Данная работа является модификацией статьи 
. Магнитопроводы индуктора и подвижного элемента принимаются такими же, как и в указанной работе. Важным отличием является использование нулевого провода в обмотке индуктора, питаемого от синусоидального трехфазного напряжения. Наличие нулевого провода позволит построить корректную математическую модель системы «АИН ШИМ – ЛАД», которую представим в одной из следующих статей. Несимметрия магнитопровода вызовет несимметрию индуктивных сопротивлений фаз обмоток, индуктора и, следовательно, несимметрию токов по фазам и появлению тока в нулевом проводе. В структуре матриц произойдут существенные изменения в сравнении с , что будет полезным при подготовке студентов к исследовательской работе. Данная работа адресована студентам, поэтому дана без сокращений.
Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.
Баланс магнитных напряжений магнитной цепи
Рис. 1. а) Линейный асинхронный двигатель (2р = 2, Z1 = 6); б) Магнитная схема замещения
– контурные магнитные потоки;
– магнитные сопротивления воздушных участков;
– магнитодвижущая сила, созданная статорным током 
, протекающим по всем проводникам паза (
);
– М.Д.С. тока ротора в стержне (
);
– в шунтирующих зонах.
Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:
.
Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:
|
|
(1) |
.Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора
|
|
(2) |
Выразим производные во времени через конечные разности:
,
где n – номер зубцового деления;
k – номер шага разбиения по времени.
В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным 
и в пределах «k» интервала считается постоянным.
Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:
.
С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:
|
|
(3) |
Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:
|
|
(4) |
Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые четырнадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Элементы 15, 16 и 17 строк матрицы А и соответствующие элементы s15, s16 и s17 будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки.
Наконец, последние элементы матриц А и S определятся из баланса токов в трехфазной обмотке соединенной в звезду с нулевым проводом. Матрица-столбец Х сформирована из первых четырнадцати элементов, соответствующих потокам Ф1, … , Ф14, а остальные – токам статорной обмотки iАs, iСs, iВs и i0s.
Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов индуктора (статора) Z1 = 6 приведен на рис.3.
Введем следующие обозначения:
- Магнитные сопротивления в шунтирующих зонах:
R1 = R2 = R14 = R15 = 500∙Rδ;
R3 = R13 = 50∙Rδ;
R4 = R12 = 5∙Rδ.
- Магнитные сопротивления в индукторной зоне:
R5 = R6 = … = R11 = Rδ.
- Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:
|
Матрица А |
Х |
S |
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
1 |
a1,1 |
a1,2 |
a1,3 |
× |
x1 = Ф1 |
= |
s1 |
|||||||||||
|
2 |
a2,1 |
a2,2 |
a2,3 |
a2,4 |
x2 = Ф2 |
s2 |
||||||||||||
|
3 |
a3,1 |
a3,2 |
a3,3 |
a3,4 |
a3,5 |
x3 = Ф3 |
s3 |
|||||||||||
|
4 |
a4,2 |
a4,3 |
a4,4 |
a4,5 |
a4,6 |
a4,15 |
x4 = Ф4 |
s4 |
||||||||||
|
5 |
a5,3 |
a5,4 |
a5,5 |
a5,6 |
a5,7 |
a5,15 |
a5,16 |
x5 = Ф5 |
s5 |
|||||||||
|
6 |
a6,4 |
a6,5 |
a6,6 |
a6,7 |
a6,8 |
a6,15 |
a6,16 |
a6,17 |
x6 = Ф6 |
s6 |
||||||||
|
7 |
a7,5 |
a7,6 |
a7,7 |
a7,8 |
a7,9 |
a7,15 |
a7,16 |
a7,17 |
x7 = Ф7 |
s7 |
||||||||
|
8 |
a8,6 |
a8,7 |
a8,8 |
a8,9 |
a8,10 |
a8,15 |
a8,16 |
a8,17 |
x8 = Ф8 |
s8 |
||||||||
|
9 |
a9,7 |
a9,8 |
a9,9 |
a9,10 |
a9,11 |
a9,15 |
a9,16 |
a9,17 |
x9 = Ф9 |
s9 |
||||||||
|
10 |
a10,8 |
a10,9 |
a10,10 |
a10,11 |
a10,12 |
a10,16 |
a10,17 |
x10 = Ф10 |
s10 |
|||||||||
|
11 |
a11,9 |
a11,10 |
a11,11 |
a11,12 |
a11,13 |
a11,17 |
x11 = Ф11 |
s11 |
||||||||||
|
12 |
a12,10 |
a12,11 |
a12,12 |
a12,13 |
a12,14 |
x12 = Ф12 |
s12 |
|||||||||||
|
13 |
a13,11 |
a13,12 |
a13,13 |
a13,14 |
x13 = Ф13 |
s13 |
||||||||||||
|
14 |
a14,12 |
a14,13 |
a14,14 |
x14 = Ф14 |
s14 |
|||||||||||||
|
15 |
a15,5 |
a15,8 |
a15,15 |
a15,17 |
x15 = iАS |
s15 |
||||||||||||
|
16 |
a16,7 |
a16,10 |
a16,16 |
a16,17 |
x16 = iСS |
s16 |
||||||||||||
|
17 |
a17,6 |
a17,9 |
a17,15 |
a17,16 |
a17,17 |
x17 = iВS |
s17 |
|||||||||||
|
18 |
a18,15 |
a18,16 |
a18,17 |
a18,18 |
x18 = i0S |
s18 |
||||||||||||
Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.
- Элементы матрицы А, перемножаемые на токи матрицы Х:
- Элементы матрицы-столбца свободных членов S:
Уравнение (4) позволит определить для первых четырнадцати строк элементы матрицы А и с первый по четырнадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:
n = 1.
Запишем элементы матрицы А:
; 
; 
.
В правой части сформирован элемент 
матрицы-столбца S:
Примечание: вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции 
определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.
При n = 1, как было показано выше, определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.
n = 2.
; 
; 
; 
.
n = 3.
; 
; 
; 
; 
n = 4.
; 
; 
; 
; 
; 
.
Примечание: при подстановке в уравнение (4) n = 5, мы увидим в соответствии с рис. 1, что войдет ток iСS с отрицательным знаком, в то же время в матрице-столбце Хнет знака «–» , поэтому его необходимо учесть в соответствующем элементе матрицы А.
Аналогично для других фаз, в концах обмоток x, y, z условно принимаем знак «–» и этот знак вводим в соответствующие элементы матрицы А.
n = 5.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
n = 6.
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
n = 7.
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
n = 8.
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
n = 9.
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
n = 10.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
n = 11.
; 
; 
; 
; 
; 
.
n = 12.
; 
; 
; 
; 
.
n = 13.
; 
; 
; 
.
n = 14.
; 
; 
Элементы строк 15 и 16 и 17 матрицы А и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора.
|
|
(5) |
где 
(6)
С учетом шага по времени ∆t в k-ый момент времени:
(7)
n = 15.
Выразим производные тока 
, потоков 
и 
через конечные разности:
Обозначим 
Аналогично для строк 16 и 17:
n = 16.
n = 17.
n = 18.
Наконец, сумма токов определяет элементы восемнадцатой строки матрицы А и элемент 
матрицы-столбца S.
Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MATLAB (рис.4):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
1 |
B4 |
C5 |
D2 |
|||||||||||||||
|
2 |
E4 |
B5 |
C6 |
D1 |
||||||||||||||
|
3 |
-D3 |
E5 |
B6 |
C7 |
D |
|||||||||||||
|
4 |
-D2 |
E6 |
B7 |
C |
D |
T |
||||||||||||
|
5 |
-D1 |
E7 |
B |
C |
D |
Y |
-T |
|||||||||||
|
6 |
-D |
E |
B |
C |
D |
-T |
-Y |
T |
||||||||||
|
7 |
-D |
E |
B |
C |
D |
-T |
T |
Y |
||||||||||
|
8 |
-D |
E |
B |
C |
D |
-Y |
T |
-T |
||||||||||
|
9 |
-D |
E |
B |
C |
D |
T |
Y |
-T |
||||||||||
|
10 |
-D |
E |
B |
C1 |
D1 |
-T |
-Y |
|||||||||||
|
11 |
-D |
E |
B1 |
C2 |
D2 |
T |
||||||||||||
|
12 |
-D |
E1 |
B2 |
C3 |
D3 |
|||||||||||||
|
13 |
-D1 |
E2 |
B3 |
C4 |
||||||||||||||
|
14 |
-D2 |
E3 |
B4 |
|||||||||||||||
|
15 |
U |
-U |
AS |
|||||||||||||||
|
16 |
U |
-U |
BS |
|||||||||||||||
|
17 |
-U |
U |
CS |
|||||||||||||||
|
18 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
Рис. 4
Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:
X=A-1·S,
Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…14, определяем токи в роторе:
Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:
Суммарное усилие: 
.
Скорость в k-й момент времени: 
Математическая модель линейного асинхронного двигателя реализована в программном пакете MATLAB методом Гаусса-Жордана. Ниже приведен пример расчета.
%Математическая модель ЛАД с укладкой статорной обмотки классическим
%способом (z=6) с нулевым проводом
function lad_z12_6_zero
% Исходные данные асинхронного двигателя
Rb=0.1003*10^7;
rs=9.5;
LsA=0.037;
LsB=0.038;
LsC=0.035;
rr=4.6345*10^-5;
Lr=0.0372*10^-5;
dt=0.0012;
As=rs+LsA/dt;
Bs=rs+LsB/dt;
Cs=rs+LsC/dt;
tz=9.769*10^-3;
m=1.9;
v0=0;
wn=200;
f=50;
w=2*pi*f;
UA=wn/dt;
Um=310/1.73;
X=zeros(18,1);
F=0;
K=input('Длительность цикла k=');
for k=1:(K+1)
v(1,k)=v0; % Создание вектор-строки для графика скорости
f(1,k)=sum(F); % Создание вектор-строки для графика усилия
Ua=Um*cos(w*(k-1)*dt);
Ub=Um*cos(w*(k-1)*dt-2*pi/3);
Uc=Um*cos(w*(k-1)*dt-4*pi/3);
% Формирование матрицы А
A=zeros(18);
B=2*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;
B1=6*Rb*(rr+Lr/dt)+(-4*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;
B2=55*Rb*(rr+Lr/dt)+(-45*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;
B3=550*Rb*(rr+Lr/dt)+(-450*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;
B4=1000*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;
B5=550*Rb*(rr+Lr/dt)+450*Rb*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;
B6=55*Rb*(rr+Lr/dt)+(45*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;
B7=6*Rb*(rr+Lr/dt)+(4*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;
C=-Rb*(rr+Lr/dt)+(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
C1=-Rb*(rr+Lr/dt)+(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
C2=-5*Rb*(rr+Lr/dt)+(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
C3=-50*Rb*(rr+Lr/dt)+(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
C4=-500*Rb*(rr+Lr/dt)+(1000*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
C5=-500*Rb*(rr+Lr/dt)+(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
C6=-50*Rb*(rr+Lr/dt)+(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
C7=-5*Rb*(rr+Lr/dt)+(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
D=-Rb*Lr*v0/(2*tz);
D1=5*D;
D2=50*D;
D3=500*D;
E=-Rb*(rr+Lr/dt)-(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
E1=-5*Rb*(rr+Lr/dt)-(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
E2=-50*Rb*(rr+Lr/dt)-(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
E3=-500*Rb*(rr+Lr/dt)-(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
E4=-500*Rb*(rr+Lr/dt)-(1000*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
E5=-50*Rb*(rr+Lr/dt)-(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
E6=-5*Rb*(rr+Lr/dt)-(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
E7=-Rb*(rr+Lr/dt)-(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);
T=-wn*Lr*v0/(2*tz);
Y=-wn*(rr+Lr/dt);
W1=-wn*Lr/dt;
P=-Rb*Lr/dt;
Q=(2*Rb*Lr+1)/dt;
KS=rs+Ls/dt;
Q1=(6*Rb*Lr+1)/dt;
Q2=(55*Rb*Lr+1)/dt;
Q3=(550*Rb*Lr+1)/dt;
Q4=(1000*Rb*Lr+1)/dt;
for n=1:3
A(n+3,n+14)=(-1)^(n+1)*T;
A(n+4,n+14)=(-1)^(n+1)*Y;
A(n+5,n+14)=(-1)^n*T;
A(n+6,n+14)=(-1)^n*T;
A(n+7,n+14)=(-1)^n*Y;
A(n+8,n+14)=(-1)^(n+1)*T;
end;
for n=1:3
A(18,n+14)=1;%hh
end;
A(18,18)=-1;%jgj
for n=1:6
A(n+4,n+4)=B;
A(n+5,n+4)=E;
A(n+3,n+4)=C;
end;
for n=1:7
A(n+2,n+4)=D;
A(n+5,n+3)=-D;
end;
A(1,1)=B4;
A(1,2)=C5;
A(1,3)=D2;
A(2,1)=E4;
A(2,2)=B5;
A(2,3)=C6;
A(2,4)=D1;
A(3,1)=-D3;
A(3,2)=E5;
A(3,3)=B6;
A(3,4)=C7;
A(4,2)=-D2;
A(4,3)=E6;
A(4,4)=B7;
A(5,3)=-D1;
A(5,4)=E7;
A(10,11)=C1;
A(10,12)=D1;
A(11,11)=B1;
A(11,12)=C2;
A(11,13)=D2;
A(12,11)=E1;
A(12,12)=B2;
A(12,13)=C3;
A(12,13)=D3;
A(13,11)=-D1;
A(13,12)=E2;
A(13,13)=B3;
A(13,14)=C4;
A(14,12)=-D2;
A(14,13)=E3;
A(14,14)=B4;
A(15,5)=UA;
A(16,7)=UA;
A(17,9)=UA;
A(15,8)=-UA;
A(16,10)=-UA;
A(17,6)=-UA;
A(15,15)=As;
A(16,17)=Bs;
A(17,16)=Cs;
% Матрица свободных членов
S=[ Q4*X(1)+P*( 500*X(2)); %1
Q3*X(2)+P*(500*X(1)+50*X(3)); %2
Q2*X(3)+P*(50*X(2)+5*X(4)); %3
Q1*X(4)+P*(5*X(3)+X(5)); %4
W1*X(15)+Q*X(5)+P*(X(4)+X(6)); %5
(-1)*W1*X(16)+Q*X(6)+P*(X(5)+X(7)); %6
W1*X(17)+Q*X(7)+P*(X(6)+X(8)); %7
(-1)*W1*X(15)+Q*X(8)+P*(X(7)+X(9)); %8
W1*X(16)+Q*X(9)+P*(X(8)+X(10)); %9
(-1)*W1*X(17)+Q*X(10)+P*(X(9)+X(11)); %10
Q1*X(11)+P*(X(10)+5*X(12)); %11
Q2*X(12)+P*(5*X(11)+50*X(13)); %12
Q3*X(13)+P*(50*X(12)+500*X(14)); %13
Q4*X(14)+P*500*X(13); %14
UA*(X(5)-X(8))+Ua; %15
UA*(X(7)-X(10))+Ub; %16
UA*(X(9)-X(6))+Uc; %17
0]; %18
% Решение методом Гаусса-Жордана
Z=rref([A S]); %Приведение расширенной матрицы к треугольному виду
X=Z(1:18,19:19); %Выделение последнего столбца из матрицы
% Ток в роторе
Ir=[ 1000*Rb*X(1)-Rb*(500*X(2)); %1
550*Rb*X(2)-Rb*(500*X(1)+50*X(3)); %2
55*Rb*X(3)-Rb*(50*X(2)+5*X(4)); %3
6*Rb*X(4)-Rb*(5*X(3)+X(5)); %4
-wn*X(15)+2*Rb*X(5)-Rb*(X(4)+X(6)); %5
(-1)*(-wn)*X(16)+2*Rb*X(6)-Rb*(X(5)+X(7)); %6
-wn*X(17)+2*Rb*X(7)-Rb*(X(6)+X(8)); %7
(-1)*(-wn)*X(15)+2*Rb*X(8)-Rb*(X(7)+X(9)); %8
-wn*X(16)+2*Rb*X(9)-Rb*(X(8)+X(10)); %9
(-1)*(-wn)*X(17)+2*Rb*X(10)-Rb*(X(9)+X(11)); %10
6*Rb*X(11)-Rb*(X(10)+5*X(12)); %11
55*Rb*X(12)-Rb*(5*X(11)+50*X(13)); %12
550*Rb*X(13)-Rb*(50*X(12)+500*X(14)); %13
1000*Rb*X(14)-Rb*(500*X(13))]; %14
% Электромагнитное усилие
F(1)=X(2)*Ir(1)/(2*tz);
for n=1:12
F(n+1)=(X(n+2)-X(n))*Ir(n+1)/(2*tz);
end;
F(14)=-X(13)*Ir(14)/(2*tz);
% Скорость
v0=v0+(sum(F)/m)*dt;
end;
% Построение графиков
k=0:K;
subplot(2,1,1);
plot(k*dt,v);
title('Скорость');
xlabel('t,c');
ylabel('v,m/c');
grid on;
subplot(2,1,2);
plot(k*dt,f);
title('');
xlabel('t,c');
ylabel('F,H');
grid on;
end
Временные зависимости скорости и электромагнитного усилия линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска, полученные на математической модели, представлены на рис.4.
Рис.4. Результат моделирования линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска
Литература:
1. Емельянов А.А., Медведев А.В., Кобзев А.В., Козлов А.М., Бесклеткин В.В., Авдеев А.С., Киряков Г.А., Чернов М.В., Габзалилов Э.Ф., Иванин А.Ю. Программирование линейного асинхронного двигателя с числом пазов в индукторе равном шесть // Молодой ученый. – 2013. – №10. – С. 23-38.
2. Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.
