В статье приведены вклады некоторых ученных античности и средневековья в возникновении науки геометрии до обоснования ее Гаспаром Монжем в книге «Начертательная геометрия».
Начертательная геометрия по своему содержанию занимает особое положение среди других наук: она является лучшим средством развития у человека пространственного изображения, без которого немыслимо никакое инженерное творчество.
В конце XX века во Франции Гаспаром Монжем была опубликована его книга «Начертательной геометрии» (Geometrie descriptive, 1795). С тех пор новая наука, вызванная к жизни Монжем, благодаря назревшей потребности со стороны инженерно-строительной техники, стала быстро распространяться не только во Франции, но и в других странах. Она прочно укрепилась в высшей технической и художественной школах как основная учебная дисциплина, без которой немыслимо образование инженера, архитектора и художника. Впервые работа Монжа была напечатана именно как учебное пособие. Своего значения его начертательная геометрия не потеряла до сих пор, и в наши дни она составляет основную часть учебного курса методов изображений. На примере начертательной геометрии сказался общий характер разносторонней деятельности Монжа его глубокий исследовательский ум, двигающий вперед науку, и кипучая разнообразная работа, направленная на приложение его теории к практике.
Продолжая свои изыскания, Монж дал общий метод решения стереометрических задач посредством геометрических построений на плоскости, который он назвал начертательной геометрией (Geometrie descriptive) и начал писать курс этой науки для Мезьерской школы. Ему было запрещено что-либо публиковать из боязни, что иностранцы могут воспользоваться достижениями французской науки в ущерб Франции. Даже в самой Франции этот метод имел ограниченное применение.
Более 20 лет этот основной его труд не видел света. За это время Монж создал другой свой крупный труд, относящийся к теории поверхностей: «Приложение анализа к геометрии» (Application de l'Analyse a la Geometrie), который предварительно печатался в 1795 г. отдельными тетрадями для студентов Политехнической школы: «Feuilles d'analyse appliquee a la geometr-ie». В этой работе Монж рассматривает поверхности с точки зрения образования их движением линий. Свой труд он сопровождает изложением собственной теории интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка и решением задачи о колебаниях струны.
В двадцать два года Монж был уже профессором математики, а через три года к нему перешла также и кафедра физики. Женитьба Монжа сделала его владельцем металлургического завода, где он применил на практике свои инженерные таланты. В 1780 г. Тюрго основал в Лувре кафедру гидравлики и для замещения ее привлек Монжа. В том же году, т. е. в возрасте 34 лет, он был избран Парижской Академией наук в число ее членов. Около этого времени он написал для Морской школы (l'Ecole de marine) известный свой «Курс статики» (Traite de statique), который был принят для обучения в Политехнической школе. В период времени 1770–1790 гг. Монж сотрудничал в Мемуарах Туринской и Парижской Академий наук и других научных журналах. Среди статей его надлежит отметить «Теорию выемок и насыпей».
(Memoire sur la theorie des deblais et des remlais, 1781), и которой изложено замечательно изящное исследование, касающееся проблемы земляных работ, связанное с главными исследованиями Монжа о линиях кривизны поверхностей. О характере геометрической школы Монжа Феликс Клейн (Vorlesungen uber die Entwickiung der Mathematik im XIX Jahrhundert, 1926). О труде Монжа «Приложение анализа к геометрии» Клейн отзывается с восхищением и заявляет, что этот труд «считается, как роман, т. е. отличается связным, ясным не построенным по старой схеме: предпосылки, утверждение, доказательство) и плавным изложением. Из элементарных формул свободным взлетом фантазии разворачивается масса геометрических рассуждений, которые прежде всего прилагаются к проблемам, выдвигаемым природой».
До Монжа строители, художники и ученые обладали довольно значительными сведениями о проекционных методах, но только Монж создал начертательную геометрию как науку.
Ещё в древнем Египте при постройке зданий, при межевании плодородных земель, омываемых Нилом, в живописи при расписывании стен и на колоннах зданий, работая над стенными барельефами, прибегали к элементарным проекционным приемам. Об этом свидетельствуют сохранившиеся планы египетских городов, планы и фасады зданий и поместий.
Относительно точные сведения об уровне геометрических знаний в Древнем Египте сообщает папирус Ахимеса (измерение земельных участков, вычисление пирамид). Основателем геометрии в Греции считают финикиянина Фалеса Милетского, получившего образование в Египте (ок. 624–547гг. до н. э.). Он основал школу геометров, которая положила начало научной геометрии. Ученику Фалеса Пифагору Самосскому (ок. 580–500гг. до н. э.) принадлежат первые открытия в геометрии: теория несоизмеримости некоторых отрезков, например, диагонали квадрата с его стороной, теория правильных тел, теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника.
Преемник Пифагора Платон (427–347гг. до н. э.) ввел в геометрию аналитический метод, учение о геометрических местах и конические сечения. Существовавшая до сих пор элементарная геометрия была, расширена и ее назвали трансцендентной.
Систематизировал основы геометрии, восполнил ее пробелы великий александрийский ученый Евклид (III в. до н. э.) в своем замечательном труде. «Начала» Евклида — первый серьезный учебник, по нему в течение двух тысячелетий учились геометрии.
Большой научный прогресс в этой области совершился в эпоху Возрождения. В трудах Пьетро-делла-Франческо дель Борго, Лоренцо Гиберти, Леона Баттисти Альберти, Леонардо да-Винчи, Виатора, Альбрехта Дюрера,
Микель Анджело, Виньоля и других заложены основные теоретические положения, которыми должна руководствоваться практика построения перспективных изображений; в них указаны условия выполнения таких изображений (монокулярность зрения, закрепленность точки зрения и поверхности картины, единство физического момента времени). Альбрехт Дюрер дал правила построения перспективы, связав ее с другим методом — с ортогональными проекциями. Вопросам проектирования самых трудных частей сооружений (сводов) посвящены труды Филиберта Делорма A576),
В науку геометрия свои вклады внесли многие, ученые мира. На примере рассмотрим гениальных восточных ученных средневековья внесших вклад в мировую науку.
Абу Али, Ибн Сина-всемирно известный ученый-энциклопедист (Авицена). Бесценным его сочинением является «Медицинский канон». К вопросам теоретической арифметики посвятил отдельную часть своего крупного произведения «Данишнаме» («Книга знаний»). Четвертая глава произведения посвящена задачам, при решении которых используется циркуль и линейка.
Великий математик, астроном и географ Мухаммад Аль-Хорезми жил и творил в конце VIII-первой половине IX века (783–850 г). В этот период для решения проблем строительства, торговли, сельского хозяйства и ремесел начавшего свое становление феодального строя требовалось развивать такие науки, как астрономия, геодезия, география, математика и др. Аль-Хорезми явился основателем алгебры, арифметики, астрономии, географии, геодезии, разработал азбуку этих наук. По вопросам линейных квадратных и кубических уравнений прежде всего следует отметить знаменитое сочинение ал-Хорезми «Ал-китаб ал-мухтасар фи хисаб ал-джабри ва-л-мукабала» (Краткая книга об исчислении восполнении и противопоставления), которая в истории науки получило наиболее широкую популярность. Появление названий «алгебра» и «алгоритм», без которых современную математику нельзя представить, связаны именем ал-Хорезми.
Впервые в работе ал-Хорезми алгебра была представлена как наука об общих методах решения числовых линейных и квадратных уравнений. Второй его произведения алгебра была посвящена геометрии. В этой книги решаются задачи геометрическим путем. Уточняется неизвестная сторона квадрата. Определяются площади геометрических фигур. Он доказывает практическое значение геометрических задач. Он дает примеры нахождения объема предметов.
Другой ученый-энциклопедист Абу Наср аль-Фараби (870–950) классифицируя наук той эпохи, отмечает, что математика состоит из семи крупных разделов: арифметика, геометрия, оптика, астрономия, музыка, статика, искусные приемы и определяет предмет и содержание каждого из них.
Абу Наср аль-Фараби-учёный, которого называли «Восточным аристотелем» написал более 160 произведений. В его книге «Теория и классификация наук» говорится о том, что предмет геометрии состоит из теоретической и практической геометрии. Как сказал учёный, практическая геометрия используется в работе плотника, землемера, строителя и кузнецких дел. Это наука объясняет величину, размер, взаимное положение между геометрическими фигурами пишется в книге.
В исследованиях ученых средневекового Востока важное место занимает геометрические вопросы. Основные положения этой науки лежали на базе астрономических исследований того периода, и с развитием астрономии развивалась и геометрия. Например, в известной книге Абу Райхона Беруни (973–1048) «Китоб-ут-
тафхим», которая изложена в виде вопросов и ответов, отдельная глава отражает основные геометрические понятия. Например, в ответе 64-го вопроса, где «во внутри сферы, сколько фигур могут расположиться?», он объясняет, что их пять-куб (атом земли подобен кубу), икосаэдр (атом воды подобен икосаэдр), октаэдр (атом воздуха подобен октаэдру), тетраэдр (атом пламя подобен тетраэдру), и додекаэдр (атом мира подобен додокаэдру).
Одним из выдающихся астрономов, внесших огромный вклад в изучение вселенной, был великий узбекский учёный Мирзо Улугбек. В XV веке он построил в Самарканде одну из самых известных миру обсерваторий. Улугбек и его ученики изучали звёзды и следили за движением планет. Они составили каталог звёзд и таблицы движения планет, которые в течение долгого времени считались одними из самых точных в мире. В четвёртой части его произведения «Арифметика калити» (Мифтан-ул-ҳисоб) изложены задачи геометрии.
В чем же заключались особенности этой новой науки? Исходя из математических пространственных трех прямоугольных координатных осей Монж, создав начертательную геометрию, показал, что она дает возможность не только изображать строительные конструкции, но также решать чисто графическим путем и метрические задачи. Монж взял положение любой точки пространства с проекциями ее на плоскостях, образуемых попарно этими координатными осями. Учтя, что взаимное расположение проекций не изменяется от параллельного перенесения профильной плоскости, он показал, что в большинстве случаев можно получить нужный результат, не прибегая к помощи профильной плоскости проекций. В тех же случаях, когда решение пространственных задач облегчается пользованием такой плоскости, он делает это неявно, не связывая ее с определенным началом координат, а рассматривая ее как частный случай проектирующей плоскости.
Все стереометрические операции он выполняет в проекциях на две плоскости, связывая их между собою неизменным положением. Обе плоские проекции Монж размещает в одной плоскости, т. е. на одном листе чертежа, вращая вертикальную плоскость вокруг линии пересечения ее горизонтальной плоскостью проекций, т. е. вокруг оси ОХ. Таким образом, он ввел впервые «ось проекций» на плоскости чертежа, а самые проекции, вертикальную и горизонтальную, размещает так, что обе проекции любой точки изображаемой системы располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций. В этом случае расстояния проекций до осей и будут координатами точки.
Далее, анализируя производственные операции, Монж сводит их к элементарным абстрактным, располагая их в логической последовательности и заполняя пробелы. Таким образом, он создал научную систему, показав при этом, что из двухмерного чертежа можно вывести все те отношения, которые вытекают из формы и взаимного расположения в пространстве трех измерений. Он подвел также научную базу под те эмпирические правила, которые до него давались без теоретического обоснования.
Литература:
1. Четверухин Н. Ф. Начертательная геометрия. — М.: Высшая школа, 1963.
2. Монж Г. Начертательная геометрия. Комментарии и редакция Д. И. Каргина. — М.: Изд-во АН СССР, 1974.
3. Демьянов В. П. Геометрия и Марсельеза. — М.: Знание, 1986. — 254 с.
4. Ахадова М. А. Научные труды среднеазиатских учёных по математике. — Ташкент. 1983.
