Решение геометрических задач методом «Золотого сечения» | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Спецвыпуск

Опубликовано в Молодой учёный №21 (80) декабрь-2 2014 г.

Дата публикации: 25.11.2014

Статья просмотрена: 2302 раза

Библиографическое описание:

Первушкина Е. А., Калинина А. И. Решение геометрических задач методом «Золотого сечения» // Молодой ученый. — 2014. — №21.1. — С. 207-210. — URL https://moluch.ru/archive/80/13876/ (дата обращения: 17.08.2018).

Данная статья посвящена обзору различных способов решения геометрических задач с помощью метода «золотого сечения». Рассмотрен математический термин «золотое сечение», его основные свойства.

Ключевые слова: геометрическая задача, пропорции, иррациональное число, геометрическое построение, наглядность, интерактивные геометрические среды.

Abstract. This article reviews the different ways of solving geometric problems using the method of the Golden section. Considered a mathematical term «Golden section», its basic properties.

Keywords: geometric problem, proportions, irrational number, geometric construction, visualization, interactive geometric environment.

 

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень».

Иоганн Кеплер

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с математическим термином «золотое сечение» сами того не подозревая. В живой природе«золотое сечение» встречается в некоторых видах морских звезд,раковинах моллюсков, рогах млекопитающих; в химиисечение встречается в белковых цепях нуклеиновых кислот; в медицине этот термин связывают с работой сердца и его мышечной системой; в архитектуре сечение представлено в различных проектах домов, в здании Кремля;в математике и геометрии «золотое сечение» образует геометрическую фигуру – икосаэдр, грани которого представлены 20 равносторонними треугольниками;также данный метод применятся для решения геометрических задач [3, с. 59]. Рассмотрим его более подробно.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

a : b = c : d.

Отрезок прямой ВС можно разделить тремя  способами:

·                    на две равные части, тогда отношение пропорции примет следующий вид:  ВС:ВD=ВС:CD;

·                    на две неравные части в любом отношении, такие части не образуютпропорции;

·                    таким образом, когда ВС:BD=BD:CD.

Последнее разделение отрезка на части называется золотым делением или деление отрезка в крайнем и среднем отношении[1, с. 349].

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; и меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему[4, с. 50].

a : b = b : c или с : b = b : а.

Рассмотрим геометрическое смысл золотого сечения и выведем его приближенное значение.С математической точки зрения золотое сечение выразится через формулы квадратичной иррациональности.

a

 

ba-b

Рис. 1. Геометрическое изображение «золотого сечения»

– показывает отношение большей части к меньшей.

– показывает отношение меньшей части к большей.

Итак, «золотое сечение» - это иррациональное число, приблизительно равное 1,618. Число –является золотым сечением[1, с. 345].

Впервые данный термин встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.).

Понятие «золотое сечение» или «золотое деление» в научный обиход ввел Пифагор, древнегреческий философ и математик.Рассмотрим некоторые виды задач, в решении которых используется принцип золотого сечения:

Задача№1. Возьмите отрезок длиной 10 см и разделите его приблизительно в золотом отношении.

Получим два отрезка длиной 6,2 см и 3,8 см. Одна часть больше другой в 1,6 раза.

 

6,2 см                                 3,8 см

 

10 см

Рис. 2. Разбиение отрезка в золотом отношении

Части золотого деления составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Задача №2. Построить золотой прямоугольник.

Рассмотрим алгоритм построения золотого прямоугольника:

1.                  Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника.

2.                  В одном из прямоугольников проведем диагональ ВС.

3.                  Циркулем проведем окружность радиуса ВС с центром в точке В.

4.                  Продолжим основание квадрата до пересечения с дугой в точке L и проведем сторону KL параллельную стороне данного прямоугольника.

 

ССN        С         К

1.                                2.                            3.4.

 

 

 

                                              В                              ВВ          М      L

Рис. 3. Алгоритм построения золотого прямоугольника

 

ВС-радиус окружности; В-центр окружности

Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MСKL и вычислите отношения большей стороны к меньшей.Отношение сторон .

Так как число– иррациональное, то с помощью простых измеренийсделать это невозможно. Еще в древности мастера использовали циркуль и линейку, причем они рассмотрели различные способы построения. Разберем один из способов деления отрезка в золотом сечении.

Решение:

Пусть дан отрезок ВС, применим к нему метод  «золотое сечение».

Опустим перпендикуляр СА к отрезку ВС. Предположим, что длина отрезка ВС = 1.

Пусть длина отрезкаСА = 2ВС. СА=.

Из точкиА проведем окружность радиусом АК, где АК=ВС.

Тогда длина отрезка .

Затем  проведем окружность с центром в точкеВ радиусом ВЕ. Длина отрезка   .

 

 

A

 

 

 

 


К

 

                                                  Е

 

 

BNC

Рис.4. Золотое сечение отрезка ВС в точке N

Окружность с радиусом ВЕ пересечет отрезок ВС в точке N золотого сечения, так как .

Задача№3.Вырежите из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат наибольшей площади. Измерьте стороны получившегося прямоугольника.

Решение:

А К                          В

Надпись: P N

Д                                       М                        С

Рис. 5. Построение золотого прямоугольника

 

Рассмотрим прямоугольник АВСД: Пусть стороны АВ=16 см, ВС=10 см. Тогда отношение сторон примет следующий вид: АВ:ВС=16:10=1,6.

Рассмотрим  прямоугольник КВСМ: так как ВС=КМ=10 см, а КВ=АВ-АК=16-10=6 см. Получим следующееотношение сторон КМ:КВ=10:6=1,6666…см.

Рассмотрим прямоугольник МPNC: так как СN=ВС-ВN=10-6=4 см, а МС=ДС-ДМ=16-10=6 см, то  отношение сторон МС:СN примет следующий вид МС:СN=6:4=1,5 см. Получили золотой прямоугольник

Задача№4. Построить золотое сечение отрезка ВС.

Решение:Построить золотое сечение отрезка ВС, значит найти точкуК такую, что  .                                                                                                 D

                                                                                                                    

 

                                                                   Е

N

 

                     В                              К                                                           С

 

Рис. 6. Золотое сечение отрезка ВС

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник DBC, у которого один катет в 2 раза больше другого. Проведем  из точкиС перпендикуляр к прямой ВС и на нем отложим отрезок СD, длина которого равна половине стороны ВС.

СD=BC.

Затем, соединим точкиВ и D. Отложим отрезкиDE и ВКтак, что длина отрезка DE равна длине отрезка DC, а отрезокBK=АN.

Точка K является искомой, она производит золотое деление отрезка BC.

Нами было рассмотрено решение геометрических задач с помощью метода «золотого сечения». Использование предложенных видов заданий позволяет развивать творческие способности, исследовательские навыки и активизировать познавательную деятельность школьников, существенным образом интенсифицировать процесс обучения математике[2, с. 52].

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1.                  Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии / Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. – М.: Стройиздат, 1990. – С. 343-350.

2.                  Напалков С.В., Первушкина Е.А. WEB-КВЕСТ как средство развития инновационной стратегии образования // Приволжский научный вестник. – 2014. – № 8-2 (36).– С. 51-53.

3.                  Первушкина Е.А. Модель развития геометрической креативности школьников при обучении математике в 5-6 классах с использованием информационных технологий // Школа будущего. – 2011. – № 6. – с. 58-64.

4.                  Шевелев И.Ш. Геометрическая гармония // Наука и жизнь. – 1965. – № 8.– С. 14-26.

Основные термины (генерируются автоматически): золотое сечение, золотой прямоугольник, золотое сечение отрезка ВС, длина отрезка, отрезок ВС, золотое деление, большая часть, иррациональное число, математический термин, BNC.


Ключевые слова

геометрическая задача, пропорции, иррациональное число, геометрическое построение, наглядность, интерактивные геометрические среды

Похожие статьи

К понятию о Золотом сечении

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник [3]. Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича...

В наше время за ним утвердилось название «золотое сечение». С золотым сечением связаны числа Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского), названные именем

Если последующее число разделить на предыдущее, то получим иррациональное число, приближающееся к 1,62.

«Золотое сечение» — божественная пропорция

На сенсорной доске слайд: «Золотое сечение»— божественная пропорция».

(Команды получают 5 баллов за правильное деление отрезка в «золотом сечении»).

Золотой треугольник

Ключевые слова: золотой треугольник, применение золотого треугольника.

От точки А на прямой откладываем три раза отрезок произвольной величины (d), через полученную

Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении

Числа золотого сечения выражаются как 0,618…, либо как 1,618…и получены из математического ряда (1

В 1986 году вышла книга Цейзинга «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и...

Основные термины (генерируются автоматически): золотое...

Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение) [1]. Размерность снежинки Коха и губки Менгера выражает через золотое сечение

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Тематический тренажёр. Математика. Профильный уровень: задания части 2» [2, с. 38].

Высота имеет иррациональность в значении ( ), построить её не просто, так как в GeoGebra отрезок заданной длины не может быть иррациональным числом (программа...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников.

1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

К понятию о Золотом сечении

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник [3]. Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича...

В наше время за ним утвердилось название «золотое сечение». С золотым сечением связаны числа Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского), названные именем

Если последующее число разделить на предыдущее, то получим иррациональное число, приближающееся к 1,62.

«Золотое сечение» — божественная пропорция

На сенсорной доске слайд: «Золотое сечение»— божественная пропорция».

(Команды получают 5 баллов за правильное деление отрезка в «золотом сечении»).

Золотой треугольник

Ключевые слова: золотой треугольник, применение золотого треугольника.

От точки А на прямой откладываем три раза отрезок произвольной величины (d), через полученную

Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении

Числа золотого сечения выражаются как 0,618…, либо как 1,618…и получены из математического ряда (1

В 1986 году вышла книга Цейзинга «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и...

Основные термины (генерируются автоматически): золотое...

Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение) [1]. Размерность снежинки Коха и губки Менгера выражает через золотое сечение

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Тематический тренажёр. Математика. Профильный уровень: задания части 2» [2, с. 38].

Высота имеет иррациональность в значении ( ), построить её не просто, так как в GeoGebra отрезок заданной длины не может быть иррациональным числом (программа...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников.

1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

К понятию о Золотом сечении

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник [3]. Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича...

В наше время за ним утвердилось название «золотое сечение». С золотым сечением связаны числа Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского), названные именем

Если последующее число разделить на предыдущее, то получим иррациональное число, приближающееся к 1,62.

«Золотое сечение» — божественная пропорция

На сенсорной доске слайд: «Золотое сечение»— божественная пропорция».

(Команды получают 5 баллов за правильное деление отрезка в «золотом сечении»).

Золотой треугольник

Ключевые слова: золотой треугольник, применение золотого треугольника.

От точки А на прямой откладываем три раза отрезок произвольной величины (d), через полученную

Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении

Числа золотого сечения выражаются как 0,618…, либо как 1,618…и получены из математического ряда (1

В 1986 году вышла книга Цейзинга «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и...

Основные термины (генерируются автоматически): золотое...

Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение) [1]. Размерность снежинки Коха и губки Менгера выражает через золотое сечение

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Тематический тренажёр. Математика. Профильный уровень: задания части 2» [2, с. 38].

Высота имеет иррациональность в значении ( ), построить её не просто, так как в GeoGebra отрезок заданной длины не может быть иррациональным числом (программа...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников.

1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

К понятию о Золотом сечении

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник [3]. Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича...

В наше время за ним утвердилось название «золотое сечение». С золотым сечением связаны числа Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского), названные именем

Если последующее число разделить на предыдущее, то получим иррациональное число, приближающееся к 1,62.

«Золотое сечение» — божественная пропорция

На сенсорной доске слайд: «Золотое сечение»— божественная пропорция».

(Команды получают 5 баллов за правильное деление отрезка в «золотом сечении»).

Золотой треугольник

Ключевые слова: золотой треугольник, применение золотого треугольника.

От точки А на прямой откладываем три раза отрезок произвольной величины (d), через полученную

Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении

Числа золотого сечения выражаются как 0,618…, либо как 1,618…и получены из математического ряда (1

В 1986 году вышла книга Цейзинга «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и...

Основные термины (генерируются автоматически): золотое...

Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение) [1]. Размерность снежинки Коха и губки Менгера выражает через золотое сечение

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Тематический тренажёр. Математика. Профильный уровень: задания части 2» [2, с. 38].

Высота имеет иррациональность в значении ( ), построить её не просто, так как в GeoGebra отрезок заданной длины не может быть иррациональным числом (программа...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников.

1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

Задать вопрос