Применение уравнения Эйлера — Лагранжа для решения задачи о минимизации тепловых потерь в якоре двигателя постоянного тока



В статье рассматривается расчет оптимального тока якоря двигателя постоянного тока, при котором тепловые потери в якоре минимальны, с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Приведено моделирование уравнения механики электропривода в программном пакете MATLAB с использованием среды моделирования SIMULINK.

Ключевые слова: уравнение Эйлера — Лагранжа, двигатель постоянного тока, минимизация тепловых потерь, MATLAB, SIMULINK.

Одномерное уравнение Эйлера — Лагранжа

Уравнения Эйлера — Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. Эти уравнения нашли широкое применение в задачах оптимизации, в теоретической физике, в классической механике, римановой геометрии. Эти уравнения используются для нахождения экстремума функционалов [1].

Определим понятие функционала. Пусть дан некоторый класс функций . Если каждой функции по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что в классе определен функционал

[2].

Приведем некоторые примеры функционалов. Рассмотрим множество всех выпрямляемых плоских кривых. С каждой такой кривой связано определенное число –длина. Следовательно, длина кривой – это функционал, определенный на множестве выпрямляемых кривых. Пусть – функция трех переменных, тогда выражение

представляет собой функционал, где – функция множества всех непрерывно дифференцируемых функций, определенных на интервале [3].

Если функционал достигает экстремума на некоторой функции , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Также целевая функция может зависеть от нескольких функций, нескольких переменных и производных более высокого порядка.

Расчет оптимального значения тока якоря в двигателе постоянного тока

Рассмотрим задачу нахождения функции тока якоря двигателя постоянного тока, при которой тепловые потери в якорной цепи минимальны. Пусть двигатель разгоняется с угловой скорости рад/с до угловой скорости рад/с за время разгона с. Двигатель с моментом инерции и единым электромагнитным коэффициентом

имеет момент сопротивления, приведенный к валу вращения двигателя .

Для решения поставленной задачи необходимо найти такую функцию тока , при которой тепловые потери Q минимальны, то есть

(1)

где – сопротивление якорной цепи.

Определим ток в якорной цепи двигателя. Для этого выразим его из уравнения механики электропривода [4]

(2)

где – момент инерции двигателя, – угловая скорость, – единый электромагнитный коэффициент,

– момент сопротивления.

В результате уравнение тока выглядит следующим образом

(3)

После этого подставим уравнение тока (3) в выражение (1) и получим тепловые потери в следующем виде

Так как коэффициент перед интегралом есть постоянная величина, то его можно убрать. Тогда функционал запишем в следующем виде

(4)

Составим уравнение Эйлера — Лагранжа

(5)

Так как

то уравнение (5) примет вид

Решение полученного уравнения запишем в виде

(6)

С учетом граничных условий определим постоянные и

Подставляем найденные и

в решение (6) уравнения Эйлера — Лагранжа

(7)

Подставляем функцию угловой скорости (7) в выражение (3) и получаем функцию оптимального тока

В результате подстановки численных значений величина оптимального тока якоря равна 17,4 А. Следовательно, для обеспечения минимума тепловых потерь ток в якорной цепи имеет постоянную величину, равную 17,4 А.

Моделирование в программном пакете MATLAB и SIMULINK

Проверим, действительно ли найденное значение тока обеспечивает минимум тепловых потерь в якорной цепи двигателя постоянного тока, с помощью моделирования в программном пакете MATLAB.

Пусть вариации кривых имеют вид

экстремаль имеет вид

а целевая функция функционала (4) представляет собой выражение вида

Так как

то функция с учетом вариаций примет вид

Вычисление функционала (4) реализуем с помощью метода трапеций (листинг 1).

Листинг 1

% функция расчета интеграла

function [I] = Integrate(F, a, b)

n = size(F,2);

I = 0;

for i = 2:1:n-1

I = I + F(i);

end

I = (b - a)/(n - 1)*(F(1)/2 + F(n)/2 + I);

end

% исходные данные

G = 0.27; % момент инерции двигателя, кг*м^2

ke = 0.5; % единый электромагнитный коэффициент, В*с

Mc = 6; % момент сопротивления, Н*м

T = 10; % время разгона, с

w0 = 900; % начальная угловая скорость, рад/с

w1 = 1000; % % конечная угловая скорость, рад/с

n = 100; % количество точек для построения графика

alpha = -30:1:30;

syms t

w_star = t.*(w1 - w0)/T + w0; % экстремаль

delta_w = alpha.*sin(3.*pi.*t./T); % первая вариация

F = (diff(w_star + delta_w, t, 1) + Mc/ke).^2; % целевая функция

% вычисление интеграла

t = linspace(w0,w1,n);

for i=1:1:size(F,2)

if i ~= ceil(size(alpha,2)/2)

J(i) = Integrate(double(subs(F(i))), 0, T);

else

J(i) = Integrate(double(F(i)*ones(1,size(t,2))), 0, T);

end

end

% построение графика

plot(alpha, J);

В результате получили график зависимости функционала от параметра (рис. 1).

Рис. 1. График зависимости функционала от параметра

Из рис. 1 видно, что функционал (4) достигает минимума при , то есть на функции

Проведем моделирование системы управления электродвигателем в SIMULINK. Схема моделирования зависимости тока якоря от времени с начальным постоянным током якоря 12 А для соответствующего момента сопротивления 6

и угловой скорости от времени с начальной постоянной угловой скорости 900 рад/с представлена на рис. 2.

Рис. 2. Схема моделирования уравнения механики электропривода

Напишем код в MATLAB, позволяющий смоделировать схему и построить графики переходных процессов угловой скорости и тока якоря (листинг 2).

Листинг 2

clear;

clc;

G = 0.27; % момент инерции двигателя, кг*м^2

ke = 0.5; % единый электромагнитный коэффициент, В*с

Mc = 6; % момент сопротивления, Н*м

w0 = 900; % начальная угловая скорость, рад/с

i0 = 12; % начальный ток якоря, А

out = sim('bdz1.slx'); % моделирование схемы

figure;

subplot(2,1,1);

plot(out.tout, out.data.signals(1).values); % построение графика w(t)

legend('\omega(t)'); %легенда

set(gca,'FontSize',12); % установка размера шрифта

title('Переходные процессы'); % заголовок

xlabel('Время t, с'); %надпись оси абсцисс

ylabel('Угловая скорость \omega, рад/c'); % надпись оси ординат

ylim([880,1020]); % пределы построения графика по оси ординат

grid on; % включение сетки

subplot(2,1,2);

plot(out.tout, out.data.signals(2).values); % построение графика i(t)

legend('i(t)');

set(gca,'FontSize',12);

xlabel('Время t, с');

ylabel('Ток якоря i, А');

ylim([10,20]);

grid on;

Результат моделирования представлен на рис. 3.

Рис. 3. Зависимости угловой скорости от времени и тока якоря от времени

В результате моделирования системы получили, что при постоянном заданном токе якоря 12 А и постоянном моменте сопротивления 6 угловая скорость двигателя постоянного тока не изменяется, а при оптимальном значении тока, равном 17,4 А, его угловая скорость увеличивается на 100 рад/c за 10 с.

Литература:

1. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.
2. Вариационное исчисление, Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.
3. Поникарова И.В. Элементы вариационного исчисления, Учебное пособие. — СПб.: СПбГУ, 2019. — 50 с.
4. Усольцев А.А. Электрический привод/Учебное пособие. СПб: НИУ ИТМО, 2012, – 238 с.