Расчёт оптимальных значений параметров в прикладных задачах | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 6 ноября, печатный экземпляр отправим 10 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Научный руководитель:

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Опубликовано в Юный учёный №1 (10) февраль 2017 г.

Дата публикации: 21.12.2016

Статья просмотрена: 34 раза

Библиографическое описание:

Орлов, Е. П. Расчёт оптимальных значений параметров в прикладных задачах / Е. П. Орлов, А. Д. Сидоров, Р. М. Бахшинян. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2017. — № 1 (10). — С. 47-50. — URL: https://moluch.ru/young/archive/10/617/ (дата обращения: 24.10.2021).



При инженерных расчётах часто возникает необходимость находить такие значения параметров конструкции, при которых определённые характеристики принимали бы оптимальные, то есть максимальные или минимальные значения. С этой целью нередко используются методы, разработанные в курсе математического анализа. Рассмотрим некоторые примеры решения задач.

Задача 1. Картина ВС прямоугольной формы высоты H(м) подвешена на стене таким образом, что ее нижний край С находится выше уровня объектива A фотокамеры на b (м) (рис. 1). На каком расстоянии x от стены ВК должна находиться фотокамера, чтобы угол обзора картины был наибольшим?

Решение. Пусть угол обзора картины. Из рис.1 видно, что , а из треугольников АКС и АКВ соответственно имеем:

(1)

Рис. 1

Используя соотношения (1), найдём выражение для тангенса угла обзора :

(2)

Из (2) для угла обзора получим

(3)

Заметим, что угол является функцией расстояния х от объектива фотокамеры до стеныподвеса картины. Применив методы математического анализа, исследуем полученную функцию на экстремумы, то есть определим её стационарные точки и их характер [1]. С этой целью вычислим производную функции

Приравняв производную к нулю, получим

.

Показано, что при переходе через полученное значение производная меняет знак с плюса на минус, то есть указанная точка является точкой максимума. Это значит, что оптимальное значение расстояния от объектива фотоаппарата до стены, при котором угол обзора картины будет наибольшим, равно

(м). (4)

Подстановкой (4) в (3), получим значение наибольшего угла обзора

.

Задача 2.При каком радиусе основания R и высоте H площадь боковой поверхности конуса заданного объёма V является наименьшей?

Решение. Обозначив образующую конуса через L (рис. 2), боковая поверхность S и объём конуса V запишутся в виде

.(5)

Рис. 2

С учётом (5), выразим высоту H через радиус R и объём V

(6)

Из треугольника РОС, для образующей L будем иметь

.(7)

Тогда площадь боковой поверхности, с учётом (7), запишется в виде функции от радиуса R

(8)

Поступим так же, как и в предыдущей задаче [2]:

.

Так как при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то при значениеплощади боковой поверхности конуса будет минимальным.

Определим значение высоты H конуса при

.(9)

Для более наглядного представления формы полученного оптимального конуса, вычислим отношение :

Таким образом, при фиксированном значении объёма, высота конуса с наименьшей площадью боковой поверхности должна быть в раз больше радиуса основания.

Подставив найденное значение в (8), найдём минимальное значение площади боковой поверхности конуса

.

Заметим, что полученный результат позволяет значительно сократить расходы материала на изготовление конусообразной ёмкости заданного объёма.

Рассмотренные примеры решения прикладных задач показывают, что применение математических методов даёт возможность получить как решение этих задач, так и определённый экономический эффект при проектировании отдельных элементов конструкций.

Литература:

  1. Алимов Ш. А. Алгебра и начала математического анализа: учебник для общеобразовательных учреждений / [Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др.]. — 3 изд. — М.: Просвещение, 2016. — 464 с.
  2. Exponenta.ru[Электронный ресурс]: образоват. мат. сайт. — Режим доступа: http://www.exponenta.ru/. — Загл. с экрана.
Основные термины (генерируются автоматически): боковая поверхность, боковая поверхность конуса, угол обзора картины, математический анализ, угол обзора, заданный объем.


Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Решение задачи, неважно какой сфере она принадлежит, начинается с её анализа: выделения условия (что дано) и вопроса (что найти/доказать). Если уже на первом этапе решения ученик не может правильно понять, что от него требуется, задача заведомо будет решена неверно.

Обзор существующих методик расчёта основных параметров...

μ — коэффициент бокового давления (бокового распора)

2α — угол при вершине конуса на втором участке канала, (град).

При анализе приведённых выше уравнений и зависимостей можно сделать вывод о том, что при проектировании новых грануляторов экструзионного типа с...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

При изучении конуса после уточнения элементов конуса обсуждается такой вопрос

б. боковые грани шара своими точками касания лежат на секущей плоскости, которая проходит через середину высоты призмы и перпендикулярна боковым ребрам призмы

Задать вопрос.

Основные методы изучения объемов многогранников

Умение изображать важнейшие геометрические тела, вычислять их площади поверхностей и объемы имеют большую практическую значимость.

Еще один метод расчета объема тела любой формы и консистенции подразумевает знание массы и плотности этого тела.

Поэтические учебные тексты – интеллектуально-эмоциональная...

Площадь поверхности боковой. Для пирамиды правильной, К тому же, слегка усложнённой.

Отрезок в параллелепипеде соединяет –. Получается знакомая картина

То угол между прямой и её проекцией на плоскость. Углом между прямой и плоскостью называют.

Геометрическое определение продольной подачи при токарной...

Анализ результатов исследований показал, что для уменьшения шероховатости следует стремиться к уменьшению вспомогательного угла режущего элемента и снижению радиуса при вершине. Кроме того, следует применять подачу, не превышающую расчетного значения.

Выбор метода оцифровки для контроля геометрии...

Анализ рассмотренных материалов позволяет утверждать, что технология оцифровки с использованием проникающих излучений практически не находит применения в области контроля проходного сечения сопловых аппаратов турбины авиационного двигателя.

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Углом между прямыми в плоскости понимают наименьший(острый) из двух смежных углов

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух

Пересекаем вторую плоскость с поверхностью конуса с помощью операции «Кривая...

Анализ и развитие методов расчета характеристик решеток...

Для определения номинального угла поворота потока Δβо используется зависимость приведенная в [5], где . Данная зависимость пригодная для решеток профилей с густотой b/t=1, для решеток профилей с другой густотой используется поправочный коэффициент , где.

Похожие статьи

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Решение задачи, неважно какой сфере она принадлежит, начинается с её анализа: выделения условия (что дано) и вопроса (что найти/доказать). Если уже на первом этапе решения ученик не может правильно понять, что от него требуется, задача заведомо будет решена неверно.

Обзор существующих методик расчёта основных параметров...

μ — коэффициент бокового давления (бокового распора)

2α — угол при вершине конуса на втором участке канала, (град).

При анализе приведённых выше уравнений и зависимостей можно сделать вывод о том, что при проектировании новых грануляторов экструзионного типа с...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

При изучении конуса после уточнения элементов конуса обсуждается такой вопрос

б. боковые грани шара своими точками касания лежат на секущей плоскости, которая проходит через середину высоты призмы и перпендикулярна боковым ребрам призмы

Задать вопрос.

Основные методы изучения объемов многогранников

Умение изображать важнейшие геометрические тела, вычислять их площади поверхностей и объемы имеют большую практическую значимость.

Еще один метод расчета объема тела любой формы и консистенции подразумевает знание массы и плотности этого тела.

Поэтические учебные тексты – интеллектуально-эмоциональная...

Площадь поверхности боковой. Для пирамиды правильной, К тому же, слегка усложнённой.

Отрезок в параллелепипеде соединяет –. Получается знакомая картина

То угол между прямой и её проекцией на плоскость. Углом между прямой и плоскостью называют.

Геометрическое определение продольной подачи при токарной...

Анализ результатов исследований показал, что для уменьшения шероховатости следует стремиться к уменьшению вспомогательного угла режущего элемента и снижению радиуса при вершине. Кроме того, следует применять подачу, не превышающую расчетного значения.

Выбор метода оцифровки для контроля геометрии...

Анализ рассмотренных материалов позволяет утверждать, что технология оцифровки с использованием проникающих излучений практически не находит применения в области контроля проходного сечения сопловых аппаратов турбины авиационного двигателя.

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Углом между прямыми в плоскости понимают наименьший(острый) из двух смежных углов

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух

Пересекаем вторую плоскость с поверхностью конуса с помощью операции «Кривая...

Анализ и развитие методов расчета характеристик решеток...

Для определения номинального угла поворота потока Δβо используется зависимость приведенная в [5], где . Данная зависимость пригодная для решеток профилей с густотой b/t=1, для решеток профилей с другой густотой используется поправочный коэффициент , где.

Задать вопрос