Моделирование линейного асинхронного двигателя с укладкой обмотки индуктора (Z1 = 6) через спинку ярма

В работе [4] рассматривался линейный асинхронный двигатель (ЛАД) с числом пазов в индукторе Z₁ = 12 и намоткой обмотки через ярмо. В данной статье объектом рассмотрения является линейный асинхронный двигатель с числом пазов индуктора равным шести (Z₁ = 6), математическая модель которого реализована в MATLAB [6]. Магнитная система под набегающим и сбегающим краями в шунтирующих зонах ЛАД осталась такой же, как в работе [1]. Асинхронные двигатели с различными способами укладки обмотки статора [1]…[5] необходимы для дальнейших работ, связанных с питанием двигателя от многообразных источников несинусоидального напряжения. Данная работа адресована студентам младших курсов, поэтому из методических целей представлена без сокращений.

На рис.1,а показан ЛАД с одной парой полюсов (2р = 2, Z₁ = 6) и укладкой обмотки через спинку ярма статора. На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения. Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

 – контурные магнитные потоки;

 – магнитные сопротивления воздушных участков;

 – магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 – М.Д.С. тока ротора в стержне ();

– в шунтирующих зонах.

Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

.

(1)

Рис. 1. а) Линейный асинхронный двигатель (2р = 2, Z₁ = 6); б) Магнитная схема замещения

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

(2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где      n – номер зубцового деления;

k – номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

(3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

(4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые четырнадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Остальные шесть (s₁₅, … , s₂₀) будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки. Матрица-столбец Х сформирована из первых четырнадцати элементов, соответствующие потокам Ф₁, Ф₂, … , Ф₁₄, а остальные с 15 по 20 – токам статорной обмотки i^s₁, … , i^s₆. Общий вид матриц A, X и S при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов статора (индуктора) Z₁ = 6 приведен на рис.3.

Введем следующие обозначения:

-                   Магнитные сопротивления в шунтирующих зонах:

R₁ = R₂ = R₁₄ = R₁₅ = 500∙R_δ;

R₃ = R₁₃ = 50∙R_δ;

R₄ = R₁₂ = 5∙R_δ.

-                   Магнитные сопротивления в индукторной зоне:

R₅ = R₆ = … = R₁₁ = R_δ.

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:

Матрица А

Х

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

a1,1

a1,2

a1,3

×

x1 = Ф1

=

s1

2

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

x2 = Ф2

s2

3

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

x3 = Ф3

s3

4

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

a4,15

x4 = Ф4

s4

5

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

a5,15

a5,16

x5 = Ф5

s5

6

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

a6,15

a6,16

a6,17

x6 = Ф6

s6

7

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

a7,16

a7,17

a7,18

x7 = Ф7

s7

8

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

a8,17

a8,18

a8,19

x8 = Ф8

s8

9

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

a9,18

a9,19

a9,20

x9 = Ф9

s9

10

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

a10,19

a10,20

x10 = Ф10

s10

11

a11,9

a11,10

a11,11

a11,12

a11,13

a11,20

x11 = Ф11

s11

12

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

a12,14

x12 = Ф12

s12

13

a13,11

a13,12

a13,13

a13,14

x13 = Ф13

s13

14

a14,12

a14,13

a14,14

x14 = Ф14

s14

15

a15,5

a15,15

x15 = i1S

s15

16

a16,6

a16,16

x16 = i2S

s16

17

a17,7

a17,17

x17 = i3S

s17

18

a18,8

a18,18

x18 = i4S

s18

19

a19,9

a19,19

x19 = i5S

s19

20

a20,10

a20,20

x20 = i6S

s20

Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на токи i₁, … , i₆ матрицы Х:

-                   Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

Уравнение (4) позволит определить для первых четырнадцати строк элементы матрицы А и с первый по четырнадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

Запишем элементы матрицы А:

;   ;  .

В правой части сформирован элемент  матрицы-столбца S:

Примечание: вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции     n = … определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.

При n = 1, как было показано выше, определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.

n = 2.

; ; ;  .

n = 3.

; ; ; ; 

n = 4.

; ; ; ;  ;  

.

n = 5.

; ; ; ;  ;  ; 

n = 6.

; ; ; ;  ;  ;  ; 

n = 7.

; ; ; ;  ;  ;  ; 

n = 8.

; ; ; ;  ;  ;  ; 

n = 9.

; ; ; ;  ;  ;  ; 

n = 10.

; ; ; ;  ;  ; .

n = 11.

; ; ; ;  ;  .

n = 12.

; ; ; ; .

n = 13.

; ; ; .

n = 14.

; ;

Остальные элементы матрицы А (для строк n = 15, … , 20) и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора [2].

В данной работе принято отдельное управление напряжением обмотки каждого паза  (Z₁ = 6), следовательно, необходимо задать шесть напряжений. В качестве одного из вариантов примем синусоидальные напряжения со сдвигом на π/3:

                              

                    

Рассмотрим баланс напряжений для первой обмотки.

,

где       – число витков паза (обмотки);

 – сопротивление обмотки, проходящей через спинку ярма;

 – индуктивность обмотки первого паза.

Выразим производные через конечные разности:

;         .

Тогда после подстановки получим:

.

Преобразуем выражение к виду:

.

Обозначим:

;       .

Тогда для элементов пятнадцатой строки матрицы А и пятнадцатого элемента матрицы-столбца S (n = 15):

.

Отсюда элементы матрицы А: ; .

Пятнадцатый элемент  матрицы-столбца S:

.

Аналогично для  n = 16, … , 20 запишем:

n = 16.          .

;  

n = 17.          .

  

n = 18.          .

  

n = 19.          .

  

n = 20.          .

  

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MATLAB:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

B4

C5

D2

2

E4

B5

C6

D1

3

-D3

E5

B6

C7

D

4

-D2

E6

B7

C

D

T

5

-D1

E7

B

C

D

Y

T

6

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

7

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

8

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

9

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

10

-D

E

B

C1

D1

-T

Y

11

-D

E

B1

C2

D2

-T

12

-D

E1

B2

C3

D3

13

-D1

E2

B3

C4

14

-D2

E3

B4

15

UA

KS

16

UA

KS

17

UA

KS

18

UA

KS

19

UA

KS

20

UA

KS

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:

X=A^-1·S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…14, определяем токи в роторе:

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

                                                                         

                                                                   

                       

      

Суммарное усилие: .

Скорость в k-й момент времени:

Математическая модель линейного асинхронного двигателя реализована в программном пакете MATLAB методом Гаусса-Жордана. Ниже приведен пример расчета.

   

   

        

               

Временные зависимости скорости и электромагнитного усилия  линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска, полученные на математической модели, представлены на рис.4.

Рис. 4. Результат моделирования линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска

Литература:

1.         Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А., Иваницкий С.В., Резин М.Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. – 1982. – №10. – С. 54–57.

2.         Емельянов А.А., Богатов Е.А., Клишин А.В., Медведев А.В., Симонович В.Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. – 2010. – №5. – С.14–22.

3.         Емельянов А.А., Медведев А.В., Богатов Е.А., Кобзев А.В., Бочкарев Ю.П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. – 2013. – №3. – С. 129-143.

4.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Бесклеткин В.В., Козлов А. М. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z₁ = 12) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №7. – С. 12-27.

5.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Габзалилов Э.Ф., Авдеев А.С. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z₁ = 6) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №6. – С. 1-11.

6.         Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.