Исследование задачи Коши для некоторого возмущенного алгебро-дифференциального уравнения первого порядка на явление погранслоя | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 29 августа, печатный экземпляр отправим 16 сентября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №25 (315) июнь 2020 г.

Дата публикации: 15.06.2020

Статья просмотрена: 7 раз

Библиографическое описание:

Усков, В. И. Исследование задачи Коши для некоторого возмущенного алгебро-дифференциального уравнения первого порядка на явление погранслоя / В. И. Усков, А. Г. Пантелеева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 25 (315). — С. 84-88. — URL: https://moluch.ru/archive/315/71762/ (дата обращения: 15.08.2020).



Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка, возмущенного операторной добавкой в правой части, содержащей малый параметр. Перед производной находится вырожденный операторный коэффициент. Этот коэффициент является фредгольмовским оператором с нулевым индексом, имеющим одномерное ядро. В работе приводится алгоритм исследования задачи на наличие явления погранслоя, вызываемым наличием малого параметра. Алгоритм иллюстрируется примером с конкретными значениями операторных коэффициентов.

Ключевые слова: задача Коши, алгебро-дифференциальное уравнение, фредгольмов оператор, малый параметр, явление погранслоя, уравнение ветвления.

Рассматривается задача Коши:

(1)

(2)

где , , — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства в банахово пространство с всюду плотной в областью определения; — голоморфная в окрестности точки функция; ; .

Уравнением (1) описывается межотраслевой баланс [1], продольные колебания молекул ДНК, подача сырья при работе лесопромышленной системы [2] и т. д.

Исследуется влияние малого параметра на качественные свойства решения. В случае вырожденного оператора это влияние может быть значительным, вплоть до разрушения системы. Иллюстрацией этого является «эффект бабочки» ‒ незначительное влияние на систему может иметь большие и непредсказуемые последствия в другом месте и в другое время.

В экономике (динамический межотраслевой баланс (Леонтьев)) невыполнение условий регулярности вырождения влечет большое расхождение между планируемым объемом производства () и полученным на практике.

Пример исследования этой модели на наличие явления погранслоя приведен в [3].

Малый промежуток (в данном случае ), в котором происходит резкое изменение решения, называется пограничным слоем (погранслоем).

К вырожденным относятся операторы, обладающие свойством фредгольмовости.

Приведем необходимые сведения.

Свойство. Линейный оператор , действующий из банахова пространства в банахово пространство , обладает свойством фредгольмовости (с нулевым индексом), если имеют место следующие разложения в прямые суммы подпространств

(3)

где — ядро оператора , — прямое дополнение к ядру, — образ оператора , — дефектное подпространство; размерности ; сужение оператора на имеет ограниченный обратный [4].

Замечание 1. Всякий линейный оператор , задаваемый вырожденной квадратной матрицей, фредгольмов [5].

Замечание 2. Всякий линейный оператор , задаваемый числовой матрицей, ограничен [6].

Определение 1. Ограниченная функция , определенная на , называется функцией погранслоя вблизи точки , если при имеет место следующее поведение: на для любых и на [7].

Определение 2. Взадаче (1), (2) имеет место явление погранслоя, если

,

где — решение предельной задачи для задачи (1), (2). Условия, при которых имеет место явление погранслоя, называются условиями регулярности вырождения.

1. Исследование задачи (1), (2) на явление погранслоя

Перейдем к исследованию задачи (1), (2) на наличие явления погранслоя.

Здесь и далее рассматривается случай фредгольмова оператора , имеющего одномерное ядро.

Вводится: проектор на , полуобратный оператор

: , где обозначен единичный оператор в соответствующем подпространстве. Фиксируются элементы , , . В вводится скалярное произведение так, что .

Задача (1), (2) называется допредельной. А задача, в которой формально положено :

называется предельной. Предельная задача с данными из настоящего введения решена в работе [8].

Зададим условие.

  1. Операторная пара (, ) регулярна.

Определение 3. Последовательность элементов , , определяемых формулой

назовем B-жордановой цепочкой .

Теорема 1. Операторная пара (, ) регулярна тогда и только тогда, когда -жорданова цепочка конечна [8].

Приведем результаты, полученные в работах [9], [10].

Вводится сумма по всевозможным перестановкам из элементов и элементов :

операторы, действующие из в :

коэффициенты , определяемые равенствами

Получено уравнение ветвления, помогающее выявлять наличие явления погранслоя в задаче и определять вид функций погранслоя

Регулярность операторной пары означает, что существует [8]

Число ‒ это длина B-жордановой цепочки .

Замечание 3. При имеет место равномерная сходимость решения задачи (1), (2) крешению предельной задачи.

Предположим далее, что .

Кроме того, зададим еще условия.

  1. Операторы , ограничены.
  2. Существует такое число , что

Тогда имеет место

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1–3. В задаче (1), (2) имеет место явление погранслоя при выполнении условия

(4)

2. Исследование одного линейного оператора на свойство фредгольмовости

Предложение. Линейный оператор

фредгольмов.

Доказательство. Строим подпространства:

Ядро и коядро конечномерны и имеют единичную размерность. Выполнение , влечет разложения (3). Оператор

ограничен. Далее,

следовательно, фредгольмов.

3. Пример

Исследовать на наличие явления погранслоя следующую задачу Коши в , заданную на отрезке :

(5)

(6)

где ‒ голоморфные в окрестности точки функции, ‒ параметры, , .

1. Выпишем матрицы линейных операторов :

2. Оператор фредгольмов, что было доказано в предыдущем пункте.

3. Проверим условие 1. Вычисления показывают, что

Следовательно, если , то : операторная пара регулярна, длина B-жордановой цепочки оператора равна .

Пусть теперь . Имеем:

Поскольку (так как по условию ), следовательно, операторная пара регулярна, длина B-жордановой цепочки оператора равна

.

  1. Проверим условие 2. Операторы

ограничены в силу замечания 2.

  1. Проверим условие 3, вычислив значения при каждом :

Оно выполнено, поскольку по условию .

  1. Далее,

тогда неравенство (4) будет выполнено при условии .

Тем самым, применив замечание 3 и теорему 2, получим следующий результат.

Теорема 3. При выполнении условия имеет место равномерная сходимость решения допредельной задачи (5), (6) кпредельной задаче.

Теперь пусть . При выполнении условия в задаче (5), (6) имеет место явление погранслоя.

Литература:

  1. Экономико-математические методы и модели. Под ред. А. В. Кузнецова, Минск, БГЭУ, 2000.
  2. Игнатенко, В. В. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок / В. В. Игнатенко, И. В. Турлай, А. С. Федоренчик. — Учебное пособие для студентов по специальности «Лесоинженерное дело». — Мн.: БГТУ, 2004.
  3. Кащенко, М. А. Исследование возмущенной модели Леонтьева межотраслевого баланса / М. А. Кащенко, В. И. Усков // Материалы международной научной конференции «Воронежская зимняя математическая школа — 2020». — Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2020. — С. 147–149.
  4. Никольский, С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1943. — Т. 7, вып. 3. — С. 147–166.
  5. Гельфанд, И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. — Москва: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с.
  6. Бирман, М. Ш. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман, Н.Я Виленкин,Е. А. Горин. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
  7. Zubova, S. P. The role of perturbations in the Cauchy problem for equations with a Fredholm operator multiplying the derivative / S. P. Zubova // Doklady Mathematics. — 2014. — Vol. 89. — P. 72–75.
  8. Зубова, С. П. Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной / С. П. Зубова. — Автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук. — Воронеж, 1973. — 11 с.
  9. Zubova, S. P. Asymptotic Solution of the Cauchy Problem for a First-Order Equation with a Small Parameter in a Banach Space. The Regular Case / S. P. Zubova, V. I. Uskov // Mathematical Notes. — 2018. — Vol. 103, no. 3. — P. 395–404.
  10. Усков, В. И. О погранслое для дескрипторного уравнения с малым параметром / В. И. Усков // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика: сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции «Прикладная математика. Математическое моделирование систем и механизмов». — Воронеж: ВГЛТУ, 2017. — № 10, ч. 5 (36). — С. 541–543.
Основные термины (генерируются автоматически): задача, линейный оператор, наличие явления, операторная пара, банахово пространство, малый параметр, оператор, выполнение условия, место, предельная задача.


Ключевые слова

задача Коши, алгебро-дифференциальное уравнение, фредгольмов оператор, малый параметр, явление погранслоя, уравнение ветвления

Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

пространство -мерных вектор-столбцов с нормой ; - пространство суммируемых в –ой степени на отрезке.

Обозначим через оператор Грина краевой задачи.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Применение метода линейного программирования для решения...

Задача линейного программирования заключается в изучении способов нахождения наибольшего или наименьшего значений некоторой линейной функции при наличии линейных ограничений [1, 2, 3]. Функция, наибольшее или наименьшее значение которой необходимо...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве [1]. Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Например, спектр задачи о малых колебаниях стержня в отличие от задачи о малых

. Так как в рассматриваемом случае выполняются все условия теоремы о преобразовании системы

Пусть - симметрический квазидифференциальный оператор с индексом дефекта , а - его...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Условия существования собственных значений одной операторной... Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных...

Описание существенного спектра матричной модели...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

пространство -мерных вектор-столбцов с нормой ; - пространство суммируемых в –ой степени на отрезке.

Обозначим через оператор Грина краевой задачи.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Применение метода линейного программирования для решения...

Задача линейного программирования заключается в изучении способов нахождения наибольшего или наименьшего значений некоторой линейной функции при наличии линейных ограничений [1, 2, 3]. Функция, наибольшее или наименьшее значение которой необходимо...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве [1]. Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Например, спектр задачи о малых колебаниях стержня в отличие от задачи о малых

. Так как в рассматриваемом случае выполняются все условия теоремы о преобразовании системы

Пусть - симметрический квазидифференциальный оператор с индексом дефекта , а - его...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Условия существования собственных значений одной операторной... Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных...

Описание существенного спектра матричной модели...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Задать вопрос