Библиографическое описание:

Турдиев Х. Х., Ахророва М. И. Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов р(х) и q(x) оператора Дирака с периодическим потенциалом // Молодой ученый. — 2017. — №9. — С. 7-10.



Ключевые слова: спектральный оператор Дирака, периодический потенциал, экспоненциально убывающий, периодические функции

Рассмотрим следующий оператор Дирака

(1)

где и периодическая непрерывные действительные функции, а комплексный параметр.

Пусть последовательности непересекающихся интервалов являются лакунами оператора Дирака (1).

Введём решения уравнения (1)

удовлетворяющие начальным условиям:

Обозначим через , собственные значения задачи Дирихле для системы уравнений (1).

Справедливы следующие оценки (см.1)

, ,

Определение. Последовательность чисел и спектральные параметры называются спектральными данными оператора Дирака (1).

Как известно (см.2) коэффициенты оператора (1), т. е. периодические функции и однозначно восстанавливаются по спектральным данным.

Теорема 1. Если — периодический потенциал оператора Дирака (1), имеющий спектр

и спектральные параметры , то для любого действительного параметра , оператор Дирака с потенциалом имеет тот же спектр, и спектральные параметры удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Дубровина-Трубовица

(2)

а также начальным условиям

(3)

где корни понимаются в арифметическом смысле и знак изменяется на противоположный при каждом столкновении точки с границами лакуны .

При помощи системы уравнений Дубровина-Трубовица изучается связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов и оператора Дирака:

Теорема 2. Если и периодические действительные функции из класса и длины лакун экспоненциально убывают, т. е. если существуют постоянные числа для которых при любых целых то и является действительными аналитическими функциями на всей прямой.

Доказательство. По условию теоремы , (). Положим где .

Покажем, что при значение находится в круге .

Действительно,

Рассмотрим множество комплексных последовательностей с действительной частью из пространства и мнимой частью

В частности при вектор-функция является действительной, аналитической и формулы первого следа:

аналитична в окрестности точки Если вместо граничных условий рассмотреть граничные условия

(4)

то вышеизложенным методом можно получить аналитичность собственных значений задачи и в точке .

Вычитая формулы второго следа

друг от друга выводим аналитичность в точке

Рассмотрев вместо системы (1) систему:

где действительное фиксированное число, получим аналитичность функций и в точке

Значит функции и аналитичны в точке .

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Если и действительные аналитические периодические функции, то длины лакун убывают экспоненциально.

Литература:

  1. Мисюра Т. В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака I, II. //сб. «Теория функций, функц. анализ и их приложения», Харьков, 1978,вып. 30, с. 90–101, 1979, вып. 31 стр. 102–109.
  2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. Изв. «Наука», 1984, 289 с.
  3. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle