Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Физика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (144) март 2017 г.

Дата публикации: 13.03.2017

Статья просмотрена: 53 раза

Библиографическое описание:

Кочкин С. А., Абдурахимов Н. А. Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора // Молодой ученый. — 2017. — №10. — С. 19-20. — URL https://moluch.ru/archive/144/40405/ (дата обращения: 24.09.2018).



В данной работе в приближенном виде найдены зависимости периода колебаний одномерного релятивистского гармонического осциллятора от его амплитуды колебаний и полной механической энергии. Также приведено сравнение полученных результатов с известным периодом колебаний гармонического осциллятора в классическом случае.

Ключевые слова: релятивистский гармонический осциллятор, финитное движение, зависимость периода от энергии, зависимость периода от амплитуды, изохронность

Известно, что в рамках классической механики гармонические колебания частицы (гармонического осциллятора) обладают свойством изохронности [1], т. е. период таких колебаний не зависит от их амплитуды. Впрочем, изохронность гармонических колебаний в классическом случае сохраняется до тех пор, пока выполнено требование малости таких колебаний, при учете следующих членов в разложении потенциальной энергии частицы появляется зависимость периода от ее амплитуды колебаний.

Переход же от классической механики к релятивистской при описании движения частицы во внешних потенциальных полях в свою очередь приводит к появлению релятивистских эффектов и более сложным зависимостям между исследуемыми величинами, которые, однако, не всегда можно получить в точном виде. Возможность получения точных выражений для периода финитного движения частицы в некоторых симметричных внешних потенциальных полях обсуждалась в [2]. В настоящей работе в первых двух приближениях получены простые выражения для зависимостей периода колебаний релятивистского осциллятора во внешнем квадратичном потенциальном поле от его амплитуды колебаний и полной энергии.

Рассмотрим релятивистскую частицу массой покоя , которая может совершать одномерное финитное движение во внешнем поле с потенциальной энергией , где — коэффициент квазиупругой силы, действующей на частицу, — ее координата. Будем считать внешнее поле стационарным, поэтому сохраняется полная энергия релятивистской частицы в данном поле, которую можно представить в следующем виде [3]

,

где первое слагаемое — это энергия движения свободной релятивистской частицы, — ее скорость, — скорость света в вакууме.

Проинтегрируем это уравнение, разделяя переменные, в результате получим выражение для периода финитного движения в зависимости от полной энергии релятивистской частицы в виде

, (1)

где — это точка возврата, являющаяся корнем уравнения

, (2)

другими словами, наибольшее отклонение частицы при данной энергии или амплитуда колебаний.

Преобразуем подынтегральное выражение в (1) с учетом (2) к следующему виду

. (3)

Далее, для того чтобы упростить вычисление интеграла в (1), будем считать потенциальную энергию малой по сравнению с энергией покоя частицы, так что можно разложить последний множитель в выражении (3) в ряд:

При этом мы ограничимся первыми тремя членами разложения, тем самым получим искомое выражение для периода колебаний осциллятора с учетом релятивистских поправок до второго порядка включительно. В результате разложения выражение (3) примет вид

. (4)

Тогда, вычисляя интеграл (1) с уже выражением (4), после преобразований получим в первых двух приближениях следующую зависимость периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора от его амплитуды колебаний:

, (5)

где — период колебаний нерелятивистского гармонического осциллятора, который не зависит от амплитуды колебаний [1].

Используя связь энергии и амплитуды (2), из (5) нетрудно получить соответственно зависимости периода колебаний релятивистского осциллятора от его полной энергии в первом приближении

(6)

и во втором

, (7)

где так же считается, что полная энергия релятивистской частицы не сильно отличается от ее энергии покоя.

Таким образом, расчет и анализ периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора показал, что по сравнению с классическим случаем изохронность колебаний релятивистского осциллятора нарушается: в силу релятивистских эффектов в первом приближении появляется квадратичная зависимость периода от амплитуды, во втором приближении — зависимость четвертой степени от амплитуды колебаний осциллятора (формула (5)). Кроме этого, различны зависимости периода такого осциллятора от его полной энергии в первом и втором приближениях (формулы (6) и (7) соответственно).

В заключение отметим, что рассмотренная методика приближенного вычисления периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора позволяет также получить приближения и более высоких порядков.

Литература:

  1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. — М., 2005. — 560 с.
  2. Кочкин С. А., Фофанов А. С. Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных полях // Молодой ученый. — 2017. — № 5(139). — С. 17–19.
  3. Истеков К. К. Курс теоретической физики. — А., 2005. — 574 с.
Основные термины (генерируются автоматически): амплитуда колебаний, полная энергия, зависимость периода, релятивистский гармонический осциллятор, релятивистская частица, зависимость периода колебаний, релятивистский осциллятор, гармонический осциллятор, потенциальная энергия, финитное движение.


Ключевые слова

зависимость периода от энергии, финитное движение, зависимость периода от амплитуды, релятивистский гармонический осциллятор, изохронность

Похожие статьи

Зависимости периода одномерного финитного движения...

В данной работе в явном виде найдены зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной механической энергии во внешних симметричных потенциальных полях.

Определение потенциальной энергии частицы по известной...

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора. Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных...

Зависимости периода одномерного финитного движения...

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Определение потенциальной энергии частицы по известной линейной энергетической зависимости периода ее финитного движения в потенциальной...

Статьи по ключевому слову "зависимость периода от энергии..."

Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Статьи по ключевому слову "зависимость периода от..."

Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Исследование колебаний распределенных систем

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора. Исследование способов увеличения резкости рентгеновских снимков объектов технических систем.

Проектная деятельность при изучении физики колебаний

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Активизация внеаудиторной самостоятельной работы курсантов по...

Физика колебаний базируется на исследовании поведения гармонического осциллятора с одной степенью свободы, например, математического маятника в однородном поле тяготения.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Зависимости периода одномерного финитного движения...

В данной работе в явном виде найдены зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной механической энергии во внешних симметричных потенциальных полях.

Определение потенциальной энергии частицы по известной...

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора. Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных...

Зависимости периода одномерного финитного движения...

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Определение потенциальной энергии частицы по известной линейной энергетической зависимости периода ее финитного движения в потенциальной...

Статьи по ключевому слову "зависимость периода от энергии..."

Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Статьи по ключевому слову "зависимость периода от..."

Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Исследование колебаний распределенных систем

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора. Исследование способов увеличения резкости рентгеновских снимков объектов технических систем.

Проектная деятельность при изучении физики колебаний

Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора.

Активизация внеаудиторной самостоятельной работы курсантов по...

Физика колебаний базируется на исследовании поведения гармонического осциллятора с одной степенью свободы, например, математического маятника в однородном поле тяготения.

Задать вопрос