Уравнения тепловой конвекции в состоянии статики атмосферы

Рассмотрим уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера в инерциальной системе отсчета, без учета вращения Земли:

                                                                                               (1)

Будем рассматривать плоский вертикальный случай, т. е. движение в плоскости . Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:

                                                                                     (2)

                                                                              (3)

В состоянии равновесия (статики атмосферы):

 

                                                                       (4)

Уравнение (4) есть уравнение статики атмосферы. Здесь – плотность воздушной частицы; – плотность окружающей воздушную частицу атмосферы. Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние.

Запишем уравнение состояния для окружающего сухого воздуха (уравнение Менделеева — Клапейрона):

                                                                                                                   (5)

Отсюда, взяв оператор «набла» с обеих частей равенства, получим

Для состояния статики атмосферы:

Тогда

Предварительно предположим, что в состоянии статики атмосферы температура окружающей атмосферы изменяется не только с высотой , но и по оси  по закону:

                                                                                  (6)

где  — вертикальный градиент температуры окружающего воздуха по оси ;  — горизонтальный градиент температуры окружающего воздуха по оси .

Отсюда

 

 

где

 

 

где  — ускорение свободного падения; – удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Взяв производную по  от левого равенства и производную по  от правого, и приравняв смешанные производные, получим, что в состоянии статики атмосферы

  

Отсюда следует, что в состоянии статики атмосферы горизонтальный градиент температуры (и плотности) равен нулю. Другими словами, наличие горизонтального градиента температуры (и плотности) всегда будет вызывать конвективное движение. Далее имеем

                                                                                                      (7)

где  — температура окружающего воздуха у земли в некоторой точке отсчета.

Найдем решение этого уравнения:

                                                                                              (8)

Давление в окружающей атмосфере определяется барометрической формулой

 

 

 

                                                                                                (9)

Или приблизительно

а давление воздуха, поднимающегося адиабатически, изменяется по закону

 

где  — средняя температура окружающего подоблачного воздуха (рис. 1).

Рис. 1. Изменение давления с высотой в адиабатически поднимающемся воздухе и окружающей атмосфере

 

Из рисунков видно, что возмущение давления, вызванное адиабатическим подъемом воздуха, незначительно.

 

Литература:

 

1.         Матвеев Л. Т. Физика атмосферы. — СПб: Гидрометеоиздат, 2000, 779 с.