Методология решения обратных задач геофизики | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Косьянов А. Н., Сосов В. А. Методология решения обратных задач геофизики // Молодой ученый. — 2012. — №1. Т.1. — С. 77-79. — URL https://moluch.ru/archive/36/4143/ (дата обращения: 23.10.2018).

В связи с ростом населения Земли, всё острее стоит вопрос нехватки ресурсов. Поэтому методология их поиска очень актуальна. Для осуществления геофизической разведки, особенную важность имеет решение обратных задач. Существует много разных подходов к данной проблеме. О некоторых из них речь пойдёт в этой статье.

Интегральная интерпретация данных – совместная обработка различных эмпирических данных, полученных несколькими методами, для построения общей картины.

Адаптивный метод – способ решения задач в которых число переменных больше чем число уравнений, путём постоянной подстройки под входные данные [1].

Геоинформационная система – система предназначенная для сбора, хранения, анализа и графической визуализации пространственных данных и связанной с ними информации о представленных в ГИС объектах.

Геофизическое исследование скважин – комплексное исследование скважин с целью сбора данных для последующей обработки в геоинформационных системах с использованием различных методов.

Прямая задача – исследование модели, в которой параметры считаются известными, для извлечения полезного знания об объекте.

Обратная задача – тип задач, часто возникающий во многих разделах науки когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

Для того, чтобы получить представления о свойствах объекта, необходимо создать его модель.

Модель будет включать в себя следующие параметры: глубины границ раздела слоев и свойства пород в каждом слое. Используя математические зависимости между элементами модели и полем, мы можем вычислить теоретические значения поля для заданных условий его наблюдения.

Процесс перехода от модели к полю называют решением прямой задачи. Переход от значения поля к параметрам модели среды – решением обратной задачи.

Одним из простейших вариантов решения обратной задачи является подбор такой модели, которая дала бы теоретическое поле, совпадающее или близкое к наблюдаемому [1].

В нашей статье предполагается, что имеется некоторая модель, характеризующаяся набором параметров. Это может быть вектор или набор векторов, матрица или набор матриц, и векторов.

Обозначим значения неизвестных параметров X {x1, x2, … xn}. Получим математическую модель, связывающую неизвестные значения параметров с некоторым наблюдением, представленные в виде системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений U=AX или U=f(X).

Данная исследуемая модель имеет вид системы уравнений:

Сопоставляя прямую и обратную задачи, необходимо отметить следующие их особенности:

Прямая задача, как правило, имеет единственное решение. Заданной модели при заданных условиях наблюдения соответствует единственное поле. В обратной задаче - одному и тому же полю может соответствовать множество моделей. Поэтому при решении задач возникает вопрос: какой ответ мы получили единственный или один их множества и какой из множества ответов наиболее близок к реальному. Прямые задачи являются, как правило, устойчивыми. Обратные задачи очень часто оказываются неустойчивыми, т.е. небольшие искажения в данных наблюдений могут приводить к значительным погрешностям в параметрах модели.

Из общей статистической постановки вопроса нетрудно получить рекуррентный алгоритм, позволяющий уточнять оценки параметров, переходя последовательно от уравнения к уравнению. Достоинством рекуррентного метода является то, что он за один проход всех уравнений позволяет получить искомое решение и оценку ковариационной матрицы, а следовательно, и погрешности решений. Однако, он, как и многие другие методы, связанные с обращением и умножением матриц, позволяет решать системы с небольшим числом неизвестных [2]. Это обусловлено следующими причинами:

  1. С ростом числа уравнений растут ошибки, связанные с умножением

матриц

  1. Время счета растет пропорционально n3.

  2. Память, необходимая для хранения ковариационных матриц, растет

пропорционально n2.

В связи с этим, возникла необходимость создания метода (в классе итерационных), который был бы лишен указанных недостатков [3].

В рамкой данной статьи будут рассмотрены 4 метода:

  1. Адаптивный метод;

  2. Метод Качмажа;

  3. Метод Качмажа с регуляризацией;

  4. Разностный метод.

Оцениваться результаты будут с помощью 4 показателей:

  1. Среднеквадратичная невязка;

  2. Среднеквадратичное отклонение;

  3. Корреляция между исходными коэффициентами отражения и полученными;

  4. Корреляция между исходной трассой и полученной.

Запишем формулы адаптивного метода. Метод Качмажа и Качмажа с регуляризацией являются его упрощением. Расчёт коэффициентов отражения в разностном методе происходит со сдвигом на 1 позицию [4].

Далее происходит расчёт разностей коэффициентов отражения.

После чего полученные результаты добавляются к результатам из адаптивного метода.

Каждое неизвестное на k+1 шаге будет равно:

где – номер шага уточнения (не является показателем степени),

i – порядковый номер уравнения,

l – номер итерации,

n – число уравнений в системе,

j – порядковый номер неизвестного,

m – число неизвестных,

– коэффициент в l-ом уравнении j-го неизвестного. В случае нелинейной системы он будет зависеть от k,

– оценка дисперсии неизвестного на k-ом шаге,

– дисперсия ошибки измерения параметра u в i-ом уравнении.

Оценка дисперсии xj на каждом шаге уменьшается следующим образом:

Если , а , то получим:

На данный момент программа предусматривает оценку результатов по 4 критериям:

Среднеквадратичная невязка:

Среднеквадратичное отклонение коэффициентов:

Корреляция коэффициентов:

Корреляция трасс:

Разработок в данной области прикладной науки очень много, т. к. постоянно требуется улучшение точности получаемых результатов, однако, методов, которые показывают высокие характеристики точности и скорости достаточно мало [5].

Этот подход рассматривает два метода, которые впоследствии сравниваются между собой, в то время как наш использует четыре метода расчетов и сравнение между ними, что существенно повышает качество получаемых результатов. Оценка результатов осуществляется только по неквадратическому критерию оптимизации, в отличие от нашей работы, в которой реализованы четыре параметра, по которым осуществляется контроль получаемых данных.

Также хотелось бы отметить, что решения обратных задач, с которыми могут справиться данные методы, практически не ограничивают объем обрабатываемых данных [6].

Было проведено несколько опытов. В них было определено, как влияют на скорость сходимости и точность методов, различные сигналы (коэффициент затухания, количество периодов и длина периода сигнала), количество взятых коэффициентов отражения, процент накладываемой помехи и её вид, а также, как влияет коэффициент регуляризации на три из четырёх методов и влияние начального Sigma на результаты адаптивного метода. Опыты проводились на модельных данных.

«Рис.» 1– Параметры оценки

Анализ особенностей методов позволяет сделать выводы, что адаптивный метод и методы производные от него, не накапливают ошибок округления и позволяет решать системы с большим числом неизвестных. В настоящее время реально решаются задачи с числом неизвестных 104 и более.

Может решать системы, где число неизвестных больше, чем число уравнений. Обладает гибкими свойствами регуляризации.


Литература:
  1. Бизюкин, С.В., Кочнев В.А. Исследование возможностей адаптивного метода для решения обратной задачи МТЗ / В. А. Кочнев С. В Бизюкин // Геология и геофизика. – 1988. – № 7. С. 62-67.

  2. Кочнев, В.А. Технология решения обратной динамической задачи по данным метода отраженных волн. / В. А. Кочнев И. В. Гоз В. С. Поляков // Труды международного семинара “Обратные задачи геофизики” Новосибирск. 1996.30 сент.4 окт. С. 80-92.

  3. Кочнев, В.А. Путь осознания возможностей математических моделей и алгебраических уравнений в геофизике / В. А. Кочнев // Геофизика. – 2001. – № 5. С. 15-20.

  4. Кочнев, В.А. Итерационный (адаптивный) подход к решению обратных геофизических задач. Математическое обеспечение и структура ЭВМ. [Текст]: сб.научн.работ / В. А. Кочнев. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 1997. 623 с.

  5. Заявка на пат. 98113007/25 Российская Федерация, МПК 6 G01V1/28, G01V1/00, G01V1/36. Способ определения глубинно-скоростных параметров среды и построения ее изображения по сейсмическим данным, система PRIME; заявитель Глоговский В.М. – 1 с.

  6. Кочнев, В.А. Хвостенко, В.И. Адаптивный метод решения обратных задач гравиметрии. / В. А. Кочнев В. И. Хвостенко // Геология и геофизика. – 1996. – № 7. – С. 120-129.

Основные термины (генерируются автоматически): адаптивный метод, обратная задача, число неизвестных, прямая задача, число уравнений, данные, Среднеквадратичная невязка, разностный метод, оценка результатов, умножение матриц.


Похожие статьи

Организация вычислений решения краевой задачи для линейного...

1. Краевая задача для ОДУ. Сведения о приближённых методах.

Для определения неизвестных коэффициентов введем функцию невязки. . (4).

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Авторами была разработана программа, которая позволяет автоматизировать процесс вычисления решения одной разностной задачи для волнового уравнения. Программа предназначена для освоения студентами разностного метода решения уравнений...

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Задача интервального оценивания параметров математической модели путём статистической обработки опытных данных по методу наименьших квадратов (МНК) состоит из двух этапов. 1) нахождение вектора оценок параметров, минимизирующих сумму квадратов отклонений, 2)...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем). Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3).

Численная реализация разностного метода решения одной...

Алгоритм разностного метода решения поставленной задачи. 1. Задать сетку , где

Программа предназначена для освоения студентами разностного метода решения уравнений эллиптического типа и может применяться в учебном процессе.

Реализация метода сопряженных градиентов на NVIDIA CUDA

Здесь — невязка -го приближения

Программная реализация метода оценки погрешностей результатов картирования в рамках сплайн-аппроксимационного подхода.

Численная реализация разностного метода решения одной задачи для уравнения эллиптического типа.

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

Кроме того, для практических приложений важными являются такие параметры модели объекта, как высокий порядок дифференциального или разностного уравнения и произвольное количество входов.

Существуют точные (прямые) методы нахождения обратных матриц [6]

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Организация вычислений решения краевой задачи для линейного...

1. Краевая задача для ОДУ. Сведения о приближённых методах.

Для определения неизвестных коэффициентов введем функцию невязки. . (4).

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Авторами была разработана программа, которая позволяет автоматизировать процесс вычисления решения одной разностной задачи для волнового уравнения. Программа предназначена для освоения студентами разностного метода решения уравнений...

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Задача интервального оценивания параметров математической модели путём статистической обработки опытных данных по методу наименьших квадратов (МНК) состоит из двух этапов. 1) нахождение вектора оценок параметров, минимизирующих сумму квадратов отклонений, 2)...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем). Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3).

Численная реализация разностного метода решения одной...

Алгоритм разностного метода решения поставленной задачи. 1. Задать сетку , где

Программа предназначена для освоения студентами разностного метода решения уравнений эллиптического типа и может применяться в учебном процессе.

Реализация метода сопряженных градиентов на NVIDIA CUDA

Здесь — невязка -го приближения

Программная реализация метода оценки погрешностей результатов картирования в рамках сплайн-аппроксимационного подхода.

Численная реализация разностного метода решения одной задачи для уравнения эллиптического типа.

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

Кроме того, для практических приложений важными являются такие параметры модели объекта, как высокий порядок дифференциального или разностного уравнения и произвольное количество входов.

Существуют точные (прямые) методы нахождения обратных матриц [6]

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Задать вопрос