Теорема Пикара | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 5 февраля, печатный экземпляр отправим 9 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №30 (372) июль 2021 г.

Дата публикации: 19.07.2021

Статья просмотрена: 15 раз

Библиографическое описание:

Танкиев, И. А. Теорема Пикара / И. А. Танкиев, М. А. Газдиева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 30 (372). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/372/83315/ (дата обращения: 23.01.2022).



В статье рассматривается теорема Пикара и доказывается существование решения задачи Коши методом последовательных приближений.

Ключевые слова: метод последовательных приближений, теорема Пикара, существование решения задачи Коши, условие Липшица.

Постановка задачи Коши. Теорема Пикара.

Рассмотрим задачу Коши

(1.1)

Функция задана в области G плоскости , содержащий замкнутый прямоугольник Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Пусть непрерывна в области по совокупности переменных и, следовательно, (по теореме Вейерштрасса) равномерно ограничена там. Тогда существует постоянная

2) Пусть удовлетворяет в условию Липшица по переменной , т. е. постоянная Липшица , не зависящая от и .

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда на отрезке

существует единственное решение задачи (1.1).

Следующее утверждение существенно используется при доказательстве сформулированной теоремы.

Лемма 1. Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в некотором прямоугольнике Тогда задача Коши (1.1) эквивалентна интегральному уравнению

(1.2)

которое рассматривается в классе непрерывных функций.

Доказательство: Пусть решение (1.1), целиком лежащее в D. Тогда, подставляя его в (1.1) и интегрируя полученное тождество в пределах от до получим, что удовлетворяет уравнению (1.2).

С другой стороны, если непрерывная функция является решением (1.2), то также непрерывна, а

является непрерывно дифференцируемой функцией переменной . Следовательно, решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям y(

Итак, мы показали эквивалентность задачи (1.1) и (1.2).

Доказательство существования решения задачи Коши.

Для доказательства теоремы применим метод последовательных приближений (метод Пикара). Определим итерационный процесс метода последовательных приближений так:

(1.3)

где произвольная непрерывная функция, график которой целиком лежит в области D. На каждой итерации задача (1.3) разрешима, и ее решение при представимо в виде

(1.4)

Далее, в силу условия имеем Поэтому интегральная кривая не покинет угол между диагоналями прямоугольника и, следовательно, В результате получим некоторую функциональную последовательность Исследуем ее свойства.

Лемма 2. Функциональная последовательность сходится равномерно на множестве .

Доказательство: Рассмотрим функциональный ряд

(1.5)

Оценим абсолютные величины членов ряда (1.5):

(1.5')

далее,

На основании условия Липшица подынтегральная функция удовлетворяет неравенству

Теперь

(1.5'')

Аналогично получим:

и наконец

Далее

Подставив в последний интеграл вместо выражение получаем:

Теперь, учитывая замену его наибольшим допустимым значением H, мы приходим к заключению, что каждый член ряда (1.5) меньше соответствующего члена числового ряда с положительными членами:

(1.6)

По признаку Даламбера мы получаем

Следовательно, ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве (признак Вейерштрасса), а значит функциональная последовательность также сходится равномерно на множестве т. е.

Докажем, что полученная таким образом функция удовлетворяет интегральному уравнению (1.2).

Возьмем равенство (1.4):

и перейдем к пределу при

Благодаря равномерной непрерывности функции по мы для любого наперед заданного положительного числа ℇ можем найти такое что неравенство

будет выполнено для тех пар точек и области D, для которых выполняется неравенство (в силу условия Липшица достаточно взять ). Далее, из равномерности стремления последовательности к пределу вытекает возможность для выбранного так подобрать натуральное число , чтобы при для всех значений в интервале имело место неравенство:

Сопоставляя оба эти неравенства, мы получаем при

Отсюда следует:

Пользуясь произволом числа ℇ, находим:

Таким образом, переходя к пределу в (1.4) при , получаем тождество:

т. е. удовлетворяет интегральному уравнению (1.2).

Лемма 3. Функциональная последовательность сходится к непрерывному решению интегрального уравнения (1.2), записанного выше.

Доказательство: Поскольку все функции непрерывны, а функциональная последовательность

Кроме того, равномерная сходимость непрерывных функций является достаточным условием для перехода к пределу под знаком интеграла в выражении (1.4). В результате получим

т. е. предел последовательных приближений удовлетворяет интегральному уравнению (1.2), эквивалентному задаче Коши (1.1). Итак, существование решения задачи Коши для скалярного уравнения доказано.■

Литература:

  1. Исраилов С. В., Юшаев С. С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик, «Эль-Фа» 2014 г.
  2. Исраилов С. В. Исследование некоторых многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями и с сингулярностью: Дис. канд. физ.-мат. наук. Баку. 1964 г.
Основные термины (генерируются автоматически): интегральное уравнение, функциональная последовательность, Кош, неравенство, предел, приближение, сила условия, совокупность переменных, существование решения задачи, теорема.


Ключевые слова

метод последовательных приближений, теорема Пикара, существование решения задачи Коши, условие Липшица
Задать вопрос