При решении экспериментальных задач по физике часто возникает необходимость измерения физических величин, находящихся в функциональной зависимости. Как правило, после измерений информация о физическом явлении извлекается из графиков, построенных по данным, полученным экспериментальным путем, а зависимость между двумя физическими величинами — xи yпредставляется в виде таблицы 1.
Таблица 1
|
x |
x1 |
x2 |
x3 |
... |
xn |
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
... |
yn |
В связи с тем, что значения величин xи y измеряются с погрешностью, нанесенные на координатную плоскость точки будут разбросаны относительно предполагаемой кривой.
Если график y = f (x) строить, непосредственно соединяя экспериментально полученные точки, то он будет иметь вид ломаной. Однако в большинстве случаев функции, описывающие процессы в природе, являются гладкими. Значит, необходимо подобрать такую функцию y = f (x), которая наилучшим образом выражала бы экспериментальную зависимость y от x.
Наиболее простым видом функциональной зависимости является прямо пропорциональная зависимость между физическими величинами вида
.
Необходимо отыскать такой коэффициент k, а значит, прямую, наилучшим образом согласованную с экспериментальными точками, нанесенными на плоскость (x, y), при котором общее отклонение
минимально (рисунок 1). Для этого необходимо решить уравнение:
или 
,
где xi, yi — измеренные значения величин; N — количество пар значений измеренных величин.
Естественно, что для отыскания экстремума дифференцирование ведется по параметру, от которого зависит, как пройдет график. Воспользовавшись правилами дифференцирования суммы и сложной функции, получим
Полученное значение параметра k позволяет наиболее близко к экспериментальным точкам провести прямую, выходящую из начала координат.
Рис. 1. Экспериментальные точки при измерении величин
Погрешность при определении параметра k:
Экспериментальная задача. Измерить сопротивление проводника при помощи амперметра и вольтметра. Оценить погрешность измерений.
Для решения поставленной задачи необходимо собрать электрическую цепь, изображенную на рисунке 2.
Рис. 2. Экспериментальная установка для измерения сопротивления проводника при помощи амперметра и вольтметра
Изменения силы тока и напряжения на резисторе, полученные в результате измерений приведены в таблице 2.
Таблица 2
|
I, А |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
|
U, В |
0,27 |
0,56 |
0,9 |
1,18 |
1,49 |
1,79 |
2,05 |
2,42 |
2,68 |
3,01 |
|
I, А |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2 |
|
U, В |
3,35 |
3,56 |
3,85 |
4,18 |
4,48 |
4,79 |
5,12 |
5,45 |
5,68 |
5,9 |
Необходимо подобрать такую формулу U = f (I), чтобы она наиболее удачно отражала зависимость между силой тока I и напряжением U. Закон Ома устанавливает эту зависимость в виде U=RI. Это линейная зависимость. Определим величину сопротивления R.
Способ № 1.
- Определим значение сопротивления R каждого из N измерений:
.
- Определим среднее значение сопротивления по формуле:
(Ом).
Погрешность такого косвенного измерения сопротивления можно найти по правилам обработки результатов прямых измерений, рассматривая набор значений Ri как статистический набор данных. Пренебрегая инструментальной погрешностью, получим:
(Ом).
Итак,
Ом.
Это самый простой, но не лучший способ выбора коэффициента k в случае, когда сглаживающая зависимость между величинами xи y линейная и имеет вид: y = kx.
Способ № 2 (Метод наименьших квадратов)
- Значение сопротивления R можно найти по формуле:
(Ом).
- Погрешность вычислим по формуле:
(Ом).
В результате получим: 
(Ом).
Видно, что наиболее вероятные значения сопротивлений, вычисленные двумя рассмотренными способами, попадают в доверительные интервалы друг друга и, следовательно, оба имеют право на существование. Однако погрешность расчета сопротивления при использовании метода наименьших квадратов оказалась вдвое меньше по сравнению с первым способом. Таким образом, результат, полученный методом наименьших квадратов, более точен.
Литература:
- Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок / Дж. Тейлор; Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 272 с.
- Исаков В. А. Физика колебаний. Лабораторный практикум: Методические указания к лабораторным работам по физике / В. А. Исаков, В. П. Нестеров / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2001. 22 с.
- Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений / Ю. В. Линник. Л.: Физматгиз, 1962. 352 с.
