Цель исследования — определить особенности формирования умения устанавливать функциональную зависимость у учащихся второго класса на уроках математики. В статье рассматриваются теоретические основы процесса формирования умения устанавливать функциональную зависимость у учащихся второго класса. Основное внимание уделяется анализу психолого-педагогической литературы, Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО), программных требований к результатам изучения курса математики во втором классе. В результате данного анализа выявлены особенности формирования умения устанавливать функциональную зависимость у учащихся второго класса на уроках математики.
Ключевые слова: начальное образование, функциональная зависимость, умения и навыки, анализ программ, особенности формирования.
Важнейшими задачами современного начального образования являются формирование у учащихся глубокого и прочного усвоения научных знаний, выработка соответствующих умений и навыков, применение их на практике. Данные умения являются неотъемлемой составляющей содержания обучения математике, поэтому необходимо рассмотреть эти умения как дидактическую категорию. Овладение умениями происходит на основе усвоения действенных знаний, потому что они указывают, как следует выполнять то или иное действие. Умения выступают в тесной связи со знаниями и навыками. Это отметил в своей формулировке понятия И. Ф. Харламов: «Умение — это владение способами (приемами, действиями) применения усваиваемых знаний на практике» [1, с. 165].
Важнейшим условием подготовки учащихся к жизни является умение применять знания, умения и навыки на практике. Знания становятся способом влияния на предметы и явления действительности, а умения и навыки — орудием практической деятельности в процессе их использования.
Необходимо разграничить категории «умения» и «навыки». Психологи и педагоги придерживаются точки зрения, что умение — это более высокая психологическая категория, чем навыки. Среди них Е. И. Бойко, Б. Ф. Ломов и В. В. Чебышева [2; 3], педагоги-практики, такие как, Б. А. Ашмарин, Е. В. Гурьянов, А. Ц. Пуни и П. А. Рудик считают иначе: они убеждены, что навыки представляют более высокую стадию овладения физическими упражнениями и трудовыми действиями, чем умения [6, с. 234].
Е. И. Бойко, Б. Ф. Ломов и В. В. Чебышева под умениями понимают способность осуществлять на профессиональном уровне какую-либо деятельность, при этом умения формируются на основе нескольких навыков, характеризующих степень овладения определенными действиями. Согласно этой точке зрения, навыки предшествуют умению [4; 5; 6].
Б. А. Ашмарин, Е. В. Гурьянов, А. Ц. Пуни и П. А. Рудик рассматривают умения как возможность осуществлять какое-либо действие, операцию. По их мнению, умения предшествуют навыку, который выступает как более совершенная стадия овладения действиями [4; 6].
Согласно этому пониманию, умение и навык являются способностью совершать то или другое действие, различаются они по уровню овладения данным действием. Приверженцы данной точки зрения так же рассматривают каждое понятие в отдельности. Например, И. П. Ильин считает так: «Умение — это способность к действию, не достигшему наивысшего уровня сформированности, совершаемому полностью сознательно. Навык — это способность к действию, достигшему наивысшего уровня сформированности, совершаемому автоматизировано, без осознания промежуточных шагов» [5, с. 147].
С. Л. Рубинштейн определяет умение следующим образом: «Умение — это промежуточный этап овладения новым способом действия, основанным на каком-либо правиле (знании) и соответствующим правильному использованию знания в процессе решения определенного класса задач, но еще не достигшего уровня навыка» [7, с. 201]. Ю. К. Бабанский считает, что умение выступает сознательным владением каким-либо приемом деятельности [7]. По мнению Б. Ф. Ломова, «умение — сложное психическое образование, включающее систему навыков, физические и умственные действия» [2, с. 271].
Словарь М. И. Дьяченко и Л. А. Кандыбович характеризует умение как освоенный человеком способ выполнения действий на базе имеющихся знаний и навыков [8]. Умение связано с уровнем, который проявляется на первичном этапе в форме приобретенного знания, такое знание может быть произвольно отражено. В процессе использования на практике этого знания оно приобретает некоторые операциональные свойства, выступая в форме правильно совершаемого действия. При возникновении каких-либо трудностей учащийся использует правило для того, чтоб отрегулировать выполняемое действие, а также — при работе над совершенными ошибками [8].
Б. Ф. Ломов подчеркивает различия между умением и навыком: «Умение проявляется при решении новых задач и включает в себя момент творчества, а навык используется стереотипно» [2, с.229]. Нелогичность отделения навыков от умений становится еще более очевидной при рассмотрении трехзвенной цепочки: первичное умение — навык — умение высшего порядка. Получается, что не только умение превращается в навык, но и навык обратно переходит в умение. Но во всех трех случаях речь идет об одном и том же действии, которым человек овладевает, поэтому логичнее всю эту трехзвенную цепь представлять как стадии совершенствования умения, на что указывают большинство учёных.
После первичного ознакомления с категорией «умение», появляется возможность представить изученную информацию в таблице 1.
Таблица 1
Сравнительная характеристика понятия «умение»
|
Автор |
Формулировка понятия «умение» |
|
И. Ф. Харламов |
Умение — это владение способами (приемами, действиями) применения усваиваемых знаний на практике. |
|
Е. П. Ильин |
Умение — это способность к действию, не достигшему наивысшего уровня сформированности, совершаемому полностью сознательно. |
|
С. Л. Рубинштейн |
Умение — это промежуточный этап овладения новым способом действия, основанным на каком-либо правиле (знании) и соответствующим правильному использованию знания в процессе решения определенного класса задач, но еще не достигшего уровня навыка. |
|
Ю. К. Бабанский |
Умение — сознательное владение каким-либо приемом деятельности. |
|
М. И. Дьяченко |
Умение — освоенный человеком способ выполнения действий на базе имеющихся знаний и навыков. |
|
Б. Ф. Ломов |
Умение — сложное психическое образование, включающее систему навыков, физические и умственные действия. |
Анализ таблицы позволяет сделать вывод, что под умением мы будем понимать способ деятельности, который формируется путем упражнений и обеспечивается совокупностью приобретенных знаний.
Обнаруженные характеристики категории «умения» дают возможность рассмотреть конкретные умения устанавливать функциональную зависимость.
В учебнике Н. Ш. Фусса «Начальные основания чистой математики» в разделе «Основания дифференциального и интегрального исчислений» приводится следующее определение: «Функцией переменной величины называется выражение, состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными величинами» [3, с. 90].
Во многих статьях и книгах по экономике и высшей математике функциональная зависимость — это зависимость одной переменной от другой. В словаре под ред. И. Т. Фролова расшифровка понятия «функциональная зависимость» звучит так: «Это форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями или отражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение других» [3, с. 91]. В толковом словаре по социологии дается такое определение: «Функциональная зависимость — это устойчивый способ активного взаимоотношения вещей» [6, с.114]. Л. Г. Суменко считает иначе: «Функциональная зависимость — это соответствие одного или нескольких значений одной переменной с другой» [7, с.119].
И. В. Погодина считает, что опосредованная пропедевтика предполагает постепенную функциональную подготовку, не требующую ни специальной терминологии, ни символики; достаточно последовательно проводить идею изменяемости окружающего мира; взаимозависимости между величинами, используя для этой цели материал школьных учебников [5]. В обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. «В эту систему входят такие компоненты:
— представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике;
— представление о функции как о соответствии;
— построение и использование графиков функций, исследование функций;
— вычисление значений функций, определенных различными способами.
В процессе обучения математике все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них». [5, с. 99]
По мнению Д. Б. Эльконина, для организации учебной деятельности учащихся, направленной на эффективную подготовку к формированию представлений о функциональной зависимости, должны выполняться следующие условия: «Наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких, как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания; систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий» [3, с. 108].
В настоящее время считается общепринятым использовать учебные задания, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции, должны характеризоваться:
— вариативностью;
— неоднозначностью решений;
— нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение);
— отображением разнообразных закономерностей и зависимостей;
— включенностью их в содержательную линию курса математики начальных классов.
В обобщенном виде представленные особенности понятия «функциональная зависимость» могут быть представлены в таблице 2.
Таблица 2
Сравнительная характеристика понятия «функциональная зависимость»
|
Автор |
Формулировка понятия «функциональная зависимость» |
|
Н. Ш. Фусса |
Выражение, состоящее из переменной, соединенной с постоянными величинами. |
|
Ф. К. Туктарова |
Функциональная зависимость — это зависимость одной переменной от другой. |
|
Словарь под ред. И. Т. Фролова |
Функциональная зависимость — форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение других. |
|
Толковый словарь по социологии |
Устойчивый способ активного взаимоотношения вещей |
|
Л. Г. Суменко |
Соответствие одного или нескольких значений одной переменной с другой. |
Анализ таблицы позволяет сделать вывод, что под умением устанавливать функциональную зависимость мы будем понимать выражение объективно существующей связи между предметами и явлениями действительности.
Ознакомившись с сущностью и содержанием умения устанавливать функциональную зависимость, можно перейти к анализу ФГОС НОО по математике во втором классе и различных УМК современных образовательных систем.
В ФГОС НОО отмечается необходимость сформированности следующих умений после изучения курса математики во втором классе:
«— читать, записывать, сравнивать, упорядочивать числа в пределах 100;
— находить число, большее/меньшее данного числа на заданное число, большее данного числа в заданное число раз;
— умножение и деление с использованием таблицы умножения;
— выполнять проверку результата вычислений;
— знать взаимосвязь компонентов и результатов действий умножения и деления;
— использовать переместительное свойство сложения при вычислениях;
— − находить неизвестный компонент сложения, вычитания;
— уметь преобразовывать одни единицы данных величин в другие;
— сравнивать величины длины, массы, времени, стоимости, устанавливая между ними соотношение «больше/меньше на»;
— решать текстовые задачи в одно-два действия на применение смысла арифметического действия (сложение, вычитание, умножение, деление): моделировать задачу (используя предметную модель, рисунок), представлять задачу графически (краткая запись, схема, таблица), планировать ход решения, оформлять его в виде действий, записывать и проверять ответ;
— находить и объяснять с использованием математической терминологии закономерность в ряду объектов повседневной жизни, чисел, геометрических фигур;
— извлекать и использовать информацию, представленную в простейших таблицах (таблицы сложения, умножения, график дежурств, наблюдения в природе и пр.) и столбчатых диаграммах для решения учебных и практических задач;
— представлять информацию в заданной форме: дополнять текст задачи числами, заполнять строку/столбец таблицы, указывать числовые данные на рисунке (изображении геометрических фигур), схеме;
— − применять в учебных и практических ситуациях алгоритмы/правила устных и письменных вычислений, измерений и построений геометрических фигур [9, с. 81].
В УМК «Школа России» (авторы учебника «Математика» М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова) в структуре программы можно выделить общие положения, общие этапы, которые имеют место при изучении каждой из величин в начальных классах:
«1) выясняются и уточняются представления детей о данной величине (жизненный опыт ребенка);
2) проводится сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, непосредственным сравнением с использованием различных условных мерок и без них);
3) проводится знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором;
4) формируются измерительные умения и навыки;
5) выполняется сложение и вычитание значений однородных величин, выраженных в единицах одного наименования (в ходе решения задач);
6) проводится знакомство с новыми единицами измерения величины;
7) выполняется сложение и вычитание значений величины, выраженных в единицах двух наименований;
8) выполняется умножение и деление величины на отвлеченное число» [10, с.124].
В ходе формирования у учащихся представления о величинах создаются возможности для пропедевтики понятия функциональной зависимости. Основной упор при формировании представления о функциональной зависимости делается на раскрытие закономерностей того, как изменение одной величины влияет на изменение другой, связанной с ней величины. Эта взаимосвязь может быть представлена в различных видах: рисунком, графиком, схемой, таблицей, диаграммой, формулой, правилом [2].
В УМК «Перспектива» (автор учебника «Математика» Л. Г. Петерсон) функциональная линия строится вокруг понятия функциональной зависимости величин, которая является промежуточной моделью между реальной действительностью и общим понятием функции и служит, таким образом, основой изучения в старших классах понятия функций. «Учащиеся наблюдают за взаимосвязанным изменением различных величин, знакомятся с понятием переменной величины, и к 4 классу приобретают значительный опыт фиксирования зависимостей между величинами с помощью таблиц, диаграмм, графиков движения и простейших формул. Так, учащиеся строят и используют для решения практических задач формулы площади прямоугольника, объёма прямоугольного параллелепипеда, пути, стоимости, работы и др. При исследовании различных конкретных зависимостей дети выявляют и фиксируют на математическом языке их общие свойства, что создаёт основу для построения в старших классах общего понятия функции, понимания его смысла, осознания целесообразности и практической значимости» [2, с. 87].
В УМК «Планета Знаний» авторы учебника «Математика» М. И. Башмаков, М. Г. Нефёдова большее внимание уделяют формированию функциональной зависимости посредством познавательных универсальных учебных действий. Авторы выделяют следующие предметные результаты изучения курса математики во втором классе:
«К концу второго класса учащиеся научатся:
— наблюдать за свойствами чисел, устанавливать закономерности в числовых выражениях и использовать их при вычислениях;
— выполнять вычисления по аналогии;
— соотносить действия умножения и деления с геометрическими моделями (площадью прямоугольника).
А также, учащиеся получат возможность научиться:
— сопоставлять условие задачи с числовым выражением;
— сравнивать разные способы вычислений, решения задач;
— комбинировать данные при выполнении задания;
— исследовать зависимости между величинами (длиной стороны прямоугольника и его периметром, площадью; скоростью, временем движения и длиной пройденного пути) [11, с. 54].
Таким образом, анализ психолого-педагогической, методической литературы и нормативных документов по рассматриваемому вопросу, позволяет сделать вывод, что современные программы по математике для начальной школы содержат множество заданий, которые можно использовать в качестве учебного материала для пропедевтики функциональной линии. Задача учителя состоит в грамотной организации работы обучаемых с подобными заданиями, ведь усвоение основ функциональной зависимости в период начального обучения математике оказывает позитивное влияние на формирование информационной и алгоритмической культуры младших школьников, способствующей овладению функциональной грамотности учащихся в средней школе.
Литература:
1. Харламов И. Ф. Педагогика. 2-е издание, переработанное и дополненное. -Москва. «Высшая школа». — 2010. — 206 с.
2. Ломов Б. Ф. Вопросы общей педагогической и инженерной психологии / Б. Ф. Ломов. — М.: Педагогика, 2008. — 296 с.
3. Бойко Е. И. Еще раз об умениях и навыках/ Е. И. Бойко // Вопросы психологии. — 2006. — № 1. — С. 133–139.
4. Ашмарин Б. А. Двигательные умения и навыки / Б. А. Ашмарин. — Теория и методика физического воспитания: Учебное пособие. М., 2004. С. 65–75.
5. Гурьянов Е. В. Навык и действие // Учебник МГУ. — 2002. — Вып. 90. С. 133–391.
6. Рудик П. А. Психология. — М., 2000. С. 196–208.
7. Бабанский, Ю. К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса / Ю. К. Бабанский.– М.: Просвещение, 2002. — 192 с.
8. Дьяченко М. И., Кандыбович Л. А. Психологический словарь-справочник / М. И. Дьяченко, Л. А. Кандыбович. — М.: АСТ, 2001. — 576 с.
9. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования / Министерство образования и науки РФ. — М.: Просвещение, 2010. — 111 с.
10. Примерная программа по математике 2 класс Башмакова М. И., Нефёдовой М. Г. УМК «Планета знаний»// М. И. Башмаков, М. Г. Нефёдова. — Москва: АСТ: Астрель, 2014. — С. 318
11. Предметная линия системы «Школа России» 1–4 классы: — пособие для учителей общеобразоват. организаций /М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова и др. — М.:Просвещение, 2014. — 124 с.
