Обобщенный способ рассуждения при решении математической задачи как вариант постановки и решения учебной задачи



В статье представлена технология обучения младших школьников обобщенному способу решения задач с позиций величинного подхода, демонстрируется возможность формирования обобщения как универсального учебного действия в обучении решению составных текстовых задач.

Ключевые слова: обобщенный способ деятельности, формирование обобщений, обучение решению задач.

Одним из принципов развивающего обучения является принцип изначального максимально возможного широкого обобщения (А.К. Артемов). О таком подходе в обучении математике Алексей Кириллович Артемов писал еще в восьмидесятые годы прошлого века. Учащиеся изначально усваивают обобщенный способ деятельности, охватывающий все случаи в пределах данной совокупности. Это позволяет построить обучение по третьему типу учения школьников, который является наиболее эффективным в обучении (Н.Ф.Талызина и др.). В настоящее время развитие ученика стало стратегической целью образования. Учащиеся при этом включаются в процесс решения учебных задач, результатом решения которых является уяснение ученикомобщего способа решениявсех задач из данной совокупности. В результате решения учебной задачи у учащегося появляется обобщенное знание, выполняющее функцию метода в учебном познании и обучении, которое учащийся может использовать самостоятельно для решения конкретной задачи из такой совокупности. Это —его вновь приобретенное интеллектуальное умение.

В школьной практике не обозначенная, не выделенная учебная задача или нечетко понятая может порождать методические ошибки и неточности. А.К.Артемов выделяет следующие типичные случаи:

1. В вопросах учителя детям нет четкой направленности на необходимое обобщение, составляющее результат решения учебной задачи. Нередко это наблюдается при частично открытой форме задания последней.
2. В действиях учителя непреднамеренно происходит подмена одного обобщения другими, т. е. подмена в ориентации от решения одной учебной задачи на другую, в результате чего снижается эффект обучения.
3. Своими действиями учитель не ориентирует учащихся на решение какой-либо учебной задачи, т. е. не подводит их к обобщениям.

Особенно отчетливо это становится заметно при организации процесса усвоения решения составных текстовых математических задач.

Рассмотрим один из способов формирования обобщения на примере решения текстовой задачи.

Выделяют два типа задач (С.П.Зубова). К первому относятся такие задачи, в которых все величины измеряются только по одной шкале (выбирается одна мерка для измерения). Второй тип задач – это задачи, в которых даются результаты измерения величин по разным шкалам (выбираются разные мерки для измерения одной и той же величины). В каждом из типов также можно выделить разные виды задач.

Рассмотрим второй тип задач.

Это могут быть задачи, где рассматривается некоторая величина, измеренная при помощи двух мерок. Условно назовем их «мерка первого рода» и «мерка второго рода». Также в задаче речь идет о кратном отношении мерок (или соответствии): количество мерок (часть мерки) первого рода относится к единице второго рода, количество мерок (часть мерки) второго рода относится к единице первого рода. Обычно, в задаче одна из трех характеристик величины (мерка первого рода, мерка второго рода, их кратное отношение) неизвестна и ее требуется найти. Учитывая, рассмотренное разнообразие всех характеристик, только варьируя данные показатели можно выделить 6 видов задач.

Анализ данных задач целесообразно начинать с поиска мерок каждого рода и кратного отношения. Составляется таблица. Запись традиционно выглядит следующим образом. В первом столбце записываем отношение количества мерок первого рода к единице (мерке) второго рода, во втором столбце - количество мерок второг рода, в третьем столбце – количество мерок первого рода. Таким образом можно обозначить обобщенно то умение, которое необходимо сформировать у учеников. Задача учителя состоит в том, чтобы найти формулировки и пути (часто это система вопросов) для прояснения обобщенного способа поиска величин, их записи в таблице или обозначения на схеме.

Например, дана задача.

За 1 час пешеход проходит 5 км. Сколько километров он пройдет за 4 часа?

Сначала могут быть поставлены следующие вопросы:

- О каком процессе идет речь в задаче?

(Возможный ответ) Речь идет о движении или преодолении пути.

- Путь измеряется в задаче в каких мерках?

(В.О.) Путь или расстояние мы измеряем в километрах.

- Что можно сказать о процессе преодоления пути? Есть ли что-то в условии, что помогает нам уточнить, как пешеход преодолевает весь путь? А часть пути?

- Как преодолевает пешеход часть пути?

(В.О.) Пешеход преодолевает часть пути за 1 час.

- Какую часть пути (расстояния) пешеход преодолевает за 1 час?

(В.О.) 5 км.

- Что же известно нам о части пути и его преодолении?

(В.О.) Что часть путь в 5 км можно преодолеть за 1 час.

Так как путь в задаче «измеряется при помощи двух мерок»: в километрах и в часах, требующихся на его преодоление, то речь идет о расстоянии и времени. Так как в задаче есть кратное отношение (5 км за 1 час), то мерка первого рода - это километр, соответственно величина первого рода – расстояние. Мерка второго рода – часы, величина – время. Таким образом, поиск столбцов таблицы и их наименований завершен.

Расстояние за 1 час	Время	Расстояние
5 км/ч	4 ч	?

Для решения задачи используются обобщенные правила. Для того чтобы найти значение величины первого рода необходимо значение кратного отношения умножить на значение величины второго рода. Для того чтобы найти значение величины второго рода необходимо значение величины первого рода разделить на значение кратного отношения. Для того чтобы найти значение кратного отношения необходимо значение величины первого рода разделить на значение величины второго рода.

В предложенной задаче необходимо найти значение величины первого рода, поэтому, используя правило, получим 5  4 = 20 (км).

Можно предложить для сравнения учащимся следующую задачу.

На то чтобы пройти 1 км пешеходу потребуется 12 минут. Сколько километров он пройдет за 4 часа.

Речь в данной задаче также идет о пути и его преодолении, измеряется этот процесс при помощи двух мерок, и соответственно характеризуется двумя величинами – временем и расстоянием. В задаче есть кратное отношение (12 минут на 1 км), следовательно, мерка первого рода - это минуты, а величина – время, мерка второго рода – метры, величина – расстояние. Необходимо найти величину второго рода, значит, 240 : 12 = 20 км

Время на 1км	Расстояние	Время
12 мин	?	240 мин

При подобных рассуждениях становится несущественным является ли рассматриваемая в задаче величина скоростью или это – величина обратная скорости. В обоих случаях мы рассуждаем одинаково.

Такого рода обобщение может показаться избыточным. Однако, именно данный подход к рассмотрению подобных задач, способствует формированию наиболее обобщенного представления о зависимостях между величинами и результатом решения является уяснение ученикомобщего способа решениявсех задач из данной совокупности.

Чаще рассуждение строится таким образом, что при введении величин - скорость, цена, расход в 1 день и т.п. – обращается внимание, что все они «укладываются» (помещаются плотно, идеально) в подобную «величину» - расстояние, стоимость, всего израсходованного и т.п. При этом обобщение не охватывает ситуации с введением величин обратных скорости, цене и т.п.

При рассуждении об укладывании может возникнуть соблазн подмены обобщения. Может проговариваться или уясняться из подобранных заданий тот общий внешний признак, что величина, которая «укладывается» меньше той, на которую «укладывают».

Ясно, что обобщение относительно, тот или иной факт может быть обобщением для второго факта или конкретизацией для третьего. Выбор уровня обобщения и соответствующей формулировки остается за учителем и учениками, в смысле принятия задачи. Важно не допускать ошибок, которые были обозначены выше, иначе это может привести к неверно или неполно сформированной ориентировочной основе действия, что приведет к появлению ошибок и, в конечном счете, проявиться в неумении решать задачи.

Литература:

1. Артемов, А. К., Тихонова Н. Б. Основы методического мастерства учителя в обучении математике младших школьников: пособие для учителей и студентов факультета педагогики и методики начального образования. / А.К. Артемов, Н.Б. Тихонова – Самара, 1999. - 93 с.
2. Зубова, С.П. Обучение решению задач в начальных классах: Учебно-методическое пособие для студентов факультета начального образования. / С.П.Зубова – Самара: ООО «Офорт», Самарский государственный педагогический университет, 2003. – 96 с.
3. Талызина, Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. / Н.Ф.Талызина - М.: Просвещение, 1988. - 175 с.