Правильное изображение в калейдоскопе



В нем магия зеркал и горсточка осколков.

Как хочешь — так крути, по делу и без дел.

Таинственная суть внутри калейдоскопов

Открыта только тем, кто в стеклышко глядел!

Все знакомы с замечательной игрушкой — калейдоскоп. Переливающиеся узоры завораживают, можно часами сидеть и рассматривать их, ведь бесконечный мир зазеркалья очень интересный и загадочный. Мир зазеркалья калейдоскопа загадочен тем, что его изображение должно быть правильным. Мне стало интересно разобраться в бесконечном зазеркалье и как в нем образуется правильное изображение и от чего оно зависит.

Цель исследования: Выяснить, что такое правильное изображение в калейдоскопе и как оно зависит от прямой призмы, которая находится внутри него.

Задачи исследования:

1. Найти и изучить теоретический материал по теме «Зеркальная и поворотная симметрия»;
2. Выяснить, какой принцип заложен в работе калейдоскопа;
3. Исследовать зависимость количества изображений от величины угла между зеркалами; ознакомиться с устройством калейдоскопа; выяснить, что такое правильное изображение в калейдоскопе;
4. Собрать информацию о калейдоскопах и различных прямых призмах в них; выяснить при каких прямых призмах получается правильное изображение; сравнить недостатки и преимущества прямых призм при использовании в калейдоскопе;
5. Изготовить свой калейдоскоп;
6. Обобщить полученную в результате исследования информацию.

Гипотеза исследования:

Правильное изображение в калейдоскопе зависит, о того какая прямая призма находится внутри него.

Материалы и методы: анализ, синтез, обобщение и систематизация собранной информации, эксперимент.

Хоть нам и кажется калейдоскоп волшебством, но это не так, потому что в основе бесконечного загадочного мира калейдоскопа лежат законы математики, геометрии и физики: зеркальная и поворотная симметрия; принцип отражения света от плоского зеркала.

Калейдоскоп (слово произошло от трех греческих слов — красивый, вид, смотрю). Считается, что калейдоскоп изобрел шотландский физик Дэвид Брюстер. В 1816 году он запатентовал свой калейдоскоп.

Симметрия ( от греческого “symmetria”) — означает одинаковость в расположении частей.

В калейдоскопе совмещаются два вида симметрии: зеркальная и поворотная. Расположив зеркала под определенным углом, можно увидеть отражение, отражение отражения и т. д.

Отражение — это наиболее известная и чаще других встречающаяся в природе разновидность симметрии. Зеркало в точности воспроизводит то, что оно “видит”, но обращает пространственный порядок: например, правая рука Вашего двойника окажется левой т. к. пальцы будут расположены на ней в обратном порядке.

Зеркальная симметрия — это такая симметрия, когда одна фигура зеркально отражает (повторяет) другую т. е. каждая половинка служит зеркальным отражением другой, а разделяющая их плоскость называется плоскостью зеркального отражения (плоскостью симметрии).

На рисунке оранжевый треугольник (фигура А) -которая является оригиналом и отражается в зеркале, в результате, получаем фигуру А' — точную копию фигуры А и которую называют мнимым изображением. Все что было слева, стало на таком же расстоянии от плоскости симметрии (прямая b) справа.

Это самый распространенный вид симметрии — мы видим его повсюду в природе, а также в искусстве, технике и даже в музыке, лингвистике и других науках.

Поворотная симметрия — при ней внешний вид узора не изменяется, если его повернуть на некоторый угол вокруг оси. Примером может служить детская игра “вертушка” с поворотной симметрией.

Комбинируя отражение с поворотом, мы получим то, что видно в калейдоскопе. Обе симметрии необходимы для получения изображения в калейдоскопе.

Калейдоскоп — это оптический прибор, в основе действия которого лежит принцип отражения света от плоских зеркал, образующих между собой угол. Именно зеркало обладает гладкой поверхностью, поэтому отражает свет под четким углом. Свет при этом отражается, подчиняясь закону отражения -именно этот принцип и лежит в основе работы калейдоскопа. Именно зеркала, которые используются в калейдоскопе, и дают мнимое расположенное симметрично относительно зеркала, изображение.

Угол падения равен углу отражения

Получается, что именно благодаря зеркальной симметрии и принципу отражения света от плоского зеркала мы видим симметричное изображение в калейдоскопе.

Внутри калейдоскоп может стоять от 2–3-х зеркал до 4-х или более. Чтобы понять принцип работы калейдоскопа проведу опыт с зеркалами. Возьмём зеркало, и положу перед ним фишку. Видим две фишки: одну в оригинале и одну в отражении «за зеркалом”. В зеркале мы видим изображение фишки, находящееся на расстоянии равном расстоянию до зеркала. Возьму теперь два зеркала расположенных под углом 120 ⁰ друг к другу, и повторим наш эксперимент. Мы видим три фишки: одну в оригинале и две в отражении. Зеркальный угол с раствором 90° покажет то же изображение четыре раза. А два зеркала, угол между которыми составляет 72°, дадут нам пятикратное изображение. Если угол между зеркалами 60 ⁰ , то изображений 6, 30 градусов —12 и т. д. Когда угол становиться меньше, количество предметов увеличивается. т. е.- количество изображений в зеркалах зависит от величины углов между зеркалами . Число изображений равно результату деления 360° на величину угла между зеркалами, то есть 180 ⁰ , 120 ⁰ , 90 ⁰ , 72 ⁰ , 60 ⁰ , 45°, 36 ⁰ , 30 ⁰ и т. д. В зависимости от числа, на которое производится деление, мы видим фишку 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12 раз. Фишка совершает в зеркале «полный оборот”. Таким образом, образует симметричный узор.

Количество изображений и красота рисунка в калейдоскопе как раз и зависит от количества зеркал, которые находиться в призме.

Величина угла в градусах Количество изображений 180 2 120 3 90 4 72 5 60 6 45 8 36 10 30 12 Угол уменьшается Количество изображений увеличивается

Калейдоскоп внутри снабжен зеркалами, поставленными под определенными углами по отношению к друг другу (прямая призма).

В одном из оснований призмы — двойное стеклянное дно, между стёклами насыпаны мелкие разноцветные предметы. В противоположном основании призмы — окуляр. При фиксированном положении калейдоскопа из предметов складывается картинка в «основной» фигуре.

Попадающие в пространство между двумя зеркалами объекты отражаются в них, отражаются их отражения и отражения их отражения. Она многократно отражается в стенках зеркалах, и наблюдатель через окуляр видит симметрично правильный разноцветный узор.

При повороте калейдоскопа предметы пересыпаются, возникает новыйузор.Также, красота узора зависит еще как раз от этих предметов.

Рассмотрим несколько прямых треугольных призм.

Прямую треугольную призму, в основании которой лежит равносторонний треугольник, с углами 60 ⁰ –60 ⁰ –60 ⁰ .

Картинка, образующаяся в фундаментальном треугольнике (а). Заменим её на более простую, математически связанную с самим фундаментальным треугольником — три разноцветные стрелки (Приложение 6б), одинаковой длины, отложенные от центра треугольника перпендикулярно зеркалам.

Если бы у нас было одно зеркало, то на этом всё бы и закончилось: общая картинка состояла бы из фундаментального треугольника и его образа в зеркале (в). Но в случае калейдоскопа все три стороны фундаментального треугольника зеркальные, и, значит, наблюдатель заведомо увидит сам фундаментальный треугольник и три его симметричные относительно сторон копии (г). На самом же деле, как известно из практики, картинка будет гораздо больше. Дело в том, что отражения зеркала в зеркале снова «работают» как зеркало. То есть природа продолжает симметрично отражать копии треугольников относительно их «виртуальных» сторон (д). Получающаяся картина должна заполнять всю плоскость (е), различные копии-отражения фундаментального треугольника не должны накладываться друг на друга, создавая мешанину, не должны обрезаться — тем самым и получается бесконечный мир зазеркалье.

Калейдоскоп — это трубка, глядя в которую видишь фантастически прекрасный узор из разноцветных многоугольников. Изображения накладываются друг на друга. И эти изображения в калейдоскопе должны отвечать требованиям, чтобы изображения являлись правильными.

А именно, главная характеристика правильного калейдоскопа — изображение, получившееся после отражения в зеркалах не должно изменяться (устойчивость (з)). И оно действительно устойчиво: если покачать калейдоскоп, то изображение меняться не будет. Даже в тех местах, где ребро между зеркалами калейдоскопа перемещается относительно рисунка, он остается постоянным вне зависимости от положения калейдоскопа и его рёбер.

Важно, что видимая картина « устойчива », не изменяется при небольших шевелениях калейдоскопа. Если узор «устойчивый» и симметричный на всем бесконечном мире зазеркалья— то только лишь в этом случае изображение будет правильным и только в этом случае устройство и будет являться калейдоскопом.

	(а) Фундаментальный треугольник	(б) Фундаментальный треугольник
(в) Образ фундаментального треугольника одной его стороны в одном зеркале	(г) Копии фундаментального треугольника, всех трех сторон, отражения первого уровня
(д) Степени отражения фундаментального треугольника
Заполнение плоскости	(е)Устойчивость изображения

Если рассмотреть прямую треугольную призму в основании которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник, с углами 90 ⁰ –45 ⁰ –45 ⁰ и прямую треугольную призму в основании которой лежит прямоугольный треугольник, с углами 90 ⁰ –30 ⁰ –60 ⁰ , то у калейдоскопов, построенных на фундаментальных треугольниках с перечисленными наборами углами — все описанные свойства также выполняются, для доказательства этого я провел эксперимент.

	Фундаментальный треугольник		Заполнение плоскости		Устойчивость изображения
Фундаментальный правильный треугольник		Отображения первого порядка		Бесконечный мир зазеркалья

А бывают ли еще какие-то случаи?

Чтобы ответить на этот вопрос провел еще один эксперимент:

Рассмотрим прямую треугольную призму, в основании которой лежит произвольный треугольник с любыми другими углами .

В этом случае у произвольного треугольника в отражениях первого порядка — относительно сторон самого фундаментального треугольника — присутствует нестыковка. Образы, полученные отражениями относительно сторон, не симметричны друг другу (а). т. е. Изображение формируется в каждом из зеркал раздельно по уже указанному принципу «образ зеркала в зеркале, снова работает как зеркало». Но изображение, формирующееся в одном из зеркал, не переотражается в другом зеркале. (б).

Также в случае произвольного треугольника, если начать делать дальше всевозможные его отражения на плоскости, они будут накладываться друг на друга, изображение будет складываться из как-то перемешанных обломков изначального изображения и не будет регулярным и ни о каком красивом симметричном, а тем более правильном изображении говорить не приходится (в).Сюрпризы, преподносимые треугольником с произвольными углами на этом, не заканчиваются-возникает неустойчивость и изменчивость изображения (г).

(а)нестыковка		(б) нестыковка на плоскости
(в) наложения изображений	(г) неустойчивость изображения

Провел для доказательства этого еще один эксперимент, где в качестве фундаментального треугольника взял треугольник , с углами 120 ⁰ –30 ⁰ –30 ⁰ , т. е. видим, что НЕ ЛЮБАЯ прямая треугольная призма создает правильное изображение в калейдоскопе.

Фундаментальный треугольник с произвольными углами	Отображения первого порядка
		Видим, что симметрия отображения уже в первом порядке нарушается …

Таким образом, при повороте калейдоскопа предметы пересыпаются, возникают новые, и новые узоры. Чтобы обеспечить симметрию узора, его устойчивость, чтобы не было нестыковки изображений, наложений изображений друг на друга — а тем самым и правильное изображение в калейдоскопе подходят только следующие прямые треугольные призмы:

1. Треугольная призма в основании которой лежит равносторонний треугольник, с углами 60 ⁰ –60 ⁰ –60 ⁰ .
2. Треугольная призма в основании которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник, с углами 90 ⁰ –45 ⁰ –45 ⁰
3. Треугольная призма в основании которой лежит прямоугольный треугольник, с углами 90 ⁰ –30 ⁰ –60 ⁰ .

Но самым распространённом типом калейдоскопов — треугольная призма, в основании которой лежит равносторонний треугольник, с углами 60 ⁰ –60 ⁰ –60 ⁰ – этот вариант удобен и с производственной точки зрения — все зеркала одинаковые.

Если в основании зеркальной прямой призмы использовать не треугольник, а произвольный многоугольник, то правильное изображение в калейдоскопе получиться лишь при использовании четырех зеркал, поставленных по сторонам прямоугольника, т. е. при использовании прямой четырехугольной призмы .

К сожалению, наш глаз, глядя в глазок калейдоскопа, видит не весь бесконечный мир зазеркалья, который образуется в калейдоскопе — и поэтому многие считают, что можно использовать любую прямую призму в калейдоскопе. Для доказательства, я провел эксперимент:

Ни какие другие прямые призмы для создания калейдоскопа не подходят, т. к. они не создадут правильное изображение в калейдоскопе.

Правильным изображение можно назвать лишь, когда оно симметричное, без наложений и устойчивое во всех бесконечных отображениях калейдоскопа.

Треугольная прямая призма, в основании которой лежит равносторонний треугольник, прямоугольный равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, с углами 90 0– 30 0– 60 0 .
	Треугольная прямая призма, в основании которой лежит ЛЮБОЙ другой произвольный треугольник.

т.о. Гипотеза: Правильное изображение в калейдоскопе зависит, о того какая прямая призма находиться внутри него — нашла свое подтверждение

В заключение своего исследования я изготовил 2 собственных калейдоскопа из банки из-под чипсов (https://stranamasterov.ru/node/950689) с правильной треугольной призмой и прямой четырехугольной призмой.

РЕЗУЛЬТАТЫ:

Узор, порождаемый зеркалами калейдоскопа, под правильным выбранным углом, обладает и зеркальной и поворотной симметрией.

Основный принцип, который заложен в основе калейдоскопа это: принцип отражения света от плоского зеркала, благодаря которому, расположив зеркала под определенным углом, мы видим симметричные отражение, отражение отражения и т. д. Количество изображений и красота рисунка в калейдоскопе зависит от количества зеркал, которые находиться в призме.

Красота изображения в калейдоскопе также зависит от декоративной насыпки, которую используют в устройстве калейдоскопа. Изображение в калейдоскопе считают правильным, когда оно симметричное, без наложений и устойчивое во всех бесконечных отображениях калейдоскопа.

Правильное изображение в калейдоскопе можно добиться, только при использовании 4 видов прямых призм в ее устройстве:

1. Треугольная призма, в основании которой лежит равносторонний треугольник, с углами 60 ^0– 60 ^0– 60 ⁰ .

^2. Треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник, с углами 90 ^0– 45 ^0– 45 ⁰

3. Треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, с углами 90 ^0– 30 ^0– 60 ⁰ .

4. Четырехугольные призмы.

Литература:

1. Калейдоскоп // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — М.: Математические этюды, 2015. — С. 73. 2002–2019, Математические этюды https://mnogogranniki.ru/pravilnaya-chetyrekhugolnaya-prizma.html

2. http://www.etudes.ru/ru/etudes/kaleidoscope/

3. http://book.etudes.ru/toc/kaleidoscope/

4. Соровский образовательный журнал, № 2, 1997. “Калейдоскопы” Э. Б. Винберг

5. Исследовательская работа по математике «Что внутри калейдоскопа?» Автор работы Зызда Н. А.; Руководитель проекта Зызда Л. П.

6. Журнал Квантик № 7 2015 г.

7. Зайцев А. А. КАЛЕЙДОСКОП // Старт в науке. — 2020. — № 1; URL: http://science-start.ru/article/view?id=1822 .

8. https://stranamasterov.ru/node/950689

9. https://chippfest.blogspot.com/2014/05/15.html