Введение

Модель Таллока (contest success function) описывает конкуренцию, в которой важен не абсолютный объём затраченных ресурсов, а их соотношение у соперников. Участник может повысить вероятность успеха, если наращивает усилия, но решающим остаётся не сам по себе уровень активности, а преимущество относительно другой стороны. Поэтому эта модель хорошо подходит для анализа ситуаций, где есть ценный приз и издержки борьбы за него.

В экономике такой подход чаще всего используют для описания «борьбы за приз» при ограниченных ресурсах. В классической модели рент-сикинга — борьбы групп интересов за выгодные политические решения — он показывает, что затраты участников на конкуренцию могут быть высокими и социально неэффективными: ресурсы уходят не на создание новой стоимости, а на перераспределение существующей [4]. Позднее литература о contest-моделях подробно описала, как параметры конкурса влияют на равновесные усилия и интенсивность соперничества [1]. Близкая логика лежит и в основе моделей турниров на рынке труда: если вознаграждение зависит не от абсолютного результата, а от места в рейтинге, разрыв в призах напрямую влияет на стимулы работников [2]. В спортивной экономике этот же взгляд помогает объяснить, почему изменения правил, формата соревнования или относительной ценности отдельных игровых эпизодов могут менять стратегию участников и распределение усилий по времени [3].

В этой статье я предлагаю ещё одну область применения модели Таллока — анализ распределения активности футбольных команд по времени внутри матча. В футболе основное время матча длится 90 минут (два тайма по 45 минут), но из-за пауз (травмы, замены и т. д.) судья добавляет в конце тайма компенсированное время. Отрезок после отметки 90 минут обычно записывают как «90+» и именно он часто становится «финальным штурмом», когда команды пытаются либо удержать результат, либо спасти матч. В качестве естественного эксперимента я использую реформу учёта компенсированного времени: начиная с сезона 2023/24 в ведущих лигах судьи в среднем стали добавлять больше минут во втором тайме, поэтому период 90+ заметно удлинился. Это может менять поведение команд в концовке: когда добавлено всего несколько минут, решения чаще становятся более прямыми и рискованными, а когда времени больше, появляется возможность выстраивать давление более последовательно — дольше контролировать мяч, возвращать владение и повторно заходить в атаку.

Дальше я применяю эту логику к футбольному матчу. Реформу учёта компенсированного времени можно рассматривать как удлинение последнего, наиболее важного отрезка игры. Если команды распределяют ограниченные силы по всему матчу и не могут одинаково прибавлять в каждой минуте, то более длинный период после 90-й минуты должен смещать активность именно в пользу этой части матча. Такой сдвиг, вероятно, будет особенно заметен там, где одна удачная атака может изменить исход, — у проигрывающих команд и при минимальной разнице в счёте. Ниже я сначала формализую эту интуицию в модели, а затем проверяю её на данных ведущих европейских лиг.

Модель и предсказания

В этом разделе я формализую ту же интуицию в терминах стандартной модели Таллока (contest success function). Для моей задачи важно её простое свойство: успех определяется не абсолютным уровнем усилия, а его соотношением с усилием соперника. В футболе это удобно трактовать как борьбу за инициативу и опасные эпизоды. Если одна команда действует активнее, она чаще продвигает мяч, чаще закрепляется в финальной трети и в среднем получает больше возможностей создать момент. Но такая активность требует ресурсов: играть на максимуме весь матч невозможно, потому что усталость накапливается, а в концовке любое дополнительное усилие обычно обходится дороже.

Рассмотрим матч как набор периодов с длительностями (в минутах). В каждом периоде команда выбирает интенсивность атакующей активности . Под я понимаю «общую атакующую активность» в широком смысле: насколько команда готова продвигать мяч вперёд, поддерживать давление, принимать более рискованные решения и чаще доводить владения до опасных зон. В каждом периоде команды соревнуются за поток потенциально опасных ситуаций, и доля этого потока, которую «получает» команда i в периоде k, задаётся функцией Таллока:

Если команды действуют одинаково активно, то . Если активнее действует одна команда, её доля увеличивается. Параметр отражает, насколько сильно относительное преимущество в активности превращается в преимущество в «инициативе»: при более высоком разница в активности сильнее влияет на результат периода. Пусть «ёмкость» периода по возможностям пропорциональна его длительности:

Тогда ожидаемый вклад периода в итоговую «инициативу» команды можно описать величиной .

Ключевое отличие постановки в этой статье от более простых вариантов состоит в том, что ограничение действует на уровне всего матча, а не отдельно по периодам. Интенсивная игра в начале делает последние минуты дороже, потому что усталость накапливается. Это фиксируется общим расходом ресурса (энергии) по матчу:

где веса возрастают к концу игры,

то есть одинаковая «единица активности» в позднем периоде стоит дороже, чем в раннем. Усталость задаётся выпуклой функцией издержек от суммарного расхода ресурса; для наглядности я использую простую квадратичную форму с бесплатным запасом :

Эта спецификация нужна не для физиологической точности, а чтобы формально зафиксировать две интуиции: ресурсы ограничены на уровне всей игры, и перебор усилий становится всё дороже. Полезность команды можно записать как

Важное следствие этой логики состоит в том, что удлинение матча не обязано вести к росту активности в минуту. Если горизонт становится длиннее, команда вынуждена распределять ограниченный ресурс на большее число минут, и средняя интенсивность в минуту может снижаться. Поэтому центральный объект интереса здесь — не

«стало ли больше действий в конце вообще», а изменилось ли распределение активности внутри концовки.

Реформа учёта компенсированного времени трактуется как внешнее изменение правил, которое увеличивает длительность именно последнего отрезка второго тайма. В терминах модели это означает, что после реформы меняется только длительность последнего периода:

а значит увеличивается общая длительность матча . Интерпретационно последний период соответствует интервалу 90+ (компенсированное время второго тайма), а предпоследний — интервалу 75–90 минут основного времени. Реформа удлиняет именно 90+: «концовка» становится длиннее при неизменных базовых правилах игры. Из-за общего ресурсного ограничения удлинение матча создаёт компромисс: появляется больше минут, в которых поздняя активность может окупаться, но общий ресурс нельзя увеличить пропорционально, поэтому часть активности приходится переносить между периодами.

Отсюда следует основное предсказание: после реформы относительная атакующая активность в интервале 90+ должна вырасти по сравнению с интервалом 75–90. Под «относительной» я имею в виду сравнение двух отрезков внутри концовки: в данных это проявляется как рост разницы между интенсивностью действий в 90+ и в 75–90 после реформы. Интуиция проста: реформа делает последний отрезок длиннее, и у команды появляется больше времени, чтобы «дожимать» соперника именно после 90-й минуты; при ограниченных ресурсах оптимальная реакция состоит не в том, чтобы прибавить одинаково везде, а в том, чтобы сдвинуть часть активности в период, который стал важнее.

Для интерпретации неоднородностей важно учесть, что ценность поздней активности зависит от ситуации на табло. Когда команда проигрывает, дополнительные минуты в самом конце особенно важны: это дополнительное время, чтобы организовать давление и попытаться сравнять счёт. Когда разница в счёте минимальна, цена позднего эпизода высока для обеих сторон. Чтобы отразить это в модели, достаточно допустить, что ценность инициативы в последнем периоде зависит от состояния матча и выше в ситуациях высокой срочности, формально это можно записать как изменение веса последнего периода:

где выше для статуса «проигрывает» и для близкого счёта (разница в один мяч). Тогда удлинение последнего периода становится особенно ценным именно в таких состояниях. Это даёт два дополнительных предсказания. Перенос активности в пользу 90+ после реформы должен быть сильнее у проигрывающих команд, чем у команд, которых текущий счёт устраивает. Перенос активности в пользу 90+ после реформы должен быть сильнее в матчах с разницей в один мяч, чем в матчах с более крупной разницей.

Данные и показатели активности

В эмпирической части я использую матчи топ-5 европейских лиг и Лиги чемпионов за сезоны 2019/20–2024/25. Для каждого матча доступны поминутные записи игровых событий, поэтому можно точно определить, что делала команда в конкретный момент игры и при каком счёте это происходило. В дальнейшем я сосредотачиваюсь только на концовке второго тайма и сравниваю два отрезка: интервал 75–90 минут и компенсированное время после 90-й минуты.

Атакующую активность я измеряю четырьмя показателями. Удары по воротам отражают завершение атак. Прогрессивные передачи и входы в финальную треть показывают, насколько команда продвигает мяч к воротам соперника и закрепляется в опасных зонах. Кроссы, напротив, характеризуют более прямой способ доставки мяча в штрафную. Такое разделение важно, потому что реакция на более длинную концовку может проявляться не сразу в росте ударов, а сначала в том, как команда двигает мяч вперёд и поддерживает давление.

Ключевой технический вопрос здесь — что именно сравнивать. После реформы сам отрезок 90+ стал длиннее, поэтому простое сопоставление количества действий было бы некорректным. По этой причине я работаю не с абсолютным числом событий, а с их интенсивностью. Для каждого показателя учитывается экспозиция: сколько минут команда фактически провела в соответствующем отрезке концовки и в соответствующем состоянии счёта. Затем события переводятся в темп — например, в число действий на 15 минут. Благодаря этому сравнение между 75–90 и 90+ показывает изменение поведения команд, а не механический эффект более длинного компенсированного времени.

Эмпирическая стратегия

Задача эмпирического анализа здесь не сводится к тому, чтобы показать, что после реформы матчи стали длиннее. Важнее понять, изменилось ли поведение команд именно в самой концовке: стали ли они использовать компенсированное время второго тайма иначе, чем последние минуты основного времени.

Поэтому в центре анализа два отрезка — 75–90 минут и 90+. Ещё до реформы они не были одинаковыми: добавленное время и раньше часто проходило в более напряжённом темпе. Поэтому меня интересует усилился ли после реформы разрыв между этими интервалами в пользу 90+. Если да, это можно трактовать как перенос части активности в самый конец матча.

Все оценки читаются как процентное изменение интенсивности действий в 90+ относительно интервала 75–90. Помимо среднего эффекта, я отдельно рассматриваю две ситуации, где такой сдвиг должен быть особенно заметен: когда команда к концу матча проигрывает и когда счёт остаётся близким. В обоих случаях дополнительная минута потенциально имеет более высокую цену, потому что исход встречи всё ещё можно изменить.

Отдельно я оцениваю эффект для разных показателей атакующей игры. Это позволяет понять, на каком именно уровне проявляется адаптация к более длинной концовке: в том, как команды продвигают мяч и закрепляются у чужих ворот, или уже в том, как они завершают атаки ударами.

Результаты

Главный результат статьи состоит в том, что после реформы команды стали иначе распределять атакующую активность внутри концовки. В частности, после реформы команды стали активнее действовать именно в отрезке 90+ по сравнению с последними 15 минутами основного времени (75–90), и этот сдвиг лучше всего проявляется в показателях, связанных с продвижением мяча и созданием давления у чужих ворот. Если смотреть на пассовые метрики, то картина получается довольно ровной и устойчивой. Интенсивность прогрессивных передач в 90+ относительно 75–90 после реформы увеличивается примерно на 8 %. Почти такой же рост наблюдается для входов в финальную треть (около 7–8 %). Для кроссов эффект ещё сильнее — порядка 12 %. Простыми словами, «длинный 90+» сопровождается тем, что команды чаще доводят мяч до опасных зон и чаще доставляют его в штрафную именно в добавленное время. Это хорошо укладывается в интуицию модели: когда концовка становится длиннее, у команд появляется больше смысла поддерживать давление до самого конца, а не пытаться решить всё раньше.

На уровне ударов результат другой. Сам по себе отрезок 90+ и до реформы является пиковым по ударам: в добавленное время команды бьют существенно чаще, чем в 75–90. Однако дополнительного устойчивого роста ударов именно из-за реформы (то есть роста «сверх обычного пика») в базовой спецификации не видно. Важно правильно понять, что это означает. Это не значит, что команды «не реагируют» на реформу. Скорее реакция проявляется не в том, что они начинают немедленно чаще завершать атаки ударами, а в том, что они по-другому выстраивают давление: чаще продвигают мяч вперёд, чаще входят в финальную треть и чаще доставляют мяч в штрафную. Удары — наиболее «неровный» показатель: на него влияет не только интенсивность давления, но и то, как соперник защищается, насколько часто удаётся создать позицию под удар, насколько команды готовы завершать атаку при первом же полумоменте. Поэтому отсутствие чёткого эффекта по ударам не противоречит идее перераспределения усилий, а скорее указывает на то, что адаптация происходит на более ранних стадиях атаки.

Рис. 1. Базовые оценки эффекта реформы для основных атакующих метрик в 90+ относительно интервала 75–90

Дальше важно понять, кто именно сильнее использует реформу. Когда я отдельно выделяю статус команды по счёту, становится видно, что сдвиг в пользу 90+ особенно выражен у проигрывающих. Это естественно: проигрывающей стороне нужно отыгрываться, и каждая дополнительная минута в конце игры повышает её шанс довести атаку до опасной стадии. В данных это проявляется так, что у проигрывающих команд после реформы заметнее растут показатели продвижения мяча и давления в 90+. При этом даже здесь нет устойчивого скачка по ударам: проигрывающая команда, по-видимому, дольше держит соперника под давлением, чаще возвращает мяч в опасные зоны и больше нагружает штрафную, но конверсия этого давления в дополнительные удары остаётся менее стабильной величиной.

Похожая логика работает и для близкого счёта. В матчах, где разница минимальна, эффекты реформы по пассовым метрикам усиливаются: перенос активности в пользу 90+ выражен сильнее, чем в ситуациях с более комфортным счётом. Особенно ярко это видно по кроссам: команды в самом конце чаще переходят к прямой доставке мяча в штрафную, то есть используют наиболее «простую» и массовую технологию давления, когда времени мало, а цена эпизода высока. По ударам и здесь нет такого же устойчивого усиления, что снова говорит в пользу тактической интерпретации: команды перестраивают структуру давления и способы доведения мяча до опасных зон, но это не обязательно превращается в пропорциональный рост числа ударов.

Рис. 2. Гетерогенность эффекта реформы по текущему статусу команды: прогрессивные передачи, входы в финальную треть, кроссы и удары

В целом все результаты складываются в одну связную картину. Реформа увеличила длительность последнего периода матча, и команды стали использовать этот отрезок активнее относительно 75–90. Сдвиг наиболее заметен там, где дополнительная минута в конце особенно важна: у проигрывающих и при близком счёте. Это хорошо соответствует интуиции модели: при ограниченных ресурсах команда не может просто «прибавить везде», поэтому она выбирает, когда именно выгоднее тратить усилия. Удлинение 90+ делает поздние усилия более оправданными, и в данных это проявляется прежде всего как перераспределение атакующего давления в пользу компенсированного времени, а не как механический рост числа ударов.

Заключение

В этой статье я показал, что модель Таллока можно использовать для анализа поведения команд внутри спортивной игры. В футболе эта идея особенно естественна: команды конкурируют за инициативу и опасные моменты, а решающим оказывается не абсолютный объём активности, а то, насколько она выше или ниже активности соперника в конкретный отрезок времени. При этом у команд есть жёсткое ограничение по ресурсам: играть на максимуме весь матч невозможно, поэтому усилия приходится распределять по времени.

Реформа учёта компенсированного времени даёт редкую возможность проверить такую логику на данных. Сама игра не изменилась, но изменилась длительность концовки: в среднем стало больше минут после 90-й, то есть дольше длится именно тот период, где цена одной удачной атаки особенно высока. С точки зрения модели это означает, что поздние усилия «окупаются» на более длинном горизонте, а значит, у команд появляется стимул перестроить концовку и сместить часть давления в добавленные минуты.

Эмпирические результаты подтверждают это предсказание для метрик, которые отражают построение давления. После реформы относительная интенсивность прогрессивных передач, входов в финальную треть и кроссов в 90+ заметно выросла по сравнению с интервалом 75–90. Иными словами, команды стали активнее продвигать мяч к воротам и чаще доставлять его в опасные зоны именно в добавленные минуты. При этом для ударов устойчивого эффекта не выявляется: хотя 90+ и без реформы является «пиковым» отрезком по ударам, после реформы разрыв между 90+ и 75–90 по ударам статистически существенно не меняется. Такой результат хорошо согласуется с интерпретацией модели: адаптация проявляется прежде всего в том, как команды организуют давление и доводят мяч до опасных зон, а не в механическом увеличении числа финальных попыток. Это также может означать, что дополнительное время позволяет дольше «держать атаку живой» и повышать вероятность хорошего момента, но не обязательно увеличивает количество ударов как таковых.

Дополнительные разрезы показывают, что общий эффект распределён по игровым ситуациям неравномерно. У проигрывающих команд смещение активности в 90+ заметнее, и это выглядит вполне естественно: для них добавленные минуты — это дополнительное время на попытку отыграться. Похожая картина наблюдается и в матчах с минимальной разницей в счёте, где один поздний эпизод по-прежнему может изменить исход встречи.

Если собрать результаты вместе, то видно, что реформа изменила саму логику концовки. Реакция команд проявилась не столько в росте числа ударов, сколько в более длительном и организованном давлении после 90-й минуты: команды чаще продвигают мяч вперёд, чаще закрепляются у чужих ворот и дольше удерживают соперника под нагрузкой. Иначе говоря, более длинный 90+ повлиял не только на продолжительность игры, но и на то, как именно команды распоряжаются последними минутами.

Литература:

1. Konrad, K. A. Strategy and dynamics in contests / K. A. Konrad. — Oxford: Oxford University Press, 2009. — 215 с.
2. Lazear, E. P. Rank-order tournaments as optimum labor contracts / E. P. Lazear, S. Rosen // Journal of Political Economy. — 1981. — Т. 89, № 5. — С. 841–864.
3. Szymanski, S. The economic design of sporting contests / S. Szymanski // Journal of Economic Literature. — 2003. — Т. 41, № 4. — С. 1137–1187.
4. Tullock, G. Efficient rent seeking / G. Tullock // Toward a theory of the rent-seeking society / ed. by J. M. Buchanan, R. D. Tollison, G. Tullock. — College Station: Texas A&M University Press, 1980. — С. 97–112.