Библиографическое описание:

Кочкин С. А., Абдурахимов Н. А. Амплитудная и энергетическая зависимости периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора // Молодой ученый. — 2017. — №10. — С. 19-20.



В данной работе в приближенном виде найдены зависимости периода колебаний одномерного релятивистского гармонического осциллятора от его амплитуды колебаний и полной механической энергии. Также приведено сравнение полученных результатов с известным периодом колебаний гармонического осциллятора в классическом случае.

Ключевые слова: релятивистский гармонический осциллятор, финитное движение, зависимость периода от энергии, зависимость периода от амплитуды, изохронность

Известно, что в рамках классической механики гармонические колебания частицы (гармонического осциллятора) обладают свойством изохронности [1], т. е. период таких колебаний не зависит от их амплитуды. Впрочем, изохронность гармонических колебаний в классическом случае сохраняется до тех пор, пока выполнено требование малости таких колебаний, при учете следующих членов в разложении потенциальной энергии частицы появляется зависимость периода от ее амплитуды колебаний.

Переход же от классической механики к релятивистской при описании движения частицы во внешних потенциальных полях в свою очередь приводит к появлению релятивистских эффектов и более сложным зависимостям между исследуемыми величинами, которые, однако, не всегда можно получить в точном виде. Возможность получения точных выражений для периода финитного движения частицы в некоторых симметричных внешних потенциальных полях обсуждалась в [2]. В настоящей работе в первых двух приближениях получены простые выражения для зависимостей периода колебаний релятивистского осциллятора во внешнем квадратичном потенциальном поле от его амплитуды колебаний и полной энергии.

Рассмотрим релятивистскую частицу массой покоя , которая может совершать одномерное финитное движение во внешнем поле с потенциальной энергией , где — коэффициент квазиупругой силы, действующей на частицу, — ее координата. Будем считать внешнее поле стационарным, поэтому сохраняется полная энергия релятивистской частицы в данном поле, которую можно представить в следующем виде [3]

,

где первое слагаемое — это энергия движения свободной релятивистской частицы, — ее скорость, — скорость света в вакууме.

Проинтегрируем это уравнение, разделяя переменные, в результате получим выражение для периода финитного движения в зависимости от полной энергии релятивистской частицы в виде

, (1)

где — это точка возврата, являющаяся корнем уравнения

, (2)

другими словами, наибольшее отклонение частицы при данной энергии или амплитуда колебаний.

Преобразуем подынтегральное выражение в (1) с учетом (2) к следующему виду

. (3)

Далее, для того чтобы упростить вычисление интеграла в (1), будем считать потенциальную энергию малой по сравнению с энергией покоя частицы, так что можно разложить последний множитель в выражении (3) в ряд:

При этом мы ограничимся первыми тремя членами разложения, тем самым получим искомое выражение для периода колебаний осциллятора с учетом релятивистских поправок до второго порядка включительно. В результате разложения выражение (3) примет вид

. (4)

Тогда, вычисляя интеграл (1) с уже выражением (4), после преобразований получим в первых двух приближениях следующую зависимость периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора от его амплитуды колебаний:

, (5)

где — период колебаний нерелятивистского гармонического осциллятора, который не зависит от амплитуды колебаний [1].

Используя связь энергии и амплитуды (2), из (5) нетрудно получить соответственно зависимости периода колебаний релятивистского осциллятора от его полной энергии в первом приближении

(6)

и во втором

, (7)

где так же считается, что полная энергия релятивистской частицы не сильно отличается от ее энергии покоя.

Таким образом, расчет и анализ периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора показал, что по сравнению с классическим случаем изохронность колебаний релятивистского осциллятора нарушается: в силу релятивистских эффектов в первом приближении появляется квадратичная зависимость периода от амплитуды, во втором приближении — зависимость четвертой степени от амплитуды колебаний осциллятора (формула (5)). Кроме этого, различны зависимости периода такого осциллятора от его полной энергии в первом и втором приближениях (формулы (6) и (7) соответственно).

В заключение отметим, что рассмотренная методика приближенного вычисления периода колебаний релятивистского гармонического осциллятора позволяет также получить приближения и более высоких порядков.

Литература:

  1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. — М., 2005. — 560 с.
  2. Фофанов А. С. Зависимости периода одномерного финитного движения релятивистской частицы от ее полной энергии и амплитуды во внешних потенциальных полях // Молодой ученый. — 2017. — № 5(139). — С. 17–19
    Основные термины (генерируются автоматически): периода колебаний, периода колебаний релятивистского, гармонического осциллятора, амплитуды колебаний, релятивистского гармонического осциллятора, колебаний релятивистского гармонического, колебаний релятивистского осциллятора, зависимости периода колебаний, зависимость периода, релятивистской частицы, колебаний осциллятора, полной энергии, периода колебаний осциллятора, колебаний гармонического осциллятора, амплитуды колебаний осциллятора, зависимость периода колебаний, зависимостей периода колебаний, периода финитного движения, энергия релятивистской частицы, анализ периода колебаний.

Ключевые слова

зависимость периода от энергии, финитное движение, зависимость периода от амплитуды, релятивистский гармонический осциллятор, изохронность

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос