О построении уравнения разветвления по его группе симметрии | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №18 (204) май 2018 г.

Дата публикации: 09.05.2018

Статья просмотрена: 12 раз

Библиографическое описание:

Юлдашев Н. Н., Сафарбаева Н. М. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии // Молодой ученый. — 2018. — №18. — С. 10-13. — URL https://moluch.ru/archive/204/49986/ (дата обращения: 17.10.2018).



В рассмотрено построение уравнения разветвления (УР) по допускаемой им группе. В основе примененного там метода лежит известная схема из теории инвариантов, изложенная в . Здесь эта задача решается методами группового анализа дифференциальных уравнений при значительно меньшем объеме вычислительной работы. Терминология и обозначения из теории ветвления решений нелинейных уравнений те же, что в .

УР допускает группу G (инвариантно относительно G), если для некоторых ее представлений и

(1)

Всюду ниже УР предполагается аналитическим, т. е. функции голоморфны в окрестности . УР будем называть вещественным, если коммутирует с операцией комплексного сопряжения. Не будем явно указывать зависимость от параметра , не являющуюся существенной для группового анализа. Поэтому следует считать, что коэффициенты построенных ниже систем разветвления являются аналитическими функциями малого параметра . Равенство (1) означает, что для рассматриваемой группы преобразований

(2)

многообразие в пространстве является инвариантным многообразием. Рассматривая — параметрическую группу преобразований (2), будем предполагать, что является неособым инвариантом многообразием, т. е. если — базис алгебры Ли группы (2), то ранг матрицы ν (ν– номер строки, i, j — номера столбцов) на многообразии совпадает с ее общим рангом . Если теперь

(3)

— базисная система функционального независимых инвариантов группы (2), то, согласно, многообразие можно представить в виде и для построения общего вида УР должно быть выполнено условие rank независимости системы (3) по отношению к переменным . Это условие можно заменить требованием . Указанная схема построения инвариантных многообразий приводит к понижению порядка (редукции) УР с помощью полной системы функционально независимых инвариантов .

1. Группы SO (2) и O (2). Если УР допускает группу вращений , то

(далее будем использовать обозначение ).

Теорема. Двумерное УР, допускающее группу вращений SO (2), имеет вид

(4)

Если, кроме того, УР инвариантно относительно отражения , т. е. допускает группу O (2), то в (4) при всех k.

Действительно, инфинитезимальный оператор группы (2) имеет вид

,

а в полярных координатах

,

, откуда . Так как r*=1, то редуцированное с помощью системы инвариантов УР имеет вид , откуда следует

,

.

В силу аналитичности в окресности

Полагая

, получаем (4), где . Инвариантность (4), относительно отражения J дает ,

Следствие. УР (4), допускающее группу SO (2), потенциально, т. е.

, в том и только том случае, если оно, кроме того, инвариантно относительно отражения J.

Действительно, необходимое условие потенциальности векторного поля дает , т. е. . Если же, наоборот, , то

Для построения систем разветвления, допускающих кристаллографические группы, когда вещественное УР инвариантно относительно отражений, удобнее выполнить приведенные выше рассуждения в комплексных переменных

,(5)

.

Это поможет преодолеть технические трудности, связанные с учетом инвариантности УР относительно комплексного сопряжения. Тогда (см., например,)

и, следовательно,

. (6)

Базис инвариантов можно выбрать в виде

.

Тогда система разветвления (неособое инвариантное многообразие) запишется следующим образом:

,

,

или, в силу ее аналитичности по ––

(7)

В соответствии с теоремой. Дополнительная симметрия относительно отражения

дает .

Литература:

  1. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985. 184 с.
  2. Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 280 с.
  3. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  4. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. 131 с.
  5. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
  6. Вайнберг М. М.. Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 526 с.
  7. Гончар А. А., Шабат Б. В. Аналитическая функция. Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Математическая энциклопедия. Е.1.М.: Советская энциклопедия. 1977. С.261–273.
Основные термины (генерируются автоматически): групповой анализ, комплексное сопряжение, группа вращений, система разветвления, вид, группа, многообразие, отражение.


Похожие статьи

Содержание и виды групповой учебной деятельности студентов

Групповая цель может быть расписана в виде поэтапных задач, решение которых приближает группу к достижению общей цели.

комплексная (групповая)— каждый учащийся делает свою часть задания, заранее предвидя...

Аналитический обзор методов анализа переходных процессов...

Наиболее распространенным видом аварийных режимов

Авторы применяют комплексную форму записи операторных уравнений переходных процессов.

Вопросы исследования динамической устойчивости электроэнергетических систем можно разделить на три группы [11]

Применение спектроскопии отражения для недеструктивного...

Группой ученых Биологического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством д.б.н., проф. М.Н. Мерзляка при участии зарубежных коллег была разработана общая методология анализа пигментов растений с использованием метода спектроскопии отражения [7-9; 13-21].

Особенности межличностных отношений в группах сверстников...

Одним из существенных видов групп является коллектив — устойчивая во времени организационная группа

Комплексным показателем взаимоотношений в коллективе является его

Для анализа степени включения индивида в различные группы, а также положения...

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Приложение комплексных чисел в электротехнике. Автор: Шмидт Надежда Михайловна.

В матричной форме система уравнений (3) примет следующий вид.

Методы определения реактивной мощности при синусоидальных режимах можно разделить на две группы: методы...

Технология коллективного взаимодействия как способ развития...

Системный анализ технологии КСО предпринят Г. К. Селевко.

 педагогика сотрудничества и «погружение». Каждая группа методик для сменных пар требует определенных навыков и умений как у учащихся, так и учителей.

Понятие концепта в лингвокогнитологии и лингвокультурологии

Концепты сводят все многообразие наблюдаемых явлений к чему-то единому, под

Так, Д. С. Лихачев все концепты классифицирует на следующие группы

групповые («сцена» для актера и зрителя), индивидуальные (они полностью зависят от личного опыта, системы...

Интеграция видов детского художественного творчества через...

- «ретрансляционное сопряжение» — при этом способе интеграции один компонент

Таким образом, анализ публикаций показывает, что интеграция видов детского

4. Комарова Т.С, Зацепина М. Б. Интеграция в системе воспитательно-образовательной работы детского сада.

Влияние групповой работы на развитие коммуникативных...

Поэтому виды работы на уроках принципиально отличались от тех видов работы, которыми

Им предлагались для анализа жизненных ситуаций вопросы низкого и высокого порядка, в которых

Основные термины (генерируются автоматически): групповая работа, группа...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Содержание и виды групповой учебной деятельности студентов

Групповая цель может быть расписана в виде поэтапных задач, решение которых приближает группу к достижению общей цели.

комплексная (групповая)— каждый учащийся делает свою часть задания, заранее предвидя...

Аналитический обзор методов анализа переходных процессов...

Наиболее распространенным видом аварийных режимов

Авторы применяют комплексную форму записи операторных уравнений переходных процессов.

Вопросы исследования динамической устойчивости электроэнергетических систем можно разделить на три группы [11]

Применение спектроскопии отражения для недеструктивного...

Группой ученых Биологического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством д.б.н., проф. М.Н. Мерзляка при участии зарубежных коллег была разработана общая методология анализа пигментов растений с использованием метода спектроскопии отражения [7-9; 13-21].

Особенности межличностных отношений в группах сверстников...

Одним из существенных видов групп является коллектив — устойчивая во времени организационная группа

Комплексным показателем взаимоотношений в коллективе является его

Для анализа степени включения индивида в различные группы, а также положения...

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Приложение комплексных чисел в электротехнике. Автор: Шмидт Надежда Михайловна.

В матричной форме система уравнений (3) примет следующий вид.

Методы определения реактивной мощности при синусоидальных режимах можно разделить на две группы: методы...

Технология коллективного взаимодействия как способ развития...

Системный анализ технологии КСО предпринят Г. К. Селевко.

 педагогика сотрудничества и «погружение». Каждая группа методик для сменных пар требует определенных навыков и умений как у учащихся, так и учителей.

Понятие концепта в лингвокогнитологии и лингвокультурологии

Концепты сводят все многообразие наблюдаемых явлений к чему-то единому, под

Так, Д. С. Лихачев все концепты классифицирует на следующие группы

групповые («сцена» для актера и зрителя), индивидуальные (они полностью зависят от личного опыта, системы...

Интеграция видов детского художественного творчества через...

- «ретрансляционное сопряжение» — при этом способе интеграции один компонент

Таким образом, анализ публикаций показывает, что интеграция видов детского

4. Комарова Т.С, Зацепина М. Б. Интеграция в системе воспитательно-образовательной работы детского сада.

Влияние групповой работы на развитие коммуникативных...

Поэтому виды работы на уроках принципиально отличались от тех видов работы, которыми

Им предлагались для анализа жизненных ситуаций вопросы низкого и высокого порядка, в которых

Основные термины (генерируются автоматически): групповая работа, группа...

Задать вопрос