Решение одного интегрального уравнения Фредгольма первого рода | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 20 марта, печатный экземпляр отправим 24 марта.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №40 (278) октябрь 2019 г.

Дата публикации: 07.10.2019

Статья просмотрена: 545 раз

Библиографическое описание:

Усков, В. И. Решение одного интегрального уравнения Фредгольма первого рода / В. И. Усков, В. И. Небольсина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 40 (278). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/278/62850/ (дата обращения: 06.03.2021).



Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Такие уравнения встречаются в задачах математической физики (например, в оптических явлениях), в задачах об издержках производства и т. д. Рассматривается частный случай разложимого ядра по базису. Отмечается, что при выполнении некоторых условий решение определяется единственным образом; находится это решение. Результат иллюстрируется примерами.

Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, первого рода, решение.

1. Решение уравнения

Рассматривается уравнение

(1)

где , — заданные непрерывные по совокупности переменных функции, — искомая непрерывная функция; .

Многие задачи математической физики приводят к таким уравнениям: например, задача восстановления размытого изображения [1]; задача об издержках производства [2] и т. д.

Определение. Вронскианом функций называется определитель [3]

Пусть выполнены следующие условия:

1) ядро раскладывается по базису , , …, :

2) (2)

3) вронскиан на

(3)

4) функция записывается в виде разложения по тому же базису:

(4)

с постоянными .

Замечание. Подставив выражение (2) для ядра в левую часть уравнения (1), получим выражение вида (4).

Решение уравнения (1) найдем в виде

(5)

где постоянные надлежит вычислить.

Подставив выражения (2), (4) в (1), получим равенство:

(6)

Приравняв коэффициенты в (6) при :

(7)

и подставив (5) в (7), получим систему для определения:

(8)

в обозначении

(9)

Построим следующие матрицы:

Коэффициенты в (5) определяются из системы (8) единственным образом, поскольку в силу неравенства (3) имеем . Они вычисляются по формулам Крамера [4]:

(10)

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема. При выполнении условия (3) решение уравнения (1), (2), (4) единственно и определяется по формулам (5), (10), (9).

2. Примеры

Пример 1. Решить уравнение

(11)

1) Ядро и функцию

можно представить в виде (2) [5] и (4), где

2) Проверим, что выполнено условие (3). Действительно, на

3) Проверим, что функции , образуют базис на . Действительно,

4) Тогда в силу теоремы решение уравнения (11) единственно и равно

(12)

где по формулам (10), (9)

Непосредственной подстановкой выражения (12) в уравнение (11) убеждаемся в правильности решения.

Пример 2. Решить уравнение

(13)

1) Внесем интегралы в левой части уравнения под один интеграл. Ядро и функцию можно представить в виде (2) и (4), где

2) Проверим, что выполнено условие (3). Действительно, на

3) Проверим, что функции , , образуют базис на . Действительно,

4) Тогда в силу теоремы решение уравнения (13) единственно и равно

(14)

где по формулам (10), (9)

Непосредственной подстановкой выражения (14) в уравнение (13) убеждаемся в правильности решения.

Литература:

  1. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 2003. — 608 с.
  2. Спирина М. С., Спирин П. А. Интегральные уравнения при моделировании издержек // Вестник Поволжского госуниверситета. Серия: Экономика. — 2015. — № 2 (40). — С. 234–238.
  3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. — 331 с.
  4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с.
  5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике М.: 2006. — 509 с.
Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, базис, единственный образ, издержка производства, интегральное уравнение, левая часть уравнения, математическая физика, непосредственная подстановка выражения, правильность решения, сила теоремы.


Ключевые слова

решение, интегральное уравнение Фредгольма, первого рода

Похожие статьи

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

О методе решения линейных интегральных уравнений...

будет решением заданного интегрального уравнения (3). Ознакомимся с отдельными образцами дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков с запаздывающим аргументом. Такие уравнения встречаются в математической физике и...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид

Бицадзе А. В. Уравнения математической физики.

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2, получим, что . Решение методом продолжения задач математической физики...

Возможные методы решения математических задач...

Еще более сложным, чем уравнение Навье-Стокса, является уравнение Больцмана

ставит в соответствие правой части обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

1. Бирюк А. Э. О пространственных производных решений уравнения Навье-Стокса с малой...

Об одной задаче определения правой части линейного...

В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для...

После подстановки выражений в (7), для определения компоненты классического решения задачи (1),(2),(5),(6) получаем

Для того, чтобы получить уравнение для второй компоненты классического решения задачи (1),(2),(5),(6) подставим выражение (11) в (15)

Исследование подходов к решению задач математической...

Для решения задачи (6) мы применяем известный метод математической физики решения таких задач — метод

Тогда после подстановки можно прийти к следующему выражению — условию

Литература: 1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.

Регуляризация решения неклассического интергального...

Модели многих задачи прикладного характера сводятся к уравнением [2], среди которых неклассические уравнения представляют особые интересы и мало изучены. В данной работе построено регуляризирующее уравнение для неклассического интегрального уравнения...

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Рассмотрим способы построения двумерных интегрируемых уравнений, имеющих солитонные решения и интегрируемых с помощью обратной задачи рассеивания. Метод построения двумерного интегрируемого уравнения, связанный с уравнением Лакса.

Похожие статьи

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

О методе решения линейных интегральных уравнений...

будет решением заданного интегрального уравнения (3). Ознакомимся с отдельными образцами дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков с запаздывающим аргументом. Такие уравнения встречаются в математической физике и...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид

Бицадзе А. В. Уравнения математической физики.

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2, получим, что . Решение методом продолжения задач математической физики...

Возможные методы решения математических задач...

Еще более сложным, чем уравнение Навье-Стокса, является уравнение Больцмана

ставит в соответствие правой части обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

1. Бирюк А. Э. О пространственных производных решений уравнения Навье-Стокса с малой...

Об одной задаче определения правой части линейного...

В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для...

После подстановки выражений в (7), для определения компоненты классического решения задачи (1),(2),(5),(6) получаем

Для того, чтобы получить уравнение для второй компоненты классического решения задачи (1),(2),(5),(6) подставим выражение (11) в (15)

Исследование подходов к решению задач математической...

Для решения задачи (6) мы применяем известный метод математической физики решения таких задач — метод

Тогда после подстановки можно прийти к следующему выражению — условию

Литература: 1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.

Регуляризация решения неклассического интергального...

Модели многих задачи прикладного характера сводятся к уравнением [2], среди которых неклассические уравнения представляют особые интересы и мало изучены. В данной работе построено регуляризирующее уравнение для неклассического интегрального уравнения...

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Рассмотрим способы построения двумерных интегрируемых уравнений, имеющих солитонные решения и интегрируемых с помощью обратной задачи рассеивания. Метод построения двумерного интегрируемого уравнения, связанный с уравнением Лакса.

Задать вопрос