Введение

Если посмотреть на окружающий нас мир, то мы увидим, что всё вокруг гармонично и имеет строгий порядок. Нас восхищает красота и пропорциональность в природе. Человеческое восприятие с удовольствием воспринимает правильные пропорции, они кажутся нам красивыми. Изучая историю, мы видим, что понятие «симметрия» развивалось благодаря изучению природы и живых организмов. Понятие симметрии используется и в математике, как строгая математическая закономерность. Известный французский математик Анри Пуанкаре писал: «Симметрия — это не просто узор. Это тайная договоренность между элементами, которая остаётся неизменной при определённых преобразованиях».

Актуальность исследования обусловлена необходимостью изучить применение симметрии в математике и в повседневной жизни.

Проблема. Для каких сфер деятельности человека важно использование математической симметрии.

Объект исследования — понятие симметрии в математике.

Предмет исследования — применение симметрии в практической деятельности.

Цель — исследовать использование математической симметрии в нашей жизни.

Задачи исследования:

1. Изучить суть понятия «симметрия»;
2. Выявить описанные в научных источниках виды симметрии в математике;
3. Определить значимость использования математической симметрии в различных сферах жизни.

Методы исследования: изучение научной литературы, анализ и синтез.

Основная часть.

Симметрия пронизывает всю жизнь человека.Она ясно представляется в строение человеческого тела, в зеркальности правой и левой рук, ног. Симметрия проявляется в гармонии человеческих движений: в танцах, технической работе, искусстве.

Академик А. В. Шубников писал: «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло её в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большой пригодности для практики правильных форм».

Симметрия (от греческого «соразмерность») — это соответствие частей, расположенных по обе стороны от центра, плоскости или оси. Симметрия — такое важное понятие, которое встречается в математике, природе, повседневной жизни, искусстве и науке. Если предмет симметричен, то его части «повторяют» друг друга. Можно сказать, что симметрия — это «отзеркаленное» положение чего-либо. В качестве наглядного объяснения, можно представить предмет, затем мысленно провести черту посередине (ось симметрии), а затем посмотреть, что две части предмета абсолютно симметричны. Для проверки есть ли у предмета симметрия, нужно повернуть, сдвинуть или отразить предмет, и если в нём нечего не изменится, можно сделать вывод, что у этого объекта есть симметрия. Существует пять главных категорий симметрии (рис. 1):

Рис. 1. Категории симметрии (Схема составлена автором)

История появления и развития понятия симметрии .

В глубокой древности люди начали замечать соразмерность в лепестках, листьях, крыльях бабочек. Философы и древнегреческие учёные в своих размышлениях стали активно использовать идею симметрии и предаваться философскому осмыслению этой темы. Греки связывали понятие симметрии с красотой и порядком. Сам термин «симметрия» появился в 5 веке до н. э., его ввёл скульптор Пифагор Регийский. Он сделал вывод о сферичности Земли. Пифагор рассматривал симметрию как пространственную закономерность в расположении одинаковых фигур или частей. Именно Пифагор сформулировал понятие симметрии и с тех пор она стала играть важную роль в математике. Последователи Пифагора (пифагорейцы) видели в симметрии числовую основу мироздания. Пифагорейцы выделяли пары противоположностей, которые сочетаясь, создают гармонию. Например: чётное — нечётное, правое — левое. В 5 веке до н. э. философ Платон заявлял, что симметрия имеет глубокий смысл: быть прекрасным значит быть симметричным. Позже Платон развивал идею о том, что геометрические формы — это воплощение симметрии. Приблизительно к 4 веку до н. э. Аристотель сказал, что симметрия связана с понятием «средней меры». Из философии симметрия перетекла в строгую математику. В это период симметрия стала инструментом познания.

В 1830 году Иоганн Гессель вывел 32 класса симметрии кристаллов. Благодаря этому открытию, Гессель составил математическое описание всех типов симметрии для конечных геометрических фигур. В тоже время Эварист Галуа, а позже и Феликс Клейн развивали идею о том, что симметрия представляет собой набор трансформаций, которые не изменяют исходный объект. Так симметрия, являющаяся лишь предметом философских размышлений, переросла в математический инструмент. В течении двадцатого века преставление о симметрии стало значительно глубже. Эмми Нётер установила принцип о том, что любой непрерывной симметрии в физической системе соответствует закон сохранения. К примеру, симметрия во времени — это закон сохранения энергии. То есть Эмми Нётер связала симметрию с законами физики. В следствии этого принципа симметрия стала ключом к построению физических теорий.

Симметрия в математике и описание её видов

Симметрия является важным инструментом в разделе математики -геометрии. Она помогает создавать классификацию фигур, решать задачи и строить алгоритмы. Симметрия (пропорциональная гармония) — это такое свойство фигур, при котором части объекта остаются неизменными при определённых преобразованиях (например, когда отражаются относительно плоскости, оси или центра). Симметрия имеет разные виды.

Основные виды симметрии в математике и их построение представлены далее в таблице 1.

Опишем их:

1. Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой, то есть каждая точка фигуры имеет зеркальное отражение относительно оси. Например, чтобы построить треугольники, симметричные друг другу относительно прямой, нужно воспользоваться определённым алгоритмом. Сначала нужно начертить первый треугольник, а затем из его вершин провести прямые, которые перпендикулярны оси симметрии и продлить их на другую сторону оси. Далее нужно измерить расстояние от вершин до точек пересечения с прямой и отложить такие же отрезки с другой стороны, а затем соединить полученные точки отрезками, чтобы получить симметричный данному треугольник. Если вся первая фигура совпадает со второй, значит она имеет осевую симметрию относительно этой оси.
2. Центральная симметрия — это симметрия относительно точки. В результате такого преобразования, положение каждой точки фигуры меняется так, что центр симметрии становится серединой отрезка, образованного от исходной точки и её новым положением. Для того чтобы построить фигуру, симметричную изначальной фигуре относительно точки (центра), нужно соединить вершины первого треугольника с центром и продлить отрезки далее, затем такие же отрезки отложить с другой стороны от точки и соединить полученные точки отрезками. Получим треугольник, который симметричен изначальной фигуре относительно центра.
3. Зеркальная симметрия — это симметрия относительно плоскости. Зеркальной симметрией называю такое отображение пространства, при котором любая точка переходит в симметричную ей относительно плоскости. Такую плоскость называют плоскость симметрии. Для того, чтобы построить зеркальную симметрию тоже нужно применить специальный алгоритм. Сперва нужно построить фигуру или угол, затем провести перпендикуляры, а потом найти середины отрезков и поставить точку, чтобы от этой точки отметить такой же отрезок с другой стороны. На конечном этапе соединяем точки и получаем зеркальное отражение изначального объекта относительно плоскости (таблица 1).

Таблица 1

Основные виды симметрии

(Изображения взяты из открытых источников)

Помимо четырёх основных видов математичкой симметрии в геометрии есть редкие виды симметрии, представленные в таблице 2.

Опишем их:

1. Вращательная симметрия — это свойство фигуры, при котором объект может быть повёрнут вокруг конкретной точки на угол, не превышающий 360 градусов, и при этом полностью совпадёт со своим исходным положением.
2. Скользящая симметрия — это когда сначала выполняется отражение фигуры относительно прямой (оси), затем она параллельно смещается вдоль этой же оси на заданный вектор.
3. Трансляционная симметрия — это свойство объекта, будь то фигура, структура или математическое описание, при котором его облик остается неизменным даже после параллельного переноса, или трансляции, выполненного на фиксированный вектор. Иными словами, если мы сместим объект вдоль этого вектора, или на любую его целочисленную кратность, он безупречно совпадет сам с собой, как будто и не было никакого перемещения.
4. Сферическая симметрия — это свойство, при котором облик объекта (фигуры или угла и т. д.) не изменяется, независимо от того, какие замысловатые кульбиты он совершает, при условии, что одна точка никак не изменится.

Таблица 2

Редкие виды симметрии.

(Изображения взяты из открытых источников)

Таким образом исследование видов математической симметрии показало, что с её помощью в математике классифицируют и анализируют фигуры, описывают свойства фигур, осуществляют построение симметричных фигур, доказывают теоремы и упрощают вычисления, приводя сложные задачи к более простым.

Математическая симметрия используется не только в геометрии и математике, но и в других сферах повседневной жизни. Она помогает создавать гармоничные формы (в строительстве и архитектуре), решать инженерные задачи, создавать графики и интересные дизайны, она также помогает открывать законы природы и создавать предметы повседневного обихода. Теперь подробно разберём, для чего конкретно нужна математическая симметрия в жизни:

1. Математическая симметрия в быту. В быту чаще всего используется осевая, центральна, поворотная и зеркальная симметрия. Например, для изготовления таких предметов обихода как кружка, кастрюля, тарелка используют поворотную и осевую симметрию из-из за того, что в этих предметах присутствует симметрия, в них равномерно распределяется тепло и предмет удобно держать в руках. Симметрия используется и при изготовлении мебели, которая симметрична относительно вертикальной оси. Стол, шкаф, стул имеют одинаковые ножки, дверцы благодаря симметрии, и из-за этого мебель создаёт баланс в интерьере комнаты. Математическая симметрия присутствует и в нашей повседневной одежде. Платье, шорты, куртка симметричны по центру, у них есть карманы, пуговицы, рукава, которые тоже симметричны. Симметрия используется при изготовлении обуви — (пара ботинок имеет зеркальную симметрию. Все эти предметы изготавливаются с помощью математической симметрии, в следствие чего имеют красивый и эстетичный вид.
2. Математическая соразмерность в архитектуре и строительстве. Математическая симметрия является ключевым принципом создания удивительных архитектурных композиций. Часто в архитектуре симметрию называют царицей архитектурного совершенства. Различные здания построены на основе осевой, зеркальной и центральной симметрии, они имеют устойчивость, величие и красоту. Например, Тадж — Махал в Индии, многие театры и музеи построены с помощью математической симметрии, поэтому эти здания воспринимаются эстетически привлекательными. Математическая симметрия помогает архитекторам и инженерам сделать их задумки устойчивыми. По поводу надобности математической симметрии в архитектуре Франсуа Блондель писал так: «Удовлетворение, которое мы испытываем, глядя на прекрасное произведение искусства, проистекает оттого, что в нём соблюдены правила и мера, ибо удовольствие в нас вызывают единственно лишь пропорции».
3. В инженерии математическая симметрия влияет на устойчивость и эффективность работы механизмов. Так симметричная форма автомобилей, самолётов и подводных лодок снижает сопротивление воды и воздуха. Детали техники словно части единого гармоничного целого, обретают свою безупречность благодаря осевой или центральной симметрии, что подчеркивает их функциональную красоту. Часто симметрию в инженерии комбинируют с асимметрией, чтобы дизайн получился более интересным.
4. Математическая симметрия используется в дизайне. С помощью математической симметрии можно организовать визуальное пространство и задать ритм, создать симметричное расположение элементов любой композиции, выстроить иерархию, выделяя ключевые элементы.
5. Математическая симметрия содействует развитию науки и изучению законов природы. Учёные используют математический аппарат теории симметрии и применяют его в физике, биологии и химии. В физике математическая симметрия упрощает уравнения и помогает формулировать законы природы. В химии симметрия помогает раскрывать тайны молекул, их свойств и реакционной способности. Важную роль симметрия сыграла в кристаллографии, послужив ключом к классификации кристаллов. В биологии анализ с помощью математической симметрии открывает путь к пониманию развития форм жизни.

Таким образом по результатам проведенного исследования можно сделать вывод о том, что математическая симметрия используется во многих науках и отраслях.

Заключение

Исследование понятия симметрии показало, что математическая симметрия является важным инструментом, используемым в науке и повседневной жизни человека. Благодаря использованию понятия симметрия в науке, учёные описывают окружающую действительность, природу вещей, открывают законы, классифицируют объекты и явления, выявляют связи. В математике симметрия позволяет упрощать расчёты, выявлять инвариантность решений. Помимо науки, математическая симметрия используется в таких видах деятельности человека, как архитектура, строительство, дизайн, инженерия и производство различных товаров. Именно применение симметрии позволяет создавать правильные, эргономичные, сбалансированные объекты, имеющие приятные глазу очертания, удобные в использовании и обладающие необходимыми для применения физическими и химическими свойствами.

Литература:

1. Математика. Геометрия: 7–9-е классы: базовый уровень:
2. учебник: издание в pdf-формате/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
3. С. Б. Кадомцев [и др.]. — 15-е изд., стер. — Москва: Просвещение,
4. 2024 г. https://my-uchebnik.ru/book/geometry/4/geometry-00000039.htm
5. Статья «Язык симметрии» Д.МАМФОРД, Д.РАЙТ, К.СИРИС в научно-популярном физико-математическом журнале «Квант» https://kvant.mccme.ru/pdf/2011/04/Mamford.pdf
6. А. П. Коротченко «Сущность и асимметрия времени: от Аристотеля и до единой теории природы», ж. Вестник Приазовского государственного технического университета. Серия: Технические науки. — 1998 г. https://cyberleninka.ru/article/n/suschnost-i-asimmetriya-vremeni-ot-aristotelya-i-do-edinoy-teorii-prirody
7. Гончарова С. Г., Кукин Построение геометрии на основе понятия симметрии — Наука,1969.