К вопросу о методике изучения аксиоматического метода в курсе математической логики в вузе



Дисциплина «Математическая логика» входит в учебные планы ряда направлений подготовки бакалавров и специалистов, например, «Математика», «Математика и компьютерные науки», «Фундаментальная математика и механика», и обычно включает раздел, посвященный аксиоматическому методу (неформальным и формальным аксиоматическим теориям).

Изучение аксиоматического метода способствует формированию системных знаний обучающихся, целостному представлению об окружающей действительности и становлению научного мировоззрения. Аксиоматический метод формирует умение проводить логические рассуждения и доказывать утверждения на основе данных предложений, что способствует развитию логического мышления, а также позволяет строить математические модели с определенными свойствами и моделировать реальные ситуации, что развивает творческие умения и познавательную самостоятельность учащихся, повышая их интерес к обучению.

Рассматривая развитие аксиоматического метода, целесообразно начать с вопроса, почему он был разработан. Знакомство с историей культуры, историей идей способствует эстетическому развитию учащихся, прививает им умение ценить интеллектуальные достижения человечества, способствует пониманию значения аксиоматического метода.

Быстрое развитие математической логики в начале XX века связано с кризисом в основаниях математики. Причиной этого кризиса стало открытие парадоксов в теории множеств.

Для систематического (последовательного) изложения математики (как и любой другой науки) необходимо выбрать начальные (исходные) понятия и принципы, которые будут положены в основу всего изложения.

При систематизации математики в конце XIX века было установлено, что в качестве единственного изначального понятия можно использовать понятие множества.

Б. Больцано, Р. Дедекинд, Г. Кантор и другие математики создали новую математическую дисциплину — теорию множеств, которая привлекла внимание многих ведущих математиков того времени перспективами использования в основаниях математики. Была проделана большая работа по теоретико-множественному обоснованию математических и логических понятий.

Основными итогами этой деятельности в области оснований математики являются становление математической логики как самостоятельной математической дисциплины и разработка современного аксиоматического метода.

Понятие аксиоматической теории берет начало от метода, использованного Евклидом при изложении классической геометрии греков. Поэтому изложение аксиоматического метода в курсе математической логики принято начинать с истории его возникновения и развития.

История аксиоматического метода.

Говоря об истории становления аксиоматического метода, недостаточно привести рассказ о безуспешных попытках доказать пятый постулат Евклидовой геометрии и, в связи с этим, сформулировать отрицание пятого постулата и упомянуть о неевклидовой геометрии. По нашему мнению, стоит подробнее показать причины желания доказать пятый постулат, а также рассказать о нелегком становлении неевклидовой геометрии.

«Начала» Евклида построены следующим образом. Сначала даются определения некоторых первичных терминов, таких как точка, прямая и плоскость. Затем описываются различные свойства этих первичных терминов.

Некоторые из этих описаний Евклид называл аксиомами, а некоторые — постулатами.

Аксиомами Евклид называл описания, в основном относящиеся к любым (не только геометрическим) объектам.

Постулатами Евклид называл описания, относящиеся только к геометрическим объектам.

Списки аксиом Евклида в разных сохранившихся старинных копиях «Начал» отличаются друг от друга. Самым распространенным является следующий список аксиом.

1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.

Постулатов у Евклида пять.

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Так как геометрия Евклида являлась описанием реального физического пространства, то естественно, что Евклид полагал значение первичных терминов достаточно ясным, а относящиеся к ним аксиомы и постулаты считал очевидными истинами.

Далее с помощью первичных терминов определялись некоторые другие понятия, а из аксиом и постулатов выводились логическим путем описания новых свойств, называемые теоремами.

Пятый постулат не является таким простым и очевидным как другие постулаты и аксиомы Евклида, и потому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки вывести его как теорему из остальных аксиом и постулатов.

Наверное, поэтому первые 28 теорем «Начал» Евклида доказываются без использования пятого постулата и составляют так называемую «абсолютную геометрию». При этом теоремы № 27 и № 28 посвящены параллельным прямым.

Современная формулировка теоремы № 28 выглядит так: «Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна двум прямым, то эти две прямые параллельны».

Теорема, обратная теореме № 28, формулируется так: «Если две прямые параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна двум прямым» и является утверждением, эквивалентным пятому постулату.

Видимо, это и было основной причиной стремления доказать её как теорему «абсолютной геометрии» (обычно доказав теорему, математик всегда исследует обратную). Если бы это удалось, то пятый постулат можно было бы исключить из списка аксиом!

Однако все попытки доказать или опровергнуть обратную теорему окончились неудачей.

Далее последовали попытки заменить пятый постулат эквивалентным утверждением, таким же «очевидным», как и другие постулаты Евклида.

Было найдено достаточно много эквивалентных формулировок пятого постулата. Наиболее известны формулировки, приписываемые Плейферу и Лежандру.

Формулировка Плейфера: «Через точку C, не лежащую на прямой AB в плоскости ABC, можно провести только одну прямую, не пересекающую прямую AB».

Формулировка Лежандра: «Перпендикуляр и наклонная к общей секущей, расположенные в одной плоскости, обязательно пересекутся».

Но поскольку все эти формулировки были эквивалентны теореме, обратной теореме № 28 «абсолютной геометрии», проблема пятого постулата осталась нерешенной.

Глубокое исследование пятого постулата, основанное на совершенно оригинальном принципе, провёл в 1733 году итальянский математик Джироламо Саккери. Он опубликовал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии».

Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить пятый постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив «ложную геометрию», и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость пятого постулата будет доказана от противного.

Допустив ошибку в рассуждениях, Саккери пришел к противоречию, и считая, что доказал пятый постулат, закончил исследование. Фактически же Саккери доказал несколько десятков теорем неевклидовой геометрии.

К сожалению, пионерская работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил этот забытый труд и оценил его историческое значение.

Неевклидова геометрия.

В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли К. Ф. Гаусс, Я. Бойяи, Н. И. Лобачевский и Ф. К. Швайкарт. Но цель у них была уже иная — не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире. На тот момент это была совершенно еретическая идея, так как никто из учёных ранее не сомневался, что физическое пространство евклидово.

В 1818 году Швайкарт отправил Гауссу письмо с серьёзным анализом основ неевклидовой геометрии, однако воздержался от вынесения своих взглядов на публичное обсуждение.

Гаусс тоже не решился опубликовать работу на эту тему, но его черновые заметки и несколько писем однозначно подтверждают глубокое понимание неевклидовой геометрии.

Лобачевский и Бойяи проявили большую смелость, чем Гаусс, и почти одновременно (Лобачевский — в докладе 1826 года и публикации 1829 года; Бойяи — в письме 1831 года и публикации 1832 года), независимо друг от друга опубликовали изложение того, что сейчас называется геометрией Лобачевского.

Лобачевский продвинулся в исследовании новой геометрии дальше всех, и она в настоящий момент носит его имя. Но главная его заслуга не в этом, а в том, что он поверил в новую геометрию и имел мужество отстаивать своё убеждение (он даже предложил экспериментально проверить пятый постулат, измерив сумму углов треугольника).

Трагическая судьба Лобачевского, подвергнутого жесткой критике в научном мире и служебном окружении за слишком смелые мысли, показала, что опасения Гаусса были не напрасны.

По иронии судьбы торжество смелых идей Лобачевского обеспечил (посмертно) осторожный Гаусс. В 1860-е годы была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам русского математика.

В 1868 году вышла статья Э. Бельтрами, который показал, что плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну (у евклидовой плоскости кривизна нулевая, у сферы — положительная), и неевклидова геометрия приобрела легальный научный статус, хотя всё ещё рассматривалась как чисто умозрительная.

Истинность этой новой геометрии вначале казалась сомнительной. Однако геометрия Лобачевского, как и геометрия Евклида, рассматриваемая как дедуктивная система, оказалась непротиворечивой — в ней не было обнаружено противоречивых утверждений.

Измерения, проводимые в доступной части физического пространства, не смогли выявить заметных расхождений между прогнозами, исходящими из геометрии Лобачевского и геометрии Евклида.

Далее были построены различные модели геометрии Лобачевского средствами геометрии Евклида.

Например, в 1871 году Феликс Клейн предложил модель, в которой плоскость интерпретировалась как внутренность некоторого круга евклидовой плоскости; точка интерпретировалась как евклидова точка внутри этого круга; прямая интерпретировалась как хорда этого круга без концов.

Из этой интерпретации следует относительная непротиворечивость геометрии Лобачевского, то есть если геометрия Евклида представляет собой непротиворечивую систему, то геометрия Лобачевского также является непротиворечивой системой.

Аксиоматические теории.

Открытие неевклидовой геометрии, а также построение различных моделей геометрии Лобачевского средствами геометрии Евклида означало отказ от обязательного приписывания какого-либо физического смысла таким исходным понятиям, как точка, прямая, плоскость и позволяло приписывать различные значения первичным терминам аксиоматической теории.

Отношение к аксиомам также претерпело решительные изменения.

Эволюция взглядов на природу аксиоматического метода привела к следующей концепции аксиоматической теории.

Выбирается несколько первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть определены через первоначальные понятия и через понятия, смысл которых был определен ранее.

Затем выбирается несколько утверждений о первоначальных и определяемых понятиях, эти утверждения объявляются истинными и они называются аксиомами аксиоматической теории.

После этого пользуясь правилами логического умозаключения, выводят новые утверждения о первоначальных и определяемых понятиях, которые называются теоремами.

Определение. Доказательством называется конечная последовательность высказываний (формул) теории w₁, w₂, …, w_k, каждая из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих высказываний (формул) этой последовательности по правилам вывода.

Определение. Теоремой называется высказывание (формула), являющаяся последней в доказательстве.

Замечание. Любая аксиома является теоремой — доказательство состоит из одного шага.

Определение. Аксиоматической теорией называют систему из двух множеств высказываний (формул) T и W, таких, что T  W. МножествоWсостоит из всех высказываний (формул) данной теории, множество T состоит из доказуемых высказываний (формул) данной теории, называемых теоремами, выводимых из заданного множества высказываний (формул) T_o  W, называемых аксиомами.

Таким образом, T_o  T  W.

В математической логике аксиоматические теории делят на формальные и неформальные.

Аксиоматическая теория называется формальной, если правила вывода включаются в теорию.

Аксиоматическая теория называется неформальной, если правила вывода в теорию не включаются, при этом используется какая-либо известная система логических правил вывода.

Обычно в неформальных аксиоматических теориях используется формальная классическая логика Аристотеля. В принципе, можно использовать и другую систему логики, например конструктивную,вкоторой в отличие от классической, считают неприемлемым применение закона исключенного третьего к бесконечным множествам.

Основными свойствами аксиоматических теорий являются непротиворечивость иполнота.

Непротиворечивость теории означает невозможность вывода в данной теории некоторой формулы и ее отрицания.

Полнота теории означает возможность вывода для любой формулы либо самой этой формулы, либо ее отрицания.

Литература:

1. Смилга В. П. В погоне за красотой. — М.: «Молодая гвардия», 1968. — 288 с.
2. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. — М.: Физматлит, 2007. — 128 с.
3. Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — М.: Издательский центр «Академия», 2010. — 448 с.
4. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Издательство Московского университета, 1982. — 120 с.
5. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1976. — 320 с.
6. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.