Целью данной статьи является рассмотрение возможностей использования поэтических учебных текстов (ПУТ) при обучении школьников как нового средства улучшения усвоения фундаментальных знаний (на примере математических дисциплин).
В настоящее время поэтические учебные тексты, обеспечивающие базовую подготовку учащихся, не используются в учебном процессе школ. А без фундаментальных знаний невозможно дальнейшее всестороннее развитие личности. Это связано не только с увеличивающимся потоком информации по всем школьным предметам, которую необходимо усвоить и запомнить, но и с ослаблением интереса учащихся к чтению, а, значит, к учебным текстам.
Если спросить любого учителя, в чём видится ему главная трудность работы, в чём основная проблема современного образовании, можно не сомневаться, что ответ будет один и тот же: дети не хотят читать, не хотят заучивать нужный, глубоко научный, но на их взгляд, скучно преподнесённый материал базовых школьных знаний. А ведь знание – фундамент, на котором возводится всё здание обучения [4, с.5].
Давно известно, как любят малыши, чтобы им читали, как радуются они уловленному ритму стиха. В школе же этот интерес, эта любовь к книге иссякает [5, с.3].
Как добиться того, чтобы тексты школьных учебников базового уровня не отбивали интерес к чтению, а усиливали его, чтобы алгебра научности не убивала гармонию, напротив, позволяла постичь смысловую глубину и эстетическое совершенство учебных текстов?
Создать внутреннюю мотивацию, вызвать интерес к изучаемому материалу – задача любого учителя – предметника. Каждый её решает по-своему, но в любом случае это чаще всего обращение к интеллектуальной сфере, к деятельности левого полушария мозга [10].
Думается, что обращение к эмоциональной сфере личности, что в большей степени относится к правому полушарию, к сфере не интеллекта, а эмоций, позволяет учащимся улучшить усвоение базового уровня знаний, не утратить интереса к предмету.
Одним из средств улучшения усвоения знаний учащихся, на наш взгляд, и являются поэтические учебные тексты. Они объединяют обе сферы личности: эмоциональную и интеллектуальную.
Нами проведённый анализ возможностей ПУТ позволяет рассматривать их не только как средства для организации самостоятельной работы на уроках математики, но и более широко – в процессе обучения любому школьному предмету под руководством учителя.
Нам предоставляется возможность осуществлять обучение учащихся МОУ СОШ №57 г. Ульяновска на основе специально созданного алгоритма для ПУТ, по которому любой прозаический учебный текст базового уровня можно переконструировать в поэтический учебный текст.
Выявлено, что в процессе решения учебных задач школьник лучше оперирует поэтическими учебными текстами, чем материалом прозаического характера.
Выбор ПУТ в качестве средства обучения связан с тем, что в настоящее время традиционный печатный учебник уже не позволяет в полном объёме запомнить необходимую информацию базового школьного курса, что приводит к снижению активизации познавательной деятельности обучающихся, а, следовательно, к ухудшению усвоения знаний.
В последнее время возникла острая необходимость использования новых более эффективных средств в обучении, в частности с помощью ПУТ, в связи с тем, что многократное увеличение и обновление информации за достаточно короткое время практически во всех областях науки и техники приводит к быстрому её устареванию: в гуманитарных, технических областях – через 5 лет, а по специальным дисциплинам в области экономики, информатики и других – через 2 – 3 года. Поэтому учителю надо идти в ногу со временем: создавать свои тексты в соответствии с требованиями школьной программы и новшествами науки и техники.
Поэтический учебный текст в отличие от прозаического учебного текста (т.е. текста учебника), структура которого заключена в строгие рамки, может изменяться: сложно понимаемый и усваиваемый материал преподносится в стихотворной форме, которая позволяет словам нужного текста стать «весомее, многозначительнее, надолго запоминаться» [1, с.4].
К преимуществам при работе с поэтическим учебным текстом следует отнести: уменьшение сложности понимания на уровне слов и предложений, сокращение времени на заучивание базовой теории, увеличение скорости воспроизведения ранее изученного материала, улучшение использования теории для доказательства при решении задач и аргументирования своих ответов, возникновение и сохранение интереса к предмету, положительный эмоциональный настрой к учёбе.
Под поэтическим учебным текстом мы понимаем стихотворное изложение учебного материала, основанное на познавательных интересах учащихся (как указывает Г.И. Щукина) с ярко выраженной ритмической организацией, рифмой, особой интонацией, паузами и другими специфическими элементами стиха, базирующегося на следующих качествах: цельность (И.Р.Гальперин 1981), связность (И.Р.Гальперин 1981), завершённость(Г.В. Колшанский 1990; Н.А. Купина 1983; И.Р. Гальперин 1981), отдельность (Т.В. Трошина 1982), прагматичность (И.Р.Гальперин 1981 ) (как указывают В.М. Жирмунский, Ю.В. Казарин, Ю.М. Лотман, Б.В. Томашевский, Ю.Н. Тынянов), изложение, оказывающее на учащихся сильное эмоционально – положительное и энергетическое воздействие (как указывают Г.Г. Граник, Д.Н. Овсянико – Куликовский, А.А. Потебня), все функции воздействия учебного материала (образовательная, развивающая, воспитательная, мотивационная, управляющая) осуществляются в соответствии с принятой (действующей) программой (как указывает И.П. Подласый), с использованием элементов перспективной в настоящее время ассоциативно – смысловой поэтики (как указывают К.Д. Вишневский и многие другие филологи и поэты).
При конструировании поэтического учебного текста как средства улучшения усвоения знаний должен учитываться дидактический принцип прочности. «Данный принцип подводит итог теоретическим поискам учёных и практическому опыту многих поколений учителей по обеспечению прочного усвоения знаний. В нём закреплены эмпирические и теоретические закономерности: усвоение содержания образования и развития познавательных сил учащихся – две взаимосвязанные стороны процесса обучения; прочность усвоения учащимися учебного материала зависит не только от объективных факторов – содержания и структуры этого материала, но также и от субъективного отношения учащихся к данному учебному материалу…; память учащихся носит избирательный характер: чем важнее и интереснее для них тот или иной учебный материал, тем прочнее этот материал закрепляется и дольше сохраняется.
Процесс прочного усвоения знаний очень сложен. В последнее время его изучение принесло новые результаты. В ряде исследований показано, например, что во многих случаях непроизвольное запоминание является даже более продуктивным, чем произвольное. Это вносит определённые изменения в практику обучения, поскольку традиционно считалось…, что обучение должно основываться на произвольном запоминании, и в соответствии с этим были сформулированы практические правила обучения. Современное понимание механизмов учебной деятельности, приводящих к прочному усвоению знаний, позволяет добавить к традиционным и некоторые новые правила обучения.» [9, с.271 – 272]. Рассмотрим те из них, которые особенно необходимы для ПУТ.
« • Материал, требующий запоминания, должен составлять короткие ряды: то, что мы должны носить в своей памяти не должно иметь обширных размеров…» [9, с. 272]. Это правило особенно применимо для поэтического учебного текста с его «теснотой стихотворного ряда» (Ю.Н. Тынянов 1997), чтобы «словам было тесно, мыслям – просторно» (Н.А. Некрасов).
« • Интенсифицируя непроизвольное запоминание учащихся, не следует прибегать к прямым заданиям или указаниям: гораздо предпочтительнее заинтересовать учащихся, постоянно будить возникший интерес» [9, с. 272]. Это правило как нельзя лучше применимо для ПУТ. Ведь ещё древнегреческий мыслитель Аристотель в своих философских трудах писал о том, что открытие нового происходит в особом эмоциональном состоянии. Это своего рода умственное потрясение, порождённое удивлением. Для Аристотеля удивление – это начало познания [4, с.77]. А поэтически изложенный учебный материал вызывает у учащихся удивление своей ритмически организованной формой, развивает интерес к объекту познания, поражает лаконичностью и краткостью предъявления, бодрит положительными эмоциями, возбуждает своей энергетичностью. Потому что в них есть рифма и ритм.
Почему стихи запоминаются легче прозы? Важным условием для эффективного запоминания стихотворения является то, что оно состоит из коротких фраз, чётко обозначенных паузами, ведь короткая фраза легко умещается в нашей речевой кратковременной памяти. Как известно из психологии инертность речевого анализатора составляет примерно 4 секунды. Это значит, что фразу длиной в 4 секунды и меньше, легко можно повторить, а также удержать в сознании путём многократного мысленного повторения. Обычно в 4 секунды умещается две строчки стихотворения. При воспроизведении стихотворения мы имеем дело исключительно с речевой памятью. Дословное воспроизведение включает в себя не только точное воспроизведение порядка слов. При заучивании текста речевая память хорошо запоминает и особенности произношения слов, мелодику фраз, интонацию, эмоциональную окраску, паузы и т.п. Если воспроизводить ранее заученное стихотворение, можно заметить, что при озвучивании голосом первой строки где-то в сознании уже готова вторая строчка. Она как бы проговаривается мысленно, «стоит на очереди». В процессе воспроизведения второй строчки, на очередь становится третья строчка. И так далее. Стихотворение вылезает из нашей памяти строка за строкой [7, 10].
Рассмотрим ещё одно правило обучения. « • Педагог должен следить за развитием памяти учеников, учить их пользоваться различными мнемотехническими приёмами, облегчающими запоминание» [9, с. 274]. ПУТ можно считать одним из приёмов запоминания и как следствие свойством улучшения усвоения знаний. Ведь профессор психиатрии Н.П. Бехтерева говорила о том, что память должна трудиться. А самый большой труд, по её мнению, – работа с той частью памяти, которая является её биологической составляющей. Тренируя биологию памяти, мы заставляем её работать, учимся удерживать в памяти определённый объём информации, что очень важно при любом обучении, особенно в школе. Поэтому, на наш взгляд, целесообразно прозаические учебные тексты переконструировать в поэтические учебные тексты.
Рассмотрим другие два правила обучения. « • Не следует приступать к изучению нового, предварительно не сформировав двух важнейших предпосылок: положительного отношения к нему хотя бы на уровне понимания необходимости и уверенности, что все преграды будут успешно преодолены». « • Для прочного усвоения педагогу следует применять яркое эмоциональное изложение…» [9, с. 273, с.275]. По мнению литературоведа Ю.В. Казарина, «Поэтический текст – это своеобразный, эстетизированный, т.е. сверхэкспрессивный, эмоциональный и индивидуальный, «язык языка», заключённый и оформленный в просодическую систему стихотворения» [6, с. 32]. Опираясь на этот вывод крупного учёного лингвиста можно считать, что ПУТ удовлетворяют этой характеристике.
Учитывая вышеназванные возможности ПУТ, нами разработан алгоритм их конструирования.
Алгоритм конструирования ПУТ
1.Установление основного текста, который подлежит обязательному усвоению.
2. Выделение главной мысли, которая станет дидактически центральной, т.е. центром поэтического учебного текста.
3.Выявление ключевых слов, к которым подбирается рифма.
4.Реконструкция текста с целью показа выделенной главной мысли и ключевых слов.
5.Учёт точности того или иного слова в стихотворной конструкции, вызывающей в представлении учащихся отчётливую, впечатляющую картину.
6.Нахождение неповторимого определяющего слова в строфе во избежание потери авторской мысли, основанной на главной учебной мысли прозаического текста.
7.Шлифовка словесного материала в рамках стилистического и логического единства.
8.Организация ритма, рифмы, всевозможных созвучий, переносов, повторов и целый ряд других важных свойств в поэзии, облекающихся в звучащий стих и вместе с содержанием оказывающих на учащихся сильное воздействие, вызывающих у них особое эстетическое ощущение, делающих смысл текста более выпуклым и запоминающимся.
9.Учёт стихотворной техники: строфики, метрики, окончаний.
10.Осуществление выразительности стиха, передачи авторской интонации, её положительного воздействия на восприятие учащихся, чему способствует архитектоника стиха, его построение в целом, в том числе и графика, т. е. расположение строк в строфе текста.
11.Окончательное оформление поэтического учебного текста.
12.Проверка адекватности вновь созданного текста первоначальному с точки зрения существенной информации.
Благодаря использованию ПУТ, созданных с помощью выше изложенного алгоритма, любой учащийся имеет возможность быстрее понять, запомнить и воспроизвести учебную информацию, существенно экономя время при многократных обращениях к начальной строчке каждой строфы. Данное средство (ПУТ) создаёт дополнительные психологические структуры, способствующие восприятию и запоминанию информации, что касается учебного материала, считаем необходимым представить его в стихотворной форме, которая позволяет воспринимать информацию кратко и лаконично, повышая таким образом эффективность усвоения знаний.
Важно отметить, что при работе с ПУТ, предназначенными для обучения учащихся школ, дети не являются пассивными читателями, т.к. данное средство обучения предусматривает активную передачу знаний, что активизирует познавательную деятельность, оказывает эмоциональное воздействие на учащихся, следовательно, можно сделать вывод о более высоких психолого – педагогических возможностях поэтических учебных текстов по сравнению с прозаическими (т.е. традиционным печатным учебником).
Принимая во внимание всё выше сказанное, можно сформулировать следующие основные преимущества ПУТ, предназначенных для улучшения усвоения знаний учащихся перед традиционным печатным учебником (т.е. прозаическим учебным текстом):
– эмоциональность представления учебного материала через стиховую форму;
– энергетичность представления информации, которая достигается за счёт использования ритмической организации текста;
– актуализация учебного материала заключается в возможности оперативного обновления учебной информации, следуя алгоритму конструирования ПУТ;
– прочность усвоения учебного материала, которая достигается наличием рифмы (созвучных окончаний слов) и ритма ПУТ;
– индивидуальность обучения, которая становится возможной при поэтическом изложении материала многократно без потери времени, при наличии ярко выраженной интонации для демонстрации ПУТ, присутствия в обучении удивления как начала познания;
– лёгкость запоминания больших или сложных массивов информации.
Рассмотренные выше преимущества ПУТ указывают на то, что они обладают принципиально новыми качествами по сравнению с традиционным учебником, объединив в себе филологические, психологические и педагогические технологии.
При составлении содержательной части ПУТ нами были учтены следующие требования, выделенные В.А. Сластениным к содержательной стороне учебного текста:
– учебник должен содержать материал высокой степени обобщения и вместе с тем быть конкретным, оснащённым основным фактическим материалом;
– содержать изложение подлинной науки и одновременно быть доступным для учащихся;
– учитывать особенности интересов, восприятия, мышления, памяти учащихся;
– развивать познавательный и практический интерес, потребность в знаниях и практической деятельности;
– учебник отражает в единстве логику науки, логику учебной программы и логику развития личности;
– хороший учебник информативен, энциклопедичен, лапидарен, связывает учебный материал с дополнительной и смежной литературой, побуждает к самообразованию и творчеству;
– формулировки основных положений, выводов должны отличаться предельной ясностью и чёткостью [8, с.152 – 153].
Итак, рассмотрев ПУТ как средство улучшения усвоения знаний и те возможности, которые сегодня может представить данное средство для изучения любого предмета (на примере математических дисциплин), мы выявили, что обучение школьников с помощью ПУТ проводить целесообразно, так как это обусловлено их возможностями и преимуществами по сравнению с традиционным печатным учебником, а также необходимостью модернизации процесса обучения школьным предметам, в целом, и математике, в частности.
В приложении предлагаются вниманию читателей (на примере математических дисциплин) некоторые фрагменты текстов, переконструированных из прозаических в поэтические учебные тексты. Очень хочется надеяться, что этот скромный труд хоть в малой степени поможет учителям решать наболевшую проблему обучения – пассивность к чтению – привитием интереса к своему предмету, прибегнув к помощи ПУТ.
Литература.
1.Вишневский К.Д. Мир глазами поэта: Начальные сведения по теории стиха. Пособие для учащихся / Под редакцией Л.И. Тимофеева. – М.: Просвещение, 1979. – 176 с.
2. Выготский Л.С. Психология искусства. Минск, 1998; с. 7 – 12.
3.Геометрия 10 – 11: учеб. для общеобразовательных учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 15-е изд., доп. – М.: Просвещение, 2006. – 256 с.
4. Граник Г.Г., Бондаренко С.М., Концевая А.А. Когда книга учит. – М.: Педагогика, 1988. – 192 с. – (Б-ка учителя и воспитателя).
5. Каганович С.Л. Обучение анализу поэтического текста: Методическое пособие для учителей – словесников. – М.: ООО «ТИД «Русское слово» – РС», 2006. – 112 с.
6. Казарин Ю.В. филологический анализ поэтического текста: Учебник для вузов. – М.: Академический проект; Екатеринбург: Деловая книга, 2004. – 432 с.
7.Козаренко В.А. (с) 2002, Mnemonikon Россия, Москва, интернет – школа мнемотехники. Mnemonikon Сайт, Mnemonikon http: // mnemotexnika. Narod. ru /.
8. Педагогика: Учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, А.И. Мищенко, Е.Н. Шиянов. – 4-е изд. – М.: Школьная пресса, 2004. – 512 с.
9.Подласый И.П. Педагогика: Учебник. М.: Высшее образование, 2006. – 540с.
10.Психология. Словарь / Под общ. ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. – 2-е изд.. испр. и доп. – М.: Политиздат, 1990. – 494 с.
11. Современный словарь по педагогике / Сост. Рапацевич Е.С. – Мн.: «Современное слово», 2001. – 928 с.
12.Философский словарь / Под общ. ред. проф., докт. философ. наук Ярещенко А. П. – Ростов н / Д: Феникс, 2004. – 560 с.
13.Холшевников В.Е. Основы стиховедения. Русское стихосложение. Пособие для студентов филологических факультетов. Изд. 2-е, переработанное. Изд - во Ленинградского ун-та, 1972. – 168 с.
Приложение
Прозаический учебный текст (Поэтический учебный текст)
Усечённая правильная пирамида.
Теорема о площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Площадь поверхности боковой
Для пирамиды правильной,
К тому же, слегка усложнённой
Сей пирамиды усечённой
Какие догадки? Чему равна?
Какими словами здесь выражена?
Равна полусумме периметров оснований
На апофему боковой грани.
Определение.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Выпуклый многогранник правильным называют,
Если все его грани собой представляют
Правильные многоугольники равные
(Условие не выполняется, если они разные)
И к каждой вершине стремится
Одно и то же число рёбер сходиться.
Параллельные плоскости.
Определение.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Две плоскости параллельными называются,
Если не пересекаются.
Теорема: признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Если в плоскости даны одной
Пересекающихся две такие
Соответственно между собой
Параллельные прямые
Двум прямым и плоскости другой.
Значит, плоскости две параллельны меж собой.
Свойства параллельных плоскостей.
Первое свойство.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Если две параллельных плоскости
Третьей плоскостью пересечены,
Значит, линии их пресечения
Параллельными быть должны.
Второе свойство.
Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
Отрезки параллельных прямых равны,
Если меж параллельными плоскостями заключены.
Тетраэдр.
Поверхность, составленная из четырёх треугольников, называется тетраэдром и с вершины обозначается так: DABC. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют её основанием, а три другие – боковыми гранями.
Тетраэдром в пространстве называется
Поверхность, которая составляется
Из четырёх треугольников таких:
Одного в основании и трёх боковых.
Треугольники, из которых тетраэдр составляется
Гранями, стороны – рёбрами, точки – вершинами называются.
Противоположными в тетраэдре назовём
Два ребра без общих вершин в нём.
А соседними будут рёбра такие:
Из одной вершины выходят, любые.
Параллелепипед.
Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов и четырёх параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA'B'C'D'. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда.
Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер – противоположными.
Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.
Часто выделяют какие – нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда.
Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами.
Параллелепипедом называется
Поверхность, которая составляется
Из параллелограммов таких:
Двух равных и четырёх любых.
Параллелограммы, из которых
Параллелепипед составляется,
Гранями, стороны – рёбрами,
Точки – вершинами называются.
Две грани с общим ребром
Смежными назовём,
А не имеющие общих рёбер –
Противоположными будут обе.
Если противоположные вершины
Отрезок в параллелепипеде соединяет –
Получается знакомая картина:
Диагональю сей отрезок называют.
Две противоположные грани любые
В параллелепипеде часто выделяют.
Их основаниями, а остальные –
Боковыми гранями называют.
Рёбра параллелепипеда,
Не лежащие в основаниях,
Называются боковыми
Рёбрами в гранях.
Свойства параллелепипеда.
Первое свойство.
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Противоположные грани
Так определены:
Они параллельны
В параллелепипеде и равны.
Второе свойство.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали параллелепипеда,
Как в параллелограмме,
Пересекаются и точкой
Пересечения делятся пополам.
Перпендикулярные прямые в пространстве.
Определение.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Две прямые в пространстве
Перпендикулярными называют,
Если угол между ними
Девяносто градусов составляет.
Лемма о перпендикулярности параллельных прямых.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Первый вариант.
Если одна из двух прямых
(В пространстве параллельных)
Перпендикулярна к третьей прямой,
То и другая с третьей прямой
Перпендикулярны меж собой.
Второй вариант.
Если одна из двух прямых
(В пространстве параллельных)
Перпендикулярна к третьей прямой,
То и другая прямая
С третьей прямой
Перпендикулярны между собой.
Определение.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая перпендикулярна к плоскости,
Если так её провести,
Что прямая перпендикулярна к любой,
Лежащей в этой плоскости прямой.
Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Если одну из двух прямых
(В пространстве параллельных)
Перпендикулярно к плоскости провести,
То и другая прямая из них
Перпендикулярна к этой плоскости.
Обратная теорема к теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Первый вариант.
Две прямые, перпендикулярные к плоскости любой
Непременно параллельные между собой.
(Непременно параллельны будут меж собой).
Второй вариант.
Если перпендикулярны к плоскости одной
Две любых прямые,
Значит, параллельны меж собой
Данные прямые.
Теорема: признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Если к двум пересекающимся прямым,
Лежащим в данной плоскости,
Перпендикулярную прямую провести,
То, перпендикулярная им,
Она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости , и притом только одна.
В пространстве через точку любую
Можно всегда провести
Единственную прямую,
Перпендикулярную к данной плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах.
Прямая, проведённая к плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Если прямая перпендикулярно
К плоскости проведена
Через основание наклонной,
Что нам дана,
И к проекции наклонной
Перпендикулярна она,
То эта прямая перпендикулярна к самой
Данной наклонной прямой.
Углы в пространстве.
Определение.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Если плоскость данную прямую,
Не перпендикулярную к ней, пересекает,
То угол между прямой и её проекцией на плоскость
Углом между прямой и плоскостью называют.
Определение.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Если две данные полуплоскости
Не принадлежат одной плоскости
И общую границу – прямую образуют.
Фигуру эту двугранным углом именуют.
Теорема: признак перпендикулярности двух плоскостей.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Первый вариант.
Если одну из двух плоскостей можно провести
Через прямую, перпендикулярную к другой плоскости,
То вывод напрашивается элементарный:
Такие плоскости перпендикулярны.
Второй вариант.
Если из двух плоскостей любую
Можно провести через прямую,
Перпендикулярную к плоскости другой,
То перпендикулярны плоскости между собой.
Следствие.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Если плоскость перпендикулярно
К линии пересечения плоскостей проведём,
То плоскость перпендикулярной
К каждой из этих плоскостей назовём.
Некоторые свойства пространственных фигур.
Свойство прямоугольного параллелепипеда.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: d² = a² + b² + c².
Квадрат диагонали прямоугольного
Параллелепипеда без изменений
Равен сумме квадратов
Трёх его измерений.
Теорема Эйлера.
В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа рёбер на два.
Теорема Эйлера в геометрии такова:
В выпуклом многограннике любом
Больше числа рёбер на два
Сумма числа граней и вершин в нём.
Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы.
Площади боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.
Площадь боковой поверхности
Прямой призмы так определена:
Произведению периметра основания
На высоту она равна.
Пространственная теорема Пифагора.
Теорема.
Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра – прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней:
S² = Sᵤ² + Sᵥ² + Sₑ², где S – площадь грани, противолежащей вершине; Sᵤ, Sᵥ, Sₑ – площади остальных граней.
Если плоские углы в тетраэдре такие:
При одной вершине все они прямые,
То квадрат площади грани любой,
Противолежащей вершине самой,
Равен сумме квадратов площадей
Остальных в тетраэдре граней.
Правильная пирамида.
Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Площади боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Площадь поверхности боковой
Для пирамиды правильной
Как, считаете, определена?
Полупериметру основания равна,
Умноженному на апофему.
А какова формула теоремы?
S = ½ P × h.
Определение.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.
Если высота боковой грани
Из её вершины проведена,
То в правильной пирамиде –
Апофема она.
Скрещивающиеся прямые.
Определение.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Две прямые станем называть
Скрещивающимися, коль не лежать
Вместе им на плоскости одной,
То есть не встречаться меж собой.
Теорема 1: признак скрещивающихся прямых.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Если из двух прямых одна
Данной плоскости принадлежит,
А другая пересекать должна
Плоскость в точке, что не лежит
На данной первой прямой.
Значит, вывод будет такой:
Прямые легко определяются:
Они скрещивающимися являются.
Теорема 2: о скрещивающихся прямых.
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Через каждую из двух прямых
Скрещивающихся, таких:
Что плоскость проходит, другой
Она параллельна прямой.
Плоскость проходит, она
Одна и только одна.
Углы с сонаправленными сторонами.
Два луча, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и не лежат в одной полуплоскости с их общей границей.
Два луча лежат не на одной прямой,
Значит, сонаправлены между собой,
Если в полуплоскости лежат одной,
Параллельные между собой,
Если в полуплоскости лежат одной,
С их границей общей меж собой.
