Решение задач строительной механики по определению максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок с помощью МИКФ



Для пластинок в виде равнобедренных с комбинированными граничными условиями (комбинация жесткого защемления и шарнирного опирания) построены аппроксимирующие функции по решениям, полученным с помощью МКЭ для задач поперечного изгиба пластинок равномерно распределенной нагрузкой и свободных колебаний в ненагруженном состоянии. Доказано, что эти аппроксимирующие функции ограничивают область распределения всего множества значений максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок произвольного вида, представленную в координатных осях «физическая характеристика — угол при основании треугольника». Показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) можно с использованием найденных граничных кривых достаточно просто получить решение для пластинки в виде произвольного треугольника с комбинированными граничными условиями.

Ключевые слова: аффинное преобразование, интерполяция, коэффициент формы, комбинированные граничные условия, треугольник, пластинка

Теоретические основы МИКФ разработаны А. В. Коробко [1]. Сущность метода заключается в установленной автором функциональной взаимосвязи между интегральными физическими характеристиками пластинок F и коэффициентом их формы K_f, который для треугольных пластинок определяется по формуле

(1)

где α, β и γ — углы треугольника.

Рис. 1

Изучая изопериметрические свойства коэффициента формы и интегральных физических характеристик треугольных пластинок, было доказано, что при геометрических преобразованиях треугольной области эти два параметра изменяются подобным образом. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим рисунки 1 и 2. На рисунке 1 приводится график изменения величины 1/К_f для равнобедренных и прямоугольных треугольников в зависимости от правого угла при основании; на рисунке 2 — график изменения величины 1/ω (ω — основная частота колебаний) для треугольных пластинок с шарнирным опиранием сторон (схема а)) и жестким защемлением по контуру (схема б)). На этих рисунках точка 2 соответствует правильному треугольнику, точка 1 — равнобедренному прямоугольному треугольнику; кривая 0–1 соответствует пластинкам в виде равнобедренных тупоугольных треугольников, кривая 1–2–3 — в виде равнобедренных остроугольных треугольников, кривая 1–3 — в виде прямоугольных треугольников.

Рис. 2

Сопоставляя изображенные на этих рисунках кривые, нетрудно заметить аналогию в распределении основной частоты колебаний и коэффициента формы. Поэтому, все изопериметрические свойства коэффициента формы, которые подробно исследованы в работе [1], можно автоматически перенести на основную частоту колебаний.

На основании изопериметрических свойств коэффициента формы в работе [1] сформулированы изопериметрические теоремы для треугольных пластинок:

‒все множество интегральных физических характеристик для треугольных областей ограничено кривой 0–1–2–3, соответствующей равнобедренным треугольникам;

‒все множество интегральных физических характеристик для областей в виде остроугольных треугольников ограничено кривыми, соответствующими равнобедренным треугольникам (кривая 1–2–3) и прямоугольным треугольникам (кривая 1–3);

‒все множество интегральных физических характеристик для областей в виде тупоугольных треугольников ограничено кривыми, соответствующими равнобедренным треугольникам (кривая 1–2) и прямоугольным треугольникам (кривая 1–3).

Если для какой-либо задачи технической теории пластинок построены рассмотренные выше граничные кривые, то с помощью МИКФ можно получить решение для любой треугольной пластинки. При этом необходимо выполнить следующую последовательность действий:

‒ выбрать геометрическое преобразование (обычно аффинный сдвиг с растяжением), при котором из заданной области можно получить два равнобедренных треугольника (опорные фигуры);

‒ по соответствующим аппроксимирующим (граничным) кривым найти значение интегральных физических характеристик для опорных фигур (опорные решения);

‒ подобрать функцию вида F = KQ(K_f)ⁿ, где Q обобщенная физико-геометрическая константа для конкретной рассматриваемой задач теории пластинок;

‒ по опорным решениям найти неопределенные параметры К и n;

‒ подсчитать коэффициент формы для заданной фигуры и, подставив его в аппроксимирующую функции. F(K_f), найти значение F для нее.

Граничные аппроксимирующие кривые были построены для пластинок в виде равнобедренных треугольников с условиями на контуре, изображенными на рисунке 3. Для их построения с помощью МКЭ с использованием современных программных комплексов были получены решения для множества треугольных пластинок с углом при основании, изменяющимся от 15^о до 80^о[1] с интервалом в 5...10^о. Найденные решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок приведены в таблице 1.

Таблица 1

Значения максимального прогиба иосновной частоты колебаний для пластинок в виде равнобедренного треугольника скомбинированными граничными условиями

№ п/п	Угол при основании треугольника, αо
	15	20	30	40	45	50	55	60	65	70	80
Поперечный изгиб пластинок (w0 = KqA2/D)
1	0,524	0,919	1,571	2,293	2,607	2,812	3,008	3,086	2,986	2,688	1,610
2	0,228	0,412	0,798	1,222	1,447	1,654	1,826	1,949	2,000	1,952	1,303
3	0,234	0,362	0,737	1,044	1,172	1,263	1,303	1,283	1,201	1,047	0,508
4	0,0858	0,194	0,388	0,604	0,715	0,782	0,850	0,872	0,847	0,777	0,425
Свободные колебания пластинок
1	52,456	41,610	31,121	26,156	24,615	23,454	22,887	22,639	22.900	23,841	31,058
2	82,075	62,566	44,273	35,850	33,089	30,993	29,519	28,529	28,175	28,516	34,642
3	81,549	63,392	46,253	39,003	36.826	35,584	35,110	35,270	36,504	39,064	55,50
4	114,53	91,226	62,929	51,227	47,466	45,064	43,620	42,925	43,514	45,409	60,797
Примечание: 1. В приведенных в таблице формулах использованы следующие обозначения: А — площадь, D — цилиндрическая жесткость, m — масса единицы площади пластинки. 2. Величина прогиба увеличена в 103 раз. 3. Жирным шрифтом выделены экстремальные значения w0 и ω, а курсивом — неочевидные результаты.

Анализ приведенных данных показывает:

1) для треугольных пластинок с однородными граничными условиями максимальный прогиб соответствует равностороннему треугольнику (α = 60^о);

2) для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями положение экстремума смещается: для схемы опирания, представленной на рисунке 3-б, смещение происходит вправо и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании ≈65^о (угол при вершине ≈50^о); для схемы опирания, представленной на рисунке 3-в, смещение происходит влево и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании ≈55^о (угол при вершине ≈70^о);

3) при переходе последовательно от схемы опирания пластинки а) к схеме г) (рис. 3) значения максимального прогиба уменьшаются, за исключением пластинок с углом при основании равнобедренного треугольника α = 15^о (в таблице эти результаты выделены курсивом).

Точно такие же эффекты проявляются и для основной частоты колебаний.

а)	б)
в)	г)
Рис. 3
а)	б)
Рис. 4

Причиной возникновения подобного рода эффектов является влияние жестко защемленного края (см. рис. 4, где жирными линиями внутри треугольника показаны положения нейтральных линий — линий, вдоль которых изгибающие моменты М_n равны нулю):

‒ при однородных граничных условиях влияние границ одинаковое, поэтому экстремумы w₀ и ω достигаются для пластинок в виде равностороннего треугольника;

‒ при появлении жестко защемленных сторон в треугольной пластиннике нейтральными линиями (см. рис. 4) ограничивается уже не равносторонний треугольник, а более сложная фигура, у которой стороны, параллельные защемленному краю треугольной пластинки в средней части, отклоняются, поворачивая в углы пластинки;

‒ неочевидное, на первый взгляд, увеличение максимального прогиба и уменьшение основной частоты колебаний для пластинки, опертой по схеме 3-в, по сравнению со схемой 3-б можно объяснить тем, что для пластинок с очень острыми углами при вершине при сближении нейтральной линии и угла пластинки у схемы 3-б влияние жесткости угла оказывается большим, чем влияние жестко защемленного края у схемы 3-в.

Граничные аппроксимирующие функции строились по значениям w₀ и ω, приведенным в таблице 1, с помощью программного комплекса Table curve. При этом преследовалась цель, построить эти функции как можно с большей точностью, поскольку они в дальнейшем лягут в основу создания подпрограммы «МИКФ-треугольники» для общего программного комплекса «МИКФ». Этим и объясняется высокая степень полинома, с помощью которого подбирались аппроксимирующие функции. Такие функции были построены для всех случаев опирания треугольных пластинок для обеих рассматриваемых задач. Например:

‒ для шарнирно опертых по контуру пластинок:

(2)

где а = 58,945, b = –16,451, c = 1,964, d = –0,132, e = 0,00556, f = –0,000154, g = 2,856∙10–⁶,

h = –3,510∙10–⁸, i = 2,744∙10–¹⁰, j = –1,237∙10–¹², k = 2,444∙10–¹⁵;

(3)

где а = 38,896, b = –57,185, c = 36,980, d = –13,811, e = 3,285, f = –0,516, g = 0,0536,

h = –0,00356, i = 0,000136, j = –2,311∙10–⁶;

‒ для пластинок, боковые стороны которых шарнирно оперты, а основание жестко защемлено:

(4)

где а = –16,358, b = 4,370, c = –0,504, d = 0,0333, e = –0,00140, f = 3,867∙10–⁵, g = –7,199∙10–⁷, h = 8,906∙10–⁹, i = –7,019∙10–¹¹, j = 3,189∙10–¹³, k = –6,356∙10–¹⁶;

(5)

где а = –0,0277, b = 0,00859, c = –0,000939, d = 6,445∙10–⁵, e = –2,775∙10–⁶, f = 7,791∙10–⁸, g = –1,450∙10–⁹, h = 1,777∙10–¹¹, i = –1,380∙10–¹³, j = 6,170∙10–¹⁶, k = –1,214∙10–¹⁸.

Метод интерполяции по коэффициенту формы имеет несколько возможностей, которые сводятся к решению следующих задач:

‒ качественная оценка области распределения интегральных физических характеристик определенного (заданного) подмножества форм пластинок;

‒ двусторонняя оценка физической характеристики пластинки конкретного вида путем построения двусторонних изопериметрических неравенств;

‒ построение аналитической зависимости, характеризующей изменение интегральной физической величины для некоторого подмножества областей, объединенных одним непрерывным или дискретным геометрическим преобразованием, и определение с ее помощью физической характеристики для пластинки определенного вида из заданного подмножества форм.

Методика реализация первой задачи сводится к изучению изопериметрических свойств и закономерностей распределения коэффициента формы для областей определенного вида. Получив качественную картину распределения коэффициента формы для заданного класса областей (рис. 1), можно сразу же получить и приближенную количественную оценку распределения интегральных физических характеристик, если известно хотя бы одно решение для пластинки определенного вида из этого класса областей. Количественная оценка получается линейным масштабированием графика K_f — α путем приравнивания ординат графиков K_f — α и F — α для пластинки с известным решением.

Покажем эту возможность на примере задачи об основной частоте колебаний треугольных пластинок с шарнирно опертым контуром [1]. Пусть нам известно единственное решение для пластинки в виде равностороннего треугольника (α = 60^о, K_f = 10,392 [1], ω = = ). Разделим K_f на коэффициент пропорциональности при ω (K_f/ω = = 10,392/22,792 = 0,456) и умножим график 1\K_f — α на 0,456 При этом получится новый график, у которого ордината вершины соответствует величине 1/ω для равностороннего треугольника, а весь график является подобным графику, изображенному на рисунке 2-а. К сожалению, указанное подобие нелинейное и полученный новый график не является точным изображением графика 1/ω — α. Однако он дает достаточно хорошее приближение к действительному графику. Например, для шарнирно опертой пластинки в виде равнобедренного прямоугольного треугольника (α = 45^о, К_f = 11,657) из построенного графика будем иметь:

что отличается от известного точного решения на 3,60 %.

Для построения двусторонних изопериметрических неравенств при оценке интегральных физических характеристик пластинок необходимо знание границ возможного распределения этих характеристик для некоторого подмножества форм пластинок.

Построение двусторонних изопериметрических неравенств можно проиллюстрировать с помощью рисунка 5, на котором показан пример аффинного сдвига равнобедренного тупоугольного треугольника с углом при вершине 98,20^о (К_f = 12,460) параллельно основанию. При этом из него получаются прямоугольный треугольник с углами 30^о и 60^о (К_f = 12,928) и равнобедренный остроугольный треугольник с углом при вершине 25,66^о (К_f = 13,795).

Известно [2], что при аффинном сдвиге коэффициент формы получаемых фигур монотонно увеличивается. Это означает, что частота колебаний будет также монотонно увеличиваться.

а)	б)
Рис. 5

Таким образом, значения основных частот колебаний пластинок в виде указанных равнобедренных треугольников будут давать верхнюю и нижнюю оценки частоты колебаний для пластинки в виде прямоугольного треугольника. По формуле (3) для этих равнобедренных треугольных пластинок будем иметь:

, .

Согласно основной изопериметрической теореме по этим данным можно построить двусторонние изопериметрические неравенства

≤ ω ≤

которые удовлетворяются для всех треугольных пластинок, объединенных указанным преобразованием. Известное точное решение задачи об основной частоте заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника ( = 26,58) действительно лежит внутри указанных границ.

Для более точного определения основной частоты колебаний заданной треугольной пластинки следует по опорным решениям построить аналитическую зависимость вида F = KQ(K_f)ⁿ, соответствующую выбранному преобразованию. Используя методику МИКФ, получим:

 = 20,7(К_f)^0,0903.

Подставляя в эту формулу значение коэффициента формы для заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника (K_f = 12,928), найдем:

 = 26,08,

что на 1,89 % отличается от известного точного аналитического решения.

Таким образом, полученные в данной статье решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок в виде равнобедренных треугольников с однородными и комбинированными условиями опирания на контуре, позволяют построить граничные аппроксимирующие функции и с их помощью, используя методику МИКФ, рассчитывать пластинки для любого вида треугольных пластинок с любой комбинацией граничных условий вдоль их сторон.

Литература:

1. Коробко А. В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. — М.: Изд-во АСВ, 1999. — 304 с.
2. Коробко В. И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода. — М.: Изд-во АСВ, 1997. — 390 с.
3. Коробко А. В., Фетисова М. А. Определение поперечного изгиба методом интерполяции по коэффициенту формы при аффинном преобразовании пластинок в виде ромбов и параллелограммов Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 1. С. 23–24.
4. Фетисова М. А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Орловский государственный технический университет. Орел, 2010
5. Фетисова М. А., Володин С. С. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач строительной механики. Молодой ученый. 2013. № 3. С. 114–116.
6. Фетисова М. А., Володин С. С. Коэффициент формы как геометрическая характеристика. Молодой ученый. 2011. Т. 1. № 5. С. 105.
7. Коробко А. В., Фетисова М. А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинокСтроительство и реконструкция. 2010. № 1. С. 36.
8. Фетисова М. А., Калашникова Н. Г. Определение максимального прогиба трапециевидных пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью МИКФ. Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2009. № 1. С. 65.
9. Фетисова М. А. Определение максимального прогиба параллелограммных и трапециевидных пластинок с помощью МИКФ Молодой ученый. 2008. № 1. С. 36–40.
10. Борисова Н. В. Особенности проектирования и расчета деревянных ферм на металлических зубчатых пластинах. В сборнике: Вестник строительства и архитектуры Сборник научных трудов. Орел, 2014. С. 105–108.

---

^[1] При значениях угла α < 15^o и α > 80^o решения, получаемые с помощью МКЭ, начинали резко отклоняться от плавно и монотонно изменяющихся значений F внутри интервала 15^о < α < 80^o.