Работа посвящена распространению результатов исследований сильных средних отклонений операторов Фурье на случай, когда в качестве агрегатов приближения выступают операторы Валле Пуссена.
1. В теории рядов Фурье хорошо известно, что 
почти всюду на 
выполняется соотношение 
где 
— частные суммы Фурье функции 
, 
при 
.
Харди и Литтлвуд поставили вопрос: будет ли выполняться более общее соотношение
(1)
Если соотношение (1) выполнено, то говорят, что ряд Фурье функции является сильно суммируемым с показателем 
.
Исследованию сформулированого вопроса для сумм и операторов Фурье на классах 
-интегралов периодических функций и классах 
-производных локально интегрируемых функций были посвящены работы [1, 2].
Мы обобщим эти исследования на случай классов -интегралов локально интегрируемых функций когда аппаратом аппроксимации выступают операторы Валле Пуссена.
Сначала приведем определение классов Степанца (см. [3]).
Обозначим через 
множество непрерывных при 
функций 
, которые удовлетворяют условия: 1) 
возрастает на 
2) выпукла вниз на 
и 
3) производная 
имеет ограниченную вариацию на 
Подмножество функций 
для которых 
обозначают 
Множество функций которые удовлетворяют лишь условию 2) обозначают 
Для пары 
определим функцию 
где 
и 
— четное и нечетное продолжения функций 
соответственно.
Пусть 
— множество функций 
которые определены на действительной оси и имеют конечную норму 
, 
Тогда через 
будем обозначать подмножество непрерывных функций 
которые для всех 
можно представить в виде следующего равенства:
(2)
где 
, интеграл понимаем как границу по симметричным расширяющимся промежуткам, 
, т. е., 
,
(3)
Если 
, 
, то преобразование 
суммируемо на действительной оси (см., например, [4]).
Следуя А. И. Степанцу [5], функцию 
в изображении (2) называют 
производной функции 
и обозначают 
.
Для приближения функций из классов будем использовать операторы Валле Пуссена
(4)
где 
, а 
преобразование вида (3) функции 
в которой
(5)
Такие операторы рассматривались А. И. Степанцом в работах [3, 4, 6], где показано, что при определенных условиях 
принадлежат к множеству 
целых функций экспоненциального типа 
, а в периодическом случае, при натуральных 
и 
операторы совпадают с суммами Валле Пуссена.
Далее, следуя [4], из множества выделим подмножества 
и 
. Каждой функции 
сопоставим пару функций 
и 
Тогда: 
где 
— некоторые постоянные, которые, возможно, зависят от функции 
.
Аппроксимативные свойства операторов Валле Пуссена в нашей работе характеризуются функционалами
в которых 
— некоторая неотрицательная непрерывная при всех 
функция.
Положим: 
; 
; 
и 
.
В принятых обозначениях имеют место утверждения.
Теорема 1.Пусть 
, 
и такие,что найдутся константы 
и для которых выполняется условие
(6)
Числа 
удовлетворяют условию: 
Пусть, далее, — произвольное положительное число и функция такова, что произведение 
не возрастает
Тогда, если 
то для произвольных 
выполняется неравенство
(7)
в котором 
— величина, не зависящая от 
и 
в качестве величины 
может выступать любая из функций 
Теорема 2.Пусть 
числа и 
выбраны так, что 
, 
а функция такова, что произведение 
где 
не возрастает
Тогда, если то для произвольных выполняется неравенство
(8)
в котором — величина не зависящая от и
Замечание. В случае 
и 
(т. е., для классов 
) теоремы 1 и 2 получены А. И. Степанцом и Н. Л. Пачулиа [2]. Заметим, что в аналоге теоремы 2 рассматривается лишь случай 
Для сумм Фурье в периодическом случае аналогичная задача была решена А. И. Степанцом.
2. Доказательство теорем начнем с получения некоторых вспомогательных утверждений. Пусть 
Величину 
рассмотрим в двух частных случаях, в зависимости от скорости следования к нулю пары функций .
Лемма 1.Пусть числа и 
выбраны так, что 
, постоянная 
.Тогда 
в каждой точке
(9)
где 
— функция из множества 
для которой 
Лемма 2.Пусть 
и выполнено условие (6), числа 
такие, что 
Функции 
,
Тогда, если то 
и действительных чисел
(10)
где 
в роли функции 
может выступать любая из функций 
, — функция из для которой 
, и 
(11)
3. Пусть и 
(12)
Следующим шагом в доказательстве теорем 1 и 2 будет такое утверждение.
Лемма 3.Пусть и выполнено условие (6), числа выбираются так, что 
, .
Тогда, если то для любых 
(13)
Если же числа и 
избраны так, что , постоянная , то 
и
(14)
В соотношениях (13) и (14) — величина, которая равномерно ограничена по 
и .
Доказательство. Из неравенства Гельдера следует, что величина 
не убывает по параметру , поэтому неравенства (13) и (14) достаточно доказать лишь при 
Сначала докажем неравенство (13).
Используя равенство (10) и неравенство Минковского, получим
(15)
Поскольку функция 
не возрастает, то
(16)
Перейдем к получению оценки величины 
Отметим, что
Применяя неравенство Минковского, получим
(17)
Далее,
Поскольку, как было установлено в работе [8, с. 239] (соотношение (14.21)),
(18)
то
(19)
Для оценки интеграла 
применим неравенство Хаусдорфа-Юнга:
С этой целью положим 
Тогда
Поскольку , то
(20)
А потому 
Итак,
(21)
Сравнивая соотношения (12) и (15) — (21) приходим к оценке (13).
Перейдем к доказательству неравенства (14).
Используя соотношение (9) из леммы 1 и неравенство Минковского, согласно равенства (12), получим
(22)
Поскольку функция не возрастает, то
(23)
Далее мы воспользуемся соотношением (5.5.4) из работы [7, с. 236], при доказательстве которого периодичность функции и включение 
не использовались, а потому
(24)
Принимая во внимание соотношения (24), имеем
(25)
Остается установить аналогичную оценку и для интеграла 
При каждых фиксированных и положим
Применяя неравенство Хаусдорфа-Юнга получим
(26)
При нахождении этого неравенства мы воспользовались также условием 
Из соотношений (22) — (23) и (25) — (26) следует неравенство (14).
Лемма 4 окончательно доказана.
4. Перейдем непосредственно к доказательству теоремы 1.
Пусть 
Тогда
Выберем числа 
исходя из условия 
Согласно лемме 3, имеем
Поэтому
(27)
Поскольку 
, то, на основании оценки (18), 
Следовательно
(28)
Функция не возрастает и 
. Соответственно, 
Поэтому, опираясь на соотношение (28), получаем искомую оценку:
(29)
Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2.
Пусть 
тогда, согласно лемме 1,
(30)
где 
и такие, что 
В монографии [7, с. 391] для натуральных значений получена оценка
(31)
которая остается верной и в нашем случае 
, поскольку при ее доказательстве не использовался тот факт, что 
.
Обозначим: 
Согласно условию, числа 
не возрастают. Поэтому, учитывая (31), получим
Применяя эту оценку к неравенству (30), находим
Таким образом, теорема 2 окончательно доказана.
Литература:
1. Степанец А. И. Скорость сходимости группы отклонений на множествах 
-интегралов // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 12. — С. 1673–1693.
2. Степанец А. И., Пачулиа Н. Л. Сильные средние уклонения операторов Фурье // Укр. мат. журн. — 1990. — 42, № 9. — С. 1225–1231.
3. Stepanets A. I., Wang Kunyang, Zhang Xirong. Approximation of locally integrable function on the real line // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 11. — С. 1549–1561.
4. Степанец А. И. Приближение в пространствах локально интегрируемых функций // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 5. — С. 597–625.
5. Степанец А. И. Приближение интегралов периодических функций суммами Фурье. — Киев, 1996. — 70 с. — (Препринт / АН Украины. Ин-т математики; 96.11).
6. Степанец А. И. Приближение операторами Фурье функций, заданных на действительной оси // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, № 2. — С. 198–209.
7. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.1. — 426 с.
8. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.2. — 468 с.
