Автор: Зайцева Мария Владимировна

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №6 (29) июнь 2011 г.

Статья просмотрена: 506 раз

Библиографическое описание:

Зайцева М. В. Компенсация возмущений и помех при управлении линейным объектом по выходу // Молодой ученый. — 2011. — №6. Т.1. — С. 54-58. — URL https://moluch.ru/archive/29/3339/ (дата обращения: 13.12.2017).

1. Введение

Построение системы, обеспечивающей требуемое качество при воздействии на объект внешних возмущений, является одной из основных проблем современной теории управления. В классе задач робастного управления существует большое число методов и подходов к решению данной задачи. Наиболее полно робастная теория и библиография по ней представлена в [1]. Алгоритм управления, построенный с использованием внутренней модели гармонических колебаний, получен в [2-5]. Но одной из основных проблем при синтезе систем управления, позволяющих компенсировать возмущения, является задача формирования сигнала, несущего информацию о них, и позволяющего использовать его для получения нужных оценок. И эта проблема решена в [6-9], где используется метод вспомогательного контура, который позволяет выделить сигнал, несущий информацию о помехах, получить требуемые оценки и скомпенсировать нежелательное воздействие помех на регулируемые параметры.
В данной работе предложен способ построения системы управления для линейного объекта, у которого все параметры известны, а на входе и на регулируемом выходе действуют возмущения, причем возмущения эти различны, причем для этого не требуется никаких априорных знаний о параметрах внешних возмущениях. Спроектированная система управления позволяет скомпенсировать влияние помех на регулируемые переменные с заданной точностью и сделать их независимыми от не измеряемых неограниченных возмущений на входе системы. Основные результаты получены с использованием технологии конструктивного вложения систем [10] и метода вспомогательного контура [6-9].
  1. Постановка задачи

Объект управления задан в виде уравнений (1) – (3):

(1)

(2)

(3)

где , , , – векторы состояния, управления, измеряемых и регулируемых параметров соответственно, – вектор внешних возмущений, – шум на выходе статического звена модели системы; – начальные условия;– числовые матрицы соответствующих порядков.
Требуется получить алгоритм функционирования системы управления, которая обеспечивает выполнение целевого условия
(4) при ,
где – достаточно малая величина, – время, по истечении которого должна обеспечиваться требуемая динамическая точность после включения системы в работу.

Предположения:

  1. пара – управляема, а пара – наблюдаема;

  2. возмущение на входе системы – ограниченная функция;

iii) помеха на выходе системы – ограниченная функция;

iv) все матрицы в (1) – (3) известны.

Другие ограничения будут приведены в условиях утверждения.

  1. Метод решения

Будем формировать вектор управления в виде

(5) ,

где – вспомогательное управление измерением; – числовая матрица регулятора.
    1. Предварительные сведения о канонизации матриц

Если матрица неполная (необратимая), она содержит линейно зависимые строки и/или столбцы. Для описания линейной зависимости и независимости строк и столбцов матрицы удобно использовать понятия делителей нуля максимального ранга и канонизаторов. В [10] канонизацией названо не обязательно единственное разложение любой матрицы размера и ранга на четверку матриц, удовлетворяющих следующему равенству в блочной записи
где и – левый и правый делители нуля максимального ранга, и – левый и правый канонизаторы (, – единичная матрица размера ). Для любой матрицы левый (правый ) делитель нуля максимального ранга характеризует все линейно зависимые комбинации строк (столбцов) исходной матрицы в соответствии с тождеством
().
При решении матричных уравнений методом канонизации используется понятие сводного канонизатора , вычисляемого по формуле
и удовлетворяющего условиям регулярности по Нейману
, .
Сводный канонизатор характеризует совокупность линейно независимых комбинаций строк и столбцов исходной матрицы. Частным случаем сводного канонизатора является псевдообратная матрица по Муру – Пенроузу . Для матрицы полного строчечного ранга сводный канонизатор совпадает с правым делителем единицы
,
а для матрицы полного столбцового ранга – с левым делителем единицы
.
Правым (левым) делителем единицы для матрицы размера полного строчечного (столбцового) ранга называется матрица (), удовлетворяющая условию
().
Для определения параметров регулятора, воспользуемся утверждением, сформулированным В.Н. Буковым [10, с.473].
Утверждение 1. Система (1) – (3) при заданных матрицах обладает инвариантностью к возмущениям в смысле тождества
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) существует ненулевая калибровочная матрица инвариантности , для которой выполняется условие
,
;
2) матрица эффективности возмущения принадлежит множеству
,
где – произвольная числовая матрица подходящего размера;
3) система, замкнутая любым регулятором (6) из множества
(6) ,
где – матрицы подходящих размеров с произвольными элементами [10].
    1. Синтез управления

Используем закон управления (5), тогда уравнение объекта (1) (3) примет вид
,
где матрица Гурвицева, то есть собственные числа удовлетворяют условию . С помощью технологии конструктивного вложения систем, определив регулятор по формуле (6), мы добиваемся того, что передаточная функция от возмущения к регулируемому выходу станет равна нулю, и, соответственно, компонента компенсируется. Далее перейдем к представлению системы в виде вход – выход,
(7)
где – оператор дифференцирования; , - транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы ; , .
Далее воспользуемся методом вспомогательного контура, и выделим сигнал, несущий информацию о помехах, для чего возьмем подсистему, которая описывается уравнением
(8) ,
и составим уравнение для сигнала рассогласования , вычитая (8) из (7):
(9) .
Из уравнения (9) выделим сигнал
(10) .
Для реализации (10) требуется гурвицевость полинома , что можно обеспечить соответствующим подбором матрицы . Однако такой подбор не всегда возможен. Таким образом, должна существовать матрица , обеспечивающая гурвицевость полиному , что является дополнительным ограничением, не оговоренным в предположении. Поскольку , то (9) реализуемо, и сформировав вспомогательный сигнал управления в виде
(11)
получим уравнение для вектора состояния объекта
,
Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений и существует матрица , обеспечивающая устойчивость числителя передаточной функции (8). Тогда управляющее устройство, динамические процессы в котором описываются уравнениями (5), (6), (8), (11) обеспечивает выполнение целевого условия (4).
  1. Пример

Рассмотрим задачу стабилизации для объекта управления, динамические процессы в котором описываются уравнениями (1) – (3).
, , , , .
Формируем закон управления в виде .
Условия утверждения 1 выполняются. Для упрощения примем все варьируемые параметры равными нулю и получим следующую матрицу регулятора
Вспомогательное управляющее воздействие формируем в виде
,
где , . Для рассматриваемого примера получим следующее вспомогательное управляющее воздействие
.
Тогда получим матрицу во вспомогательном контуре

, с собственными числами .

На рис. 1 приведены результаты моделирования системы управления при следующих исходных данных: начальные условия , возмущающие воздействия на входе и , шум на выходе представляет собой случайный сигнал.

Рис. 1. Переходные процессы в системе, когда случайный сигнал

В данном случае целевое условие выполняется через 8 секунд.
  1. Заключение

Решена задача построения робастной системы управления линейным стационарным объектом без запаздываний и каких-либо ограничений на управление, которая позволила скомпенсировать возмущения на входе и на выходе системы, причем возмущения эти различны. Спроектированная система управления позволяет скомпенсировать влияние возмущения на регулируемые переменные с заданной точностью, что продемонстрировано на примере.


Литература:

  1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002.

  2. Никифоров В.О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4. С. 69-73.

  3. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 93-97.

  4. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // АиТ. 2004. № 10. С. 13-24.

  5. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с неизвестными параметрами // АиТ. 2004. № 11. С. 40-48.

  6. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // АиТ. 2007. № 7. С. 103-115.

  7. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления нестационарным объектом с компенсацией возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 33-40.

  8. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления линейным динамическим объектом // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 8. С. 7-12.

  9. Цыкунов А.М. Компенсация возмущений и помех при децентрализованном управлении по косвенным измерениям // АиТ. 2010. № 4. С. 120-129.

  10. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Изд-во науч. литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.

Основные термины (генерируются автоматически): системы управления, Алгоритм робастного управления, внешних возмущений, управления линейным, нуля максимального ранга, робастного управления линейным, Цыкунов А.М, Наблюдатели внешних возмущений, Спроектированная система управления, линейным объектом, Компенсация возмущений, матрицы размера, вспомогательного контура, исходной матрицы, управления линейным объектом, матрица эффективности возмущения, системы управления линейным, матрицы полного, закон управления, управлении линейным объектом.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос