Теорема Пикара | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 8 октября, печатный экземпляр отправим 12 октября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №5 (347) январь 2021 г.

Дата публикации: 31.01.2021

Статья просмотрена: 105 раз

Библиографическое описание:

Кодзоева, А. А. Теорема Пикара / А. А. Кодзоева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 5 (347). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/347/78248/ (дата обращения: 29.09.2022).



В статье рассматривается Теорема Пикара — теорема о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Приводятся различные формулы, замечания и поэтапные доказательства теоремы Пикара. Сведение уравнения 𝒏-го порядка к нормальной системе. Теорема существования и единственности для уравнений 𝒏-го порядка. Локальная теорема Коши-Пикара дает достаточные условия разрешимости задачи Коши для широкого класса ОДУ. В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара

Формулировка

Областью значений целой функции, отличной от константы, является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.

Ключевые слова: теорема Пикара, дифференциальное уравнение, область, неравенство.

Введение:

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

(1)

с начальным условием

(2)

где правая часть (1) определена в замкнутой области R:

где a и b — некоторые положительные числа.

Замечание 1: Плоскуюобластьбудем называть выпуклой (или правильной) по у, если прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках, а прямая, параллельная оси Ох пересекает границу области в 3 и более точках.

Приведём пример выпуклой (или правильной) области по у:

На графике видно, что прямая b, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках, а прямая, а , параллельная оси Ох, пересекает границу этой области в 4 точках. Следовательно, наша область выпукла по у , но не является выпуклой по оси Ох.

Замечание 2: Так как непрерывная функция является в замкнутой области ограниченной, то существует такое положительное число М , что неравенство

(3)

выполняется для всех точек области R; (теорема Вейерштрасса)

Теорема. Пусть: 1) ;

f (x, y) удовлетворяет в области R относительно переменного у условия Липшица : существует такое положительное число N, что для любого значения х , , и для любых двух значений и переменного у, , , выполняется неравенство:

(4)

Тогда существует единственное решение уравнения (1):

удовлетворяющее начальному условию , определённое и непрерывное для значений х в интервале:

где .

Доказательство теоремы разобьём на ряд этапов:

Этап 1: Сведение задачи Коши к интегральному уравнению из (1) имеем

,

откуда

(5)

Покажем теперь эквивалентность задач (1), (2) и (5).

Пусть есть решение задачи (1), (2). Тогда

(1´)

(5´)

Следовательно, у=у(х) является решением (5).

Докажем обратное. Пусть у=у(х) является решением (5). Тогда,

дифференцируя , получим тождество . Следовательно, у=у(х)

является решением (1), (2).

Эквивалентность (1), (2) и (5) доказана.

Будем в дальнейшем работать с (5).

Этап 2 : Найдём решение уравнения (5) с помощью последовательных приближений:

За нулевое приближение возьмём постоянное число . Определим

первое приближение следующей формулой:

Так как функция под знаком интеграла известна, то вычисляется

квадратурой; очевидно, при имеем , т. е. первое приближение

удовлетворяет начальному условию.

Мы ограничимся в формуле ( такимизменением , чтобы .

Следовательно, из ( в силу (4) имеем:

Следовательно, где

Продолжая и т. д. получим бесконечную функциональную последовательность

(6)

где каждая из функций не выходит из области R.

Этап 3: Показывается, что существует предел последовательности ,

(7)

Этап 4: Показывается, что Y(x) есть решение (5)

Рассмотрим уравнение ( ):

При n→∞ получим

(8)

Этап 5: Доказывается, что найденное решение Y(x) есть единственное.

Это можно доказать методом от противного.

Литература:

  1. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва — 1967.
  2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1958
  3. Танкиев И. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва, ИЦ «Математика» 1997
  4. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969
  5. lionet J., Perez Carreras P. Barelled locally convex spaces//Math, studies. North Holland, 1987. V. 131.
  6. Шкаргт С. А. Нескольк результато о разрешимост обыкновенны линейны дифференциальны уравнени в локальн выпуклы пространства // Матем. сб. 1990. Т. 181, № 9. С. 1183–1195.
Основные термины (генерируются автоматически): параллельная ось, граница области, малая теорема, начальное условие, замкнутая область, обыкновенное дифференциальное уравнение, Оха, положительное число, уравнение - го, целая функция.


Похожие статьи

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Составление дифференциального уравнения по условию задачи чаще всего состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращением [1]. Умение составить дифференциальное уравнение во многом зависит от навыка и...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

 Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций. Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где — произвольное вещественное число...

Использование среды GeoGebra при решении задач с параметрами

Уравнение в системе — это семейство прямых: . Для того, чтобы данная система не имела решений необходимо отсутствие пересечения прямой

Для этого в строке ввода делаем запись: Можно записать и неравенством, тогда будет выделена и внутренняя область окружности.

Анализ системы уравнений «хищник — жертва» и доказательство...

Существует множество практических приложений теории дифференциальных уравнений

Модель Лотки — Вольтерры представляет собой систему дифференциальных уравнений

Его интегральные кривые совпадают с фазовыми кривыми исходной системы в области, где x...

Реализация диалогического подхода к организации аудиторной...

граничные условия, начальное условие. Фазовый переход сопровождается выделением (или поглощением) определенного количества тепла.

Рассматриваемая задача Стефана (1) может быть записана в виде одного общего уравнения теплопроводности во всей области [5]

Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

— искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале... функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Здесь — коэффициенты уравнения, определенные в области достаточно гладкие функции

Мы знаем, что в области значение выражения может быть отрицательным, положительным или

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая...

Применение математического пакета Maple к решению...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе...

Двусторонние оценки для вязкоупругих сред | Статья в журнале...

В составной области рассмотрим задачу: (12). где — малый параметр и. На границе ставятся условия согласования

В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для...

Похожие статьи

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Составление дифференциального уравнения по условию задачи чаще всего состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращением [1]. Умение составить дифференциальное уравнение во многом зависит от навыка и...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

 Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций. Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где — произвольное вещественное число...

Использование среды GeoGebra при решении задач с параметрами

Уравнение в системе — это семейство прямых: . Для того, чтобы данная система не имела решений необходимо отсутствие пересечения прямой

Для этого в строке ввода делаем запись: Можно записать и неравенством, тогда будет выделена и внутренняя область окружности.

Анализ системы уравнений «хищник — жертва» и доказательство...

Существует множество практических приложений теории дифференциальных уравнений

Модель Лотки — Вольтерры представляет собой систему дифференциальных уравнений

Его интегральные кривые совпадают с фазовыми кривыми исходной системы в области, где x...

Реализация диалогического подхода к организации аудиторной...

граничные условия, начальное условие. Фазовый переход сопровождается выделением (или поглощением) определенного количества тепла.

Рассматриваемая задача Стефана (1) может быть записана в виде одного общего уравнения теплопроводности во всей области [5]

Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

— искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале... функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Здесь — коэффициенты уравнения, определенные в области достаточно гладкие функции

Мы знаем, что в области значение выражения может быть отрицательным, положительным или

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая...

Применение математического пакета Maple к решению...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе...

Двусторонние оценки для вязкоупругих сред | Статья в журнале...

В составной области рассмотрим задачу: (12). где — малый параметр и. На границе ставятся условия согласования

В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для...

Задать вопрос