Библиографическое описание:

Шустов В. В. О представлении функции многочленом, имеющим заданные значения производных на концах отрезка // Молодой ученый. — 2014. — №12. — С. 22-27.

Рассмотрена задача построения многочлена, приближающего заданную функцию с известными значениями ее самой и определенного набора ее производных на концах заданного отрезка. Получены явные формулы представления аппроксимирующего многочлена в различных формах. Приведен пример представления функции y= cos x последовательностью двухточечных многочленов Эрмита, построенных для заданного отрезка. Проведено сравнение погрешностей приближения функции с использованием двухточечного представления и ее разложения в ряд Тейлора.

Ключевые слова: интерполяция Эрмита, многочлен Тейлора,формулы двухточечного представления, погрешность приближения функции на отрезке.

Введение. Функция, имеющая достаточное количество производных на некотором промежутке, с определенной степенью точности может быть приближена степенным многочленом. Так, если заданы значения производных в какой либо точке x0 этого промежутка, то функция f(x) может быть представлена [1, с. 549] в виде многочлена Тейлора с коэффициентами при степенях переменной, зависящими от значений производных в этой точке.

Однако точность приближения функции, многочленом Тейлора является, как правило, удовлетворительной лишь в окрестности точки разложения. Так, например, для функции y= cos x, как видно их графиков, представленных на рис. 1, погрешность аппроксимации неравномерна на отрезке разложения: если в окрестности точки разложения многочлен Тейлора хорошо приближает функцию, то при достаточном удалении от точки наблюдается существенное расхождение между многочленом и функцией. Наличие существенной неравномерности аппроксимации функции f(x) многочленом Тейлора отмечено также в работе [6, c. 30].

Одним из способов уменьшения погрешности и, соответственно, улучшения аппроксимации функции многочленом, является использование данных о значениях функции и ее производных не только в одной точке x0, но и в другой точке отрезка [x0,x1].

Многочлен, построенный по значениям функции и ее производных, заданных только в двух крайних точках отрезка, назовем двухточечным многочленом, а представление функции двухточечным многочленом можно назвать двухточечным представлением.

В работе рассматриваются вопросы представления многочлена, приближающего функцию, о которой известны ее значения и значения ее производных в концах заданного отрезка [x0,x1]. Кроме этого, исследуются вопросы, связанные с приближением функции последовательностью двухточечных многочленов.

Представление двухточечного многочлена в явном виде. Пусть в обеих концевых точках отрезка [x0,x1] заданы значения функции f(x) и ее производных до порядка mi включительно:

                                                                        (1.1)

Необходимо построить многочлен, который удовлетворял бы условиям (1.1).

При построении этого многочлена воспользуемся решением задачи, называемой задачей Эрмита, для общего случая, в котором предполагается, что значения функции и ее производных известны в n+1 точке отрезка [x0,xn].

Формула для представления многочлена H(x), удовлетворяющего условиям (1.1), согласно, например, [2, с.172] в случае n=1, т.е. для отрезка [x0,x1], в наших обозначениях имеет вид:

 ,                                (1.2)

где Ω(x) определяется выражением:

.                                                                                              (1.3)

Формула (1.2) для случая двухточечного представления может быть существенно упрощена и представлена в удобном для дальнейшего использования виде.

После подъема членов формулы с отрицательными степенями в числитель дроби и выноса членов, не зависящих от индекса суммирования по k во внешние циклы, формула для многочлена H(x) примет вид:

.

Введя обозначение

,                                                                                                  (1.4)

формулу для H(x) можно записать в виде:

.                                    (1.5)

Выражение для ωi(x) в соответствии с (1.3) и (1.4) можно записать как:

.                                                                                                     (1.6)

Последовательным дифференцированием и подстановкой при x=xi находим, что

.                                                           (1.7)

С учетом (1.7) формула (1.5) для H(x) получает вид:

.       (1.8)

Выполнив дальнейшие несложные преобразования и учтя (1.6), получим, что:

.              (1.9)

Обозначая дробное выражение под знаком внутренней суммы как :

,                                                                                                            (1.10)

введя относительную переменную ξ, связанную с исходной переменной x соотношением

,                                                                                                                 (1.11)

и записывая формулу (1.9) для многочлена H(x) без использования переменной суммирования i путем явной записи значений этой переменной, получим:

.       (1.12)

Заметим, что введенный коэффициент  выражается через биноминальный коэффициент , определяемый соотношением

,                                                                                      (1.13)

в виде:

                                                                                              (1.14)

Ниже представлена часть таблицы коэффициентов , полученная из соотношений (1.13) и (1.14).

Таблица 1

Коэффициенты  двухточечного представления

k

m

0

1

2

3

4

0

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

2

1

3

6

10

15

3

1

4

10

20

35

4

1

5

15

35

70

В случае, когда в крайних точках отрезка [x0,x1] порядок наивысшей производной один и тот же, т. е. при выполнении условия

m0= m1=m(1.15)

и при обозначении в этом случае многочлена H(x) как Hm(x), формула (1.12) для многочлена Hm(x) примет вид:

.    (1.16)

Если ввести длину L отрезка [x0,x1], определенную соотношением

L=x1-x0,

то формулу (1.16) для многочлена Hm(x) можно записать как:

.            (1.17)

В данный формуле в отличие от предыдущей формулы (1.16) используется биноминальный коэффициент , связанный с коэффициентом  соотношением (1.14).

В частном случае, когда x0=0, т. е. для отрезка [0,L], представление двухточечного многочлена принимает вид:

. (1.18)

Пример использования двухточечного многочлена. Вкачестве примера использования двухточечного многочлена для аппроксимации функций найдем представление функции y= cos x на отрезке [0,L] с использованием этого многочлена.

Известно, что j-я производная функции y= cos x согласно, например, [1, с.179] представляется формулой:

.

В соответствии с этим формулу (1.18) для приближающего ее многочлена Hm(x) можно записать в виде:

.           (1.19)

Выбирая различные значения длины отрезка разложения L, можно получить различные формулы для представления этой функции.

C использованием формулы (1.19) получены формулы приближения функции y= cos x на отрезке [0,π], которые представлены в таблице 2. Эти данные представлены в строках, соответствующих нечетным значениям переменной s, обозначающей степень многочлена приближения.

В строках таблицы, соответствующих четным значениям степени s многочлена разложения, для сопоставления приведены выражения, полученные по формуле Тейлора для этой функции

+…, k=0,1,2,… (1.20)

с соответствующим числом k членов разложения.

В каждой строке четвертого столбца, содержащего формулы разложения, сначала записывается точное символьное выражение и под ними приближенное с точностью до 10 знаков выражение с числовыми коэффициентами. Во втором и третьем столбце приводятся значения переменных k и m, определенных ранее соответствующими формулами (1.20) и (1.15), соответственно. В пятом столбце указано значение параметра числа точек n, в которых заданы значения функции и ее производных (n=0 для разложения по формуле Тейлора и n=1 для двухточечного разложения).

Из таблицы 2 видно, что выражения для разложения по формуле Тейлора содержит только члены с четными степенями переменной x, а формулы двухточечного разложения, наоборот, содержат только нечетные степени переменной x. Таким образом, в таблице 2 строки, соответствующие двухточечному представлению и разложению в ряд Тейлора чередуются между собой.

Таблица 2

Формулы двухточечного представления и разложения Тейлора для функции y= cosx


s

k

m

Формулы в символьном и числовом представлении

n

0

0

 

1

1

0

1

 

0

1–0.6366197724x

1

2

1

 

1–0.5000000000x2

0

3

 

1

1–0.6079271019x2+0.129006138x3

1

4

2

 

1–0.5000000000x2+0.04166666667x4

0

5

 

2

1–0.5000000000x2–0.00841091630x3+0.0546765085x4–0.0069616293x5

1

6

3

 

1–0.5000000000x2+0.0416666667x4–0.0013888889x6

0

7

 

3

1–0.5000000000x2+0.0412901195x4+0.0007082067 x5–0.0018988547x6+0.0001726926x7

1

На рис. 1 и рис. 2 представлены графики разложений функции y= cos x, построенные по формулам, представленным в таблице 2 для разложений Тейлора и двухточечного представления. Из графиков наглядно видно, что для двухточечного представления при учете уже первой производной (m=1) аппроксимирующая зависимость визуально мало отличается от аппроксимируемой функции. Графики, построенные с использованием формул разложения Тейлора, имеют существенно большее расхождение с графиком исходной функцией, причем расхождение наиболее заметно в правой части отрезка разложения, наиболее удаленной от точки разложения x0=0.

Рис. 1. Разложение по формуле Тейлора

Рис. 2. Разложение по двухточечной формуле

Ниже, на рис. 3 и рис. 4 представлены графики погрешностей аппроксимации как модули разностей функции и ее приближения для функции y= cos x в случае разложения Тейлора и для двухточечного представления, соответственно. Из графиков, представленных на рис. 4, можно определить какое число членов разложения необходимо взять для достижения заданной точности. Так для достижения точности, лучшей чем 10-4, достаточно взять значение m=3 и использовать формулы, размешенные в последней строке таблицы 2 в символьном или числовом представлении.

Рис. 3. Погрешность по формуле Тейлора

Рис. 4. Погрешность по двухточечной формуле

Заключение. Получены формулы представления функции, определенной на отрезке вместе с набором ее производных, в виде многочлена, коэффициенты которого определяются по значениям функции и ее производных, заданных в двух концевых точках этого отрезка.

Приведен пример представления y= cos x на заданном отрезке последовательностью двухточечных многочленов и дано сопоставление результатов двухточечного представления и разложения этой функции в ряд Тейлора.

Показано, что погрешность двухточечного представления по сравнению с разложением Тейлора при сопоставимых степенях приближающего многочлена является существенно меньшей, погрешность более равномерно распределена по заданному отрезку и обращается в нуль в обоих концах отрезка разложения.

Литература:

1.      Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. т. 1. М.: Высшая школа, 1970. — 592с.

2.      Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1 — М.: Физматлит, 1962.– 464 с.

3.      Кожухов И. Б., Прокофьев А. А.. Справочник по математике.- М.: «Лист», 1999.–640 с.

4.      Гончаров В. И. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехтеориздат, 1934.–316 с.

5.      Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999.– 336 с.

6.      Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle