Библиографическое описание:

Чупеев Г. В. Продольно-поперечный изгиб стержней переменного поперечного сечения // Молодой ученый. — 2015. — №8. — С. 340-344.

Статья интересна будет проектировщикам, занимающимся расчетами на прочность, студентам, изучающим сопротивление материалов, а также преподавателям технических вузов. При расчете стержня переменного поперечного сечения, работающего на сжатие и изгиб, возникает необходимость определить прочность стержня. К таким расчетным схемам можно, например, привести буксировочные водила для летательных аппаратов. Решение подобных задач унифицировано можно решить с помощью предложенной методики. В ней имеется вывод формулы и предложены примеры использования выведенной формулы.

 

Расчёт ведется по следующей схеме:

-        определяем критическую сжимающую нагрузку для стержня переменного сечения;

-        определяем величину эквивалентного стержня постоянного сечения. Критерием эквивалентности принимаем равенство критической разрушающей нагрузки как для стержня переменного, так и постоянного сечений

                                                                                                            (1)

                                                                                                          (2)

нагружаем эквивалентный стержень постоянного сечения нагрузкой стержня переменного сечения и находим изгибающие моменты, которые считаем, верны и для стержня переменного сечения.

При выводе формул используются обозначения-

 -модули упругости материалов и моменты инерции участков,

 — длины участков.

 = — коэффициент

Формулы выводили на основе теории малых деформаций, составляя дифференциальные уравнения упругой линии стержня на каждом из участков.

Рис.1. Расчётная схема

 

Вывод формулы для определения

Дифференциальные уравнения упругих линий участков.

 = — F

 = — F

  = -F

Решения дифференциальных уравнений.

  +

 =  +

 +

 =

Постоянные интегрирования найдём из следующих условий

Берём два участка 𝒊 и (𝒊+1).

Участок 𝒊

При X = =

При X =  =

Решение системы из двух уравнений

 *(

 *( 

Участок (𝒊+1)

При X =

При X = =

Решение системы из двух уравнений

Так как два участка изогнутой оси имеют одну и ту же касательную, при X=или

     (3)

                                       (4)

Подставляя уравнение (4) для каждого стыка стержня получим систему уравнений для определения Определение Fкр для следующих расчётных схем с использованием формулы (4).

Рис. 2. Расчетная схема

 

Для стыка 1  =0, и по формуле (4) п

*                                                        (5)

Для расчетной схемы Рис.3, используя формулу 4 для стыков 1 и 2, получим систему из двух уравнений.

Рис. 3. Расчетная схема

 

**-

Приравнивая определитель системы уравнений к 0, имеем уравнение для определения .

*

*                  (6)

Решая трансцендентные уравнения определяем Fкр.

Общее решение для определения Fкр

Якобиевая матрица, коэффициенты которой определяются

подстановкой уравнения (4) для каждого стыка балки.

Алгоритм решения трансцендентного уравнения методами: табуляции, деления отрезка пополам приведен в Приложении № 1 на языке Visual Basic 6.

Приложение № 1

Private Sub Command1_Click()

e = 0.005

maxi = 10

a = Val(InputBox(«vvedite granicy otreska a: "))

b = Val(InputBox(«vvedite granicy otreska b: "))

Call Tabulation(a, b, 2.5)

For I = 1 To maxi

fa = f(a)

fb = f(b)

If fa * fb < 0 Then

x = (a + b) / 2

fx = f(x)

Debug.Print " iteraciya= " + CStr(I)

Debug.Print " x= " + Format(x, "00.00")

Debug.Print " (f(x))= " + Format(fx, "00.0000")

If Abs(fx) < e Then

Debug.Print " reschenie naideno, x= " + CStr(x)

Debug.Print " za " + CStr(I) + " iteraciya!!!"

solution = True

Exit Sub

Else

If fa * fx < 0 Then

b = x

End If

If fx * fb < 0 Then

a = x

End If

End If

Else

Debug.Print " iteraciya = " + CStr(I)

Debug.Print ": f(a)= " + Format(fa, "00.0000")

Debug.Print ": f(b)= " + Format(fb, "00.0000")

Debug.Print " otrezok [a,b] vibran neydachno!!!"

Exit Sub

End If

Next I

If Not solution Then Debug.Print «reschenie ne naideno za», maxi, «iteraciya»

End Sub

Function f(x)

f = 1.57 / Tan(0.008 * x) + 1 / Tan(0.009 * x)

End Function

Sub Tabulation(a, b, abstep)

Debug.Print "---tabylyaciya fynkcii---"

For x = a To b Step abstep

Debug.Print «x= " + Format(x, "00.00") + ": " + «f(x)= " + Format(f(x), "00.0000")

Next x

Debug.Print "-----------------------"

End Sub

 

Литература:

 

1.      Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т.2.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle