Регуляризация решения неклассического интегрального уравнения со условиями Липшица



Модели многих задачи прикладного характера сводятся к уравнением [2], среди которых неклассические уравнения представляют особые интересы и мало изучены. В данной работе построено регуляризирующее уравнение для неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода в пространстве непрерывных функций с условием Липшица [6].

Models of many problems of applied nature are reduced to the equation [2], including non-classical equations of special interest and are poorly understood. In this paper we built a regularizing equation for non-classical Volterra integral equation of type I in the space of continuous functions with Lipchitz condition [6].

Расмотрим интегральное уравнение

(1)

где при всех и известные фунции в области и на отрезке соответственно

Уравнение вида (1) возникает при решении многих прикладных задач [2], [4]. Однако, уравнения такого типа значительно менее исследованы, чем классические уравнения Вольтерра I рода.

В данной работе в предположении следуя по методу предположенному М. Иманалиевым и А. Асановым [1] строится регуляризация (1) в ппространстве непрерывных функций.

Следуя по методике предложенный в [1]- [4] и развитат в [5] строим регуляризация уравнение для (1).

Лемма 1. (Обобщенная формула Дирихле). Пусть cтрого возрастающая функция на при всех Тогда для любого

где обратная функция к

Доказательство. Доказательство вытекает из следующего графика:

Предполагаем выполнение следующих условий

10 при почти всех

20 и при всех

30 Функция удовлетворяет условию Липщица по т. е. и при всех - const.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение

(2)

где, - решение уравнения (1).

Его решение будем искать в виде (3)

Тогда из (2) имеем .

Последнее перепишем в следующем виде

(4)

Используя резольвенту ядра из (4) получим

Из последнего переходим

(5)

Применим обобщенную формулу Дирихле и преобразуем двойные интегралы в (5):

(6)

(7)

(8)

(9)

В силу (6)-(9) уравнение (5) примет вид

(10)

Введем обозначения

(11)

(12)

(13)

(14)

Учитывая обозначения (11)-(14) уравнение (10) запишем в следующем виде

(15)

Далее нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2. Пусть выполняются условия 10- 30 и функции и определены формулами (11), (12) и (13) соответственно. Тогда справедливы следующие оценки:

1) (16)

где

2)(17)

3)(18)

Доказательство. 1) Учитывая (11) и сделав подстановку имеем

2) Учитывая условия и , из (12) получим

Отсюда, интегрируя по частям, имеем

3) Учитывая условия 20 и 30, интегрируя по частям, из (13) имеем

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть выполняются условия 20 и определена по формуле (14). Тогда:

Если то

(19)

где

Доказательство: Пусть Тогда из (14) имеем

(20)

Если то

(21)

Из оценки (20) и (21) вытекает оценка (19).

Лемма 3 доказана.

Теорема 1. Пусть выполняются условия 10–30 и где Тогда: если уравнение (1) имеет решение то решение уравнения (2) при сходится по норме к решению . При этом справедлива оценка

(22)

где

Доказательство. В силу оценки (16), (17), (18) из уравнения (15), имеем

Отсюда имеем

(23)

Применяя неравенство Гронуолла-Беллмана, из (23) имеем

Отсюда вытекает

(24)

В силу оценки (19), из (24) получим требуемые оценки (22). Теорема 1 доказана.

Литература:

1. Лавреньтев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода //ДАН. 1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.
2. Апарцин А.С. Неклассические упавнения Вольтера I рода. Теория и численные методы.
3. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. –М.: Наука 198-350 с.
4. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // ДАН 1989. Т. 309. № 5. С. 1052-1055.
5. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений третьего рода // ДАН 2007. Т. 415. № 1. С. 14-17.
6. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений первого рода //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.-Фрунзе: Илим 1988,-вып.21-С.3-38.
7. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. Регуляризация и единственность решения неклассического интегрального уравнения с условием Липшица// Спец. выпуск, Вестник КНУ 2011. стр. 108-122.
8. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. О решении неклассического интегрального уравнения I рода в пространстве непрерывных функции// Вестник ОшГУ-3 2012. стр. 48-54.
9. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. Об одном классе неклассического интегрального уравнения вольтерра I рода// Вестник ОшГУ-3 202. стр. 83-88.