной (либо из экспериментальных данных, либо из каких-либо иных теоретических предположений или оснований) зависимости периода или частоты такого движения от полной механической энергии частицы.

В общем виде для произвольной энергетической зависимости периода такая обратная задача не имеет готового решения, однако его можно получить в определенных частных случаях. В настоящей работе, на основе методики расчета, предложенной нами ранее в [3] в относительно простом случае, найдено точное решение более сложной задачи при нулевом и первом приближениях в разложении энергетической зависимости периода частицы в степенной ряд.

Рассмотрим частицу массой , которая может совершать финитное движение в симметричной потенциальной яме с потенциальной энергией и с полной механической энергией (). То есть будем предполагать, что — монотонно возрастающая при функция, график которой симметричен относительно оси ординат, причем . Тогда, предполагая отсутствие диссипативных сил, в силу закона сохранения энергии будем иметь

.

Проинтегрируем это уравнение, разделяя переменные, в результате получим выражение, связывающее период финитного движения и потенциальную энергию частицы в виде

, (1)

где — точка возврата, являющаяся корнем уравнения .

Перейдем под интегралом в (1) к новой переменной интегрирования . Для этого сначала выразим из обратную функцию , (т. е. будем рассматривать только положительную полуось в силу симметричности графика функции ). Вычислив дифференциал этой функции в виде , введя обозначение и пересчитав пределы интегрирования, получим выражение, связывающую период финитного движения и функцию :

. (2)

В таком виде выражение (2) представляет собой интегральное уравнение Абеля [4] относительно неизвестной функции , если считать, что — заданная функция. Это означает, что если мы решим интегральное уравнение (2) и найдем функцию , то затем найдем и искомую потенциальную энергию из решения задачи Коши для следующего дифференциального уравнения

. (3)

Решение интегрального уравнения Абеля (2) как частного случая интегрального уравнения Вольтерра первого рода можно находить разными методами, однако проще его найти так, как описано в [4], в результате получим решение в следующем виде:

. (4)

Далее будем считать, что известна степенная зависимость периода финитного движения частицы от ее полной энергии , которую представим в следующем виде

, (5)

где и — постоянные числа.

Вычисляя интеграл в (4) с учетом (5) и затем дифференцируя по , получим функцию в следующем виде

, (6)

где — гамма-функция [5].

Наконец, подставляя найденную функцию в дифференциальное уравнение (3) и решая его при указанном начальном условии, приходим к следующему уравнению относительно неизвестной потенциальной энергии частицы:

, (7)

где для краткости введены следующие обозначения:

, .

Очевидно, что для любого возможного уравнение (7) не имеет решения в явном виде. Анализ этого уравнения показал, что можно найти точное решение только в некоторых частных случаях, например, при . Мы далее рассмотрим его решение при , таким образом, будем искать потенциальную энергию частицы при заданной зависимости периода финитного движения частицы от ее полной энергии в линейном приближении:

. (8)

В результате при придем к кубическому уравнению канонического вида

,

где для удобства введена новая переменная .

Воспользовавшись формулой Кардано [6] для решения подобных уравнений, в результате получим точное вещественное решение для потенциальной энергии частицы при известной линейной зависимости периода ее движения от полной энергии в виде

, (9)

где для краткости введены следующие обозначения:

, .

Легко проверить, что функция (9) является возрастающей при и удовлетворяет условию .

Отметим также, что в нулевом приближении , т. е. когда период финитного движения частицы не зависит от ее энергии, из формулы (6) следует более простое выражение для функции :

.

Тогда решая задачу Коши (3) с найденной функцией , в этом случае получим потенциальную энергию частицы в виде

, (10)

где

.

Таким образом, получили известный вид потенциальной энергии частицы в случае ее гармонических колебаний с периодом , при которых он, как известно, не зависит от энергии частицы [7]. При этом имеет смысл коэффициента квазиупругой силы, действующей на частицу.

Тот же результат (10) можно получить и из формулы (9) при условии малых отклонений частицы от положения устойчивого равновесия, т. е. при разложении полученной зависимости потенциальной энергии (9) в ряд при малых , ограничиваясь лишь квадратичным членом разложения.

В заключение заметим, что учет квадратичного члена, наряду с линейным, в разложении энергетической зависимости периода движения частицы (8) приводит к алгебраическому уравнению пятой степени, которое, согласно теореме Абеля [6], уже неразрешимо явно в радикалах, поэтому решение поставленной задачи в таком случае возможно лишь численными методами.

Литература:

1. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. — М., 2002. — 292 с.

2. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М., 1988. — 368 с.

3. Кочкин С. А., Розевика А. А. Задача о нахождении потенциальной энергии классической частицы по известной степенной зависимости периода ее финитного движения от полной энергии // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. — 2016. — № 8(1). — С. 23–26.

4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. — М., 2016. — 192 с.

5. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М., 1979. — 832 с.

6. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — М., 2001. — 192 с.

7. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. — М., 2005. — 560 с.

Основные термины (генерируются автоматически): потенциальной энергии частицы, зависимости периода, финитного движения, финитного движения частицы, энергетической зависимости периода, полной энергии, потенциальную энергию частицы, периода финитного движения, неизвестной потенциальной энергии, период финитного движения, зависимости периода финитного, полной механической энергии, зависимости периода частицы, механической энергии частицы, закона сохранения энергии, разложении энергетической зависимости, потенциальной яме, потенциальной энергией, гармонических колебаний частицы, периода движения частицы.

Ключевые слова

одномерное финитное движение, зависимость периода от энергии, интегральное уравнение Абеля, гармонические колебания

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос