Автор: Гаврилова Мария Сергеевна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (8) август 2009 г.

Статья просмотрена: 110 раз

Библиографическое описание:

Гаврилова М. С. Математическая модель динамики систолического артериального давления в моменты стрессовых ситуаций у здорового человека // Молодой ученый. — 2009. — №8. — С. 6-8.

В настоящее время заболевания сердечно-сосудистой системы являются наиболее распространенными в России. Многие из них [11] связаны с артериальным давлением (АД). АД — один из важнейших параметров, характеризующих работу кровеносной системы. Стойкое повышение АД выше 140/90 мм рт. ст. (артериальная гипертензия) или стойкое понижение АД ниже 90/50 мм рт. ст. (артериальная гипотензия) могут быть симптомами различных заболеваний (в простейшем случае гипертонии и гипотонии соответственно). К другим заболеваниям, связанным с АД, относятся ишемическая болезнь сердца, инфаркт миокарда, инсульт, сахарный диабет, аритмия.

Для наблюдения за этими болезнями и прогнозирования их развития важную роль играет математическое и  имитационное моделирование. Его применение в биологии и медицине позволяет изучать процессы, о поведении которых нет полной экспериментальной информации. В большинстве работ математическое описание моделируемых систем осуществляется в терминах обыкновенных [6, 8] или стохастических [7, 9, 10] дифференциальных уравнений.

В настоящей работе построена математическая модель отклонения выше нормы систолического АД в моменты стрессовых ситуаций у человека, не больного гипертонией. Целью данной работы является компьютерная имитация результатов мониторирования верхнего давления у человека в возрасте 20—40 лет и построение оценки для ненаблюдаемой компоненты модели.

Экспериментальные данные были предоставлены ИМЭиФК УлГУ. Был проведен эксперимент, в котором у здорового человека измеряли систолическое АД в течение 24 часов. Всего было сделано 75 измерений, первые 39 измерений проводились с интервалом 15 минут, следующие 16 — с интервалом 30 минут. Для оставшихся 20 измерений длины интервалов чередовались.

АД человека значительно изменяется в течение дня в зависимости от его эмоционального и физического состояния. Часто повышенное АД вызвано различными стрессовыми ситуациями. Стресс — это общая реакция организма на воздействие (физическое или психологическое), нарушающее его гомеостаз (процесс саморегуляции), а также соответствующее состояние нервной системы организма (или организма в целом). Выделяют нервно-психический, тепловой или холодовый, световой, антропогенный и другие виды стресса [12]. Известно, что стресс ведет к синтезу в кровь большого количества стрессового гормона адреналина, под действием которого АД повышается. Чтобы нормализовать давление, в организме запускается процесс гомеостаза. В результате этого процесса уровень адреналина в крови понижается, что приводит к уменьшению уровня стресса и понижению АД.

Обозначим стохастический процесс содержания гормона адреналина в крови как , время  измеряется в часах. Количество адреналина, выбрасываемого в кровь в момент стрессовой ситуации, опишем процессом , где  — стандартный пуассоновский процесс с интенсивностью . Тогда процесс рассасывания адреналина в крови имеет вид , где  — пропорциональный коэффициент отрицательной обратной связи (коэффициент затухания).

Обозначим стохастический процесс динамики систолического АД в мм рт. ст. как . Процесс увеличения АД под воздействием адреналина имеет вид , где  — пропорциональный коэффициент роста. Процесс гомеостаза обозначим как , где  — пропорциональный коэффициент отрицательной обратной связи (коэффициент затухания). Процесс, включающий в себя остальные факторы, которые влияют на уровень АД (время года, температура воздуха, переедание, употребление кофе, медикаментов, вождение автомобиля и т. д.), обозначим как .  Здесь  — пропорциональный коэффициент, а  — стандартный винеровский процесс. Процессы  и  независимы.

На основе математического описания медико-биологических процессов построим модель АД, заданную линейной системой стохастических дифференциальных уравнений

                                                (1)

с начальными значениями , . Предполагается, что в системе (1) процесс   не наблюдаем, а наблюдать можно только процесс , который содержит неполную информацию о процессе . Такая система называется частично-наблюдаемой.

Процессы  и  являются стационарными и эргодическими. Процесс  совершает скачки в моменты времени, совпадающие с моментами скачков пуассоновского процесса . Процесс  непрерывный, имеет множественные разладки. Моменты их возникновения также совпадают с моментами скачков процесса .  Разладку можно интерпретировать как стрессовую ситуацию. Она компенсируется частично, роль компенсации играет процесс гомеостаза .

На основе модели (1) и выборки экспериментальных данных было проведено имитационное стохастическое моделирование, позволившее настроить параметры системы методом наименьших квадратов. Были получены следующие значения параметров:

, , , , , .

Поскольку в данной модели процесс  является ненаблюдаемым, ставится задача построения его оценки по наблюдениям за процессом . Вид уравнений системы (1) похож на фильтр Калмана в общем случае, но применить к ним теорию оптимальной фильтрации мы не можем, так как обе компоненты фильтра Калмана должны быть непрерывными. В системе (1) процесс  скачкообразный, поэтому сделаем замену, подставив вместо пуассоновского процесса  непрерывный процесс ,  (2), где  — непрерывный мартингал с ,  и . Заметим, что формула (2) является непрерывным аналогом разложения Дуба — Мейера для пуассоновского процесса. Мы получили новую систему уравнений

                                               (3)

с начальными значениями , . Предполагается, что в системе (3) процесс  ненаблюдаемый, а процесс  наблюдаемый. Очевидно, что оба процесса  и  являются непрерывными.

Система (3) представляет собой общий случай фильтра Калмана для двумерного частично-наблюдаемого процесса  [2]. Выпишем для нее систему уравнений оптимальной фильтрации

                                   (4)

с начальными значениями , . Согласно теории,  и . Процесс  является оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой ненаблюдаемого процесса , а процесс  — оценкой отклонения  от .

Для того чтобы оценить ненаблюдаемую компоненту  из системы (1), возьмем процесс  и подставим в (4). Получим систему уравнений

                                  (5)

с начальными значениями , . В системе (5) процесс  является теоретической оценкой процесса , а процесс  — теоретической оценкой отклонения  от . Адекватность этих оценок была проверена с помощью стохастического имитационного моделирования. Полученные оценки  и  непрерывны.

Заключение. В работе построена математическая имитационная модель динамики систолического АД, по которой можно пронаблюдать, как изменяется систолическое давление у здорового человека в моменты стрессовых ситуаций. Данная модель может быть усложнена в зависимости от конкретной решаемой задачи. Например, при добавлении в систему новых компонент, влияющих на АД, или функциональной зависимости параметров модели. Также была построена оценка для ненаблюдаемой компоненты системы с применением теории оптимальной фильтрации. Полученные в работе результаты применимы для решения широкого класса прикладных задач в различных областях современной биологии и медицины.

Автор выражает благодарность профессору Бутову А. А. за внимание к работе.

 

Литература

 

  1. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. — М.: Наука, 1976. — С. 251—259.
  2. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). — М.: Наука, 1974. — С.  421—425.
  3. Бутов А. А. Элементы стохастического исчисления. Методическое пособие. — Ульяновск: УлГУ, 1996. — 24 с.
  4. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989. — 640 с.
  5. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 408 с.

6.      Марковский М. В., Ефимов А. В. Математическая модель динамики артериального давления // Научная сессия МИФИ-2000. Сборник научных трудов. — М., 2000. — Т. 2: Информатика и процессы управления. Информационные технологии. Сетевые технологии и параллельные вычисления. — С. 118—119. — Режим доступа: http://library.mephi.ru/data/scientific-sessions/2000/2/737.html, свободный.

7.      Дюсупова А. К. Об одной модели регуляции артериального давления системой наиболее быстрых механизмов // ИВТ СО РАН: Тезисы докладов / «Конференция молодых учёных, посвящённая 10-летию ИВТ СО РАН», Новосибирск, Академгородок, 25—26 декабря 2000. — Новосибирск: 2000. — Режим доступа: http://www-sbras.nsc.ru/ws/show_abstract.dhtml?ru+9+1268, свободный.

8.      Бияров Т. Н., Пыркова А. Ю. Импульсное управление динамическими системами на конечном отрезке времени. Математическая модель регуляции артериального давления при инсулинозависимом диабете // ИВТ СО РАН / «Конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Алексея Андреевича Ляпунова», Новосибирск, Академгородок, 8—11 октября 2001. — Новосибирск: 2001. — Режим доступа: http://www.ict.nsc.ru/ws/Lyap2001/2265, свободный.

9.      Чибисов С. М., Подладчикова Т. В., Рагульская М. В., Стрелков Д. Г. Оценка и прогноз результатов мониторирования среднего артериального давления у различных возрастных групп // Научные труды VIII Международного конгресса «Здоровье и образование в XXI веке. Концепции болезней цивилизации», 14—17 ноября 2007, РУДН. — М.: 2007. — С. 731—742. — Режим доступа: http://www.chronobiology.narod.ru/chibisovpodladchikova.html, свободный.

10.  Подладчикова Т. В., Рагульская М. В., Чибисов С. М., Стрелков Д. Г. Долгосрочное мониторирование и математическое моделирование хронобиологических изменений среднего артериального давления у различных возрастных групп // Успехи современного естествознания. — М.: 2008. — № 2. — С. 14—20. — Режим доступа: http://www.rae.ru/use/pdf/2008/02/2008_02_02.pdf, свободный.

11.  Заболевания, связанные с артериальным давлением // Электронное издание «Всё об артериальном давлении». — Режим доступа: http://www.120na80.ru/html/help.html, свободный.

12.  Стрессы // Электронный словарь «Глоссарий.ru». — Режим доступа: http://www.glossary.ru/cgi-bin/gl_sch2.cgi?RRywlxx, свободный.

Основные термины (генерируются автоматически): Математическая модель, Режим доступа, артериального давления, систолического АД, начальными значениями, динамики систолического АД, моменты стрессовых ситуаций, пропорциональный коэффициент, Математическая модель динамики, процесс гомеостаза, пропорциональный коэффициент отрицательной, модель динамики систолического, стойкое понижение АД, стохастический процесс, Стойкое повышение АД, регуляции артериального давления, Процесс увеличения АД, модель АД, нормы систолического АД, систолическое АД.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос