Введение

Программный комплекс IDEAStatiCa это передовое программное обеспечение для структурного анализа и проектирования стальных соединений, узлов и железобетонных элементов. Используя метод конечных элементов IDEAStatiCa позволяет решать сложные инженерные задачи.

Программный комплекс IDEAStatiCa включает в себя два модуля по расчету элементов, это:

IDEAStatiCa connection — программное обеспечение для конструирования, расчета и проверки узлов стальных конструкций любой формы и сложности. В основе этой программы лежит уникальный метод конечных элементов для расчета, КМКЭ — компонентный метод, сочетающий точность расчета МКЭ и простоту разбивки модели на компоненты КМ. IDEAStatiCa connection за счет BIM связи с другими программными обеспечениями для расчетов и моделирования позволяет за короткое время импортировать, рассчитать и проанализировать работу узла в целом, все возможные напряженно-деформированные состояния, а также прочность болтов и сварных швов в соответствии с международными и РФ нормами.

IDEAStatiCa member — специализированный модуль программного комплекса для расчета, проверки и анализа устойчивости отдельных стальных элементов (балок, колонн, связей). Программа позволяет выполнять геометрически и физически нелинейный расчет, а также проверять прочность и общую устойчивость элементов с учетом их реальных условий закрепления, наличия ребер жесткости, отверстий или несовершенств.

Нелинейный расчет конструкций. Метод последовательных нагружений.

Нелинейный расчет узлов и конструкций в целом реализован в программе IDEAStatiCa member. Основные виды нелинейности различают следующие: физическая (нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями) и геометрическая (влияние деформаций на перемещения). Для стальных конструкций учет физической нелинейности необходим при оценке работы конструкции с учетом развития пластических шарниров, что позволяет выявить реальный запас прочности, превышающий расчеты по линейной теории. Учет геометрической нелинейности ведется при расчете деформированной схемы конструкции, когда нагрузки приложены к уже изогнутым элементам. Учет геометрической нелинейности крайне важен при определении критических нагрузок для конструкций, теряющих устойчивость (например, потеря местной устойчивости элементов или расчет на прогрессирующее обрушение).

Существуют различные группы методов нелинейного расчета, из них можно выделить две основные: метод последовательных нагружений (МПН) и метод последовательных приближений (МПИ). Далее будет более детально рассмотрен метод последовательных нагружений, который и заложен в основу многих программных комплексов при нелинейных расчетах.

К наиболее распространённым методам последовательного нагружения относится метод шагового нагружения. В данном методе заданная нагрузка F разбивается на доли ΔF и прикладывается поэтапно, где решение на каждом iм шаге (малые перемещения/деформации) служит начальным состоянием для следующего, аппроксимируя задачу линейной. На каждом шаге жесткость конструкции обновляется, что позволяет отслеживать изменения, такие как появление пластических деформаций, трещин или геометрических изменений. Итоговые усилия и перемещения определяются как сумма приращений, полученных на каждом iм шаге. На первом шаге нагружения жёсткость элемента равна начальной. Жесткость, используемая на iм шаге, принимается постоянной в рамках шага и определяется по усилиям, полученным на шаге i-1. Тогда перемещение в рассматриваемом элементе будет вычисляться по графику, приведенному на рис. 1:

Рис. 1. График последовательного нагружения

Где

Метод конечных элементов

В программе IDEAStatiCa, как и во всех других расчётных программах заключен принцип расчётов конструкций методом конечных элементов. Суть метода основывается на разбитие сложной конструкции на ряд простых конструкций для поиска напряжений и деформаций в них и конструкции в целом. На пример: сложная и длинная балка с переменным сечением, разбивается на ряд секторов или целые плиты перекрытий или фундаментов, которые разбиваются на сетку конечных элементов — четырехугольные или треугольные сектора. Деление на сектора происходит от вида конструкций, если рассчитывается сплошной элемент простой форма, то разбивка происходит на равные квадраты. Однако, если форма элемента сложная, имеются отверстия или зоны сопряжений и контакта с другими элементами, разбивка усложняется, происходит деление на сектора трапециевидной или треугольной формы. Для точного расчёта нужно стремиться к тому, чтобы сетка конечных элементов разбивалась на равные малые сектора. Так как данные места могут иметь нереалистичные геометрические характеристики, программа в данных местах может ошибочно вычислять неверное распределение сил, следовательно, от инженера-расчётчика требуется дополнительная проверка разбивки конечно-элементной сетки.

На примере простой балки можно рассмотреть математическую основу, которая заложена в расчётах метода конечных элементов.

Исходные данные: имеется балка длиной L , сечением H с модулем упругости E , к краевым узлам A и B которой приложена продольная нагрузка F , которая вызывает деформации x .

Примем, что усилия направленные вправо являются положительными и точки А и В являются закреплениями. Приложив нагрузку F к точке A мы получаем продольное перемещение u _A вправо. Узловая сила в точках А и В будет равна:

Аналогично, если приложить продольную силу к точке B мы получим следующую узловую нагрузку:

Данные случаи узловой нагрузки характерны, если левая часть равна нулю, а правая деформируется от нагрузки и наоборот. Однако если обе части не равны нулю, то уравнение узловой нагрузки выглядит следующим образом:

Сводим два уравнения в матричную форму

Следовательно, столбец 1 это узловые нагрузки, которые перемножаются на столбец 2 — это степени свободы узла. Следовательно, чтобы система деформировалось, требуется вычислить из матрицы ту нагрузку, которая соответствует той степени свободы, которая приводит систему в движение, после чего возникают деформации.

В целом можно выделить следующие пункты, по которым ведется расчет методом конечных элементов во многих программных комплексах:

Дискретизация: Разделение балки на конечное число линейных элементов (стержней) и узлов.

Задание свойств: Определение геометрических характеристик сечения (площадь, момент инерции) и материала (модуль Юнга).

Определение граничных условий: Задание закреплений (шарнир, жесткая заделка), ограничивающих перемещения узлов.

Формирование матрицы жесткости: Для каждого элемента составляется матрица, связывающая силы в узлах с перемещениями.

Сборка глобальной матрицы: Объединение матриц жесткости элементов в единую матрицу конструкции.

Решение системы уравнений: Расчет перемещений узлов, на основе которых определяются деформации и напряжения

Выполнение расчётов в программном комплексе IDEAStatiCa connection.

Для выполнения расчётов в IDEAStatiCa была разработана модель шарнирного узла крепления двутавровых балок на срезной фасонке, показанная на рис. 2. Уровень допустимой пластики задан в 1 %, Расчет будет вестись до максимальной сжимающей продольной нагрузки вдоль оси второстепенной балки.

Рис. 2. Модель узла в IDEAStatiCa connection

Предельная нагрузка на узел зафиксирована на значении в 111 кН., см. рис. 2. Программа IDEAStatiCa connection может проводить расчет на определение устойчивости, однако ее результатом является только величина коэффициента запаса устойчивости (КЗУ). Определение выхода из строя элементов узла программа ведет по достижению предельных напряжений пластинчатых элементов, либо по коэффициентам использования крепежных элементов (сварка и болты). В данном расчете самым нагруженным пластинчатым элементом является ребро главной балки, результат приведен на рис. 4. Зафиксированный показатель КЗУ в 4,53 может сигнализировать о том, что при заданной нагрузке может происходить потеря устойчивости отдельных элементов узла, поэтому необходимо провести отдельный расчет с учетом нелинейности.

Рис. 3. Результат расчета в IDEAStatiCa connection

Рис. 4. Напряжения в пластинчатых элементах по итогам расчета в IDEAStatiCa connection

Выполнение расчётов в программном комплексе IDEAStatiCa member.

Для расчета в IDEAStatiCa member необходимо моделировать как компоновочное решение конструкции, так и узлы закрепления всех элементов, изображение модели см. на рис. 5. Так как в расчете IDEAStatiCa connection проводится анализ только элементов узла, для примера расчета в IDEAStatiCa member приму, что узлы крепят балку пролетом в 3 м., закрепленную одинаковым узлом с двух сторон.

Рис. 5. Модель узла в IDEAStatiCa member

Приложив нагрузку на пролет балки таким образом, чтобы реакции были равны тем 111 кН, полученным как предельные в IDEAStatiCa connection, получаем, что конструкция не выдерживает таких нагрузок, как и было установлено ранее в расчете узла, слабым элементов соединения является ребро главной балки, однако при расчете с учетом физической и геометрической нелинейности напряжения в этом ребре уже составляют не 323,3 МПа, а 337,1 МПа, результаты приведены на рис. 6 и 7.

Итоговая нагрузка, при которой расчет будет выполняться полностью и ни один элемент узла не будет выходить из строя, составит 74,7 кН. (результат приведен на рис. 8), что составит:

Рис. 6. Результат расчета в IDEAStatiCa member

Рис. 7. Напряжения в пластинчатых элементах по итогам расчета в IDEAStatiCa connection

Вариация данного узла выбрана для примера именно потому, что в данном узле помимо прочностных характеристик крайне необходимо учет устойчивости, что и подтвердилось расчетом с учетом нелинейности.

Рис. 8. Результат перерасчета в IDEAStatiCa member

Выводы

– Использование программного комплекса IDEAStatiCa позволяет выполнять расчёты узлов и конструкций любой сложности.

– Используя конечно-элементные модели, расчёт которых учитывает нелинейность, можно получить более полную и точную картину деформаций и напряжений, возникающих в элементах и конструкциях в целом;

– Нелинейный расчет крайне необходим для конструкций, в которых возможна потеря местной и/или местной устойчивости, а также если необходимо учитывать несовершенства в конструкциях.

Литература:

1. Knowledge base GMNA Geometrically nonlinear analysis: https://www.ideastatica.com/support-center/geometrically-nonlinear-analysis
2. А. М. Наумов Применение метода последовательных нагружений при решении задач механики плоских стержней
3. База знаний ЛИРА СЕРВИС: https://rflira.ru/kb/106/2793/
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_конечных_элементов