Математическая модель АД в неподвижной системе координат c переменными

При выполнении студентами дипломных и курсовых работ, связанных с моделированием асинхронного двигателя, возникает необходимость увеличения вариантов их модификаций. Одним из способов решения этой задачи является возможность выразить электромагнитный момент через различную комбинацию переменных токов и потокосцеплений двигателя [1, c.238] и [2]. Данная статья позволяет сформировать у студентов представление об одном из множества вариантов моделирования АД в «Matlab-Simulink» и «MathCAD». Вывод уравнений даем без сокращений, т. к. важен не только конечный результат, но и путь, ведущий к цели.

Основные уравнения математической модели АД, записаны в векторной форме в относительных единицах, имеют следующий вид [3]:

(1)

(2)

(3)

(4)

Рассмотрим асинхронный двигатель с К.З. ротором ().

Определим электромагнитный момент по следующей формуле [1, с.238]

Исключим из системы уравнений и :

Исключим из системы уравнений :

Вычтем второе уравнение из первого:

Разделим обе части уравнения на :

Обозначим:,.

Тогда уравнение примет вид:

Исключим из системы уравнений :

Вычтем первое уравнение из второго:

Разделим обе части уравнения на :

Обозначим:,.

Тогда уравнение примет вид:

Рассмотрим процессы в неподвижной системе координат, , :

Вещественную ось обозначим , а мнимую через . Пространственные вектора в этом случае раскладываются по осям:

; ; ;

Подставим эти значения в уравнения и, приравняв отдельно вещественные и мнимые части, получим:

(**)

С учетом электромагнитных моментов система уравнений в операторной форме примет вид:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Структурная схема для уравнения (1):

Структурная схема для уравнения (2):

Структурная схема для уравнения (3):

Структурная схема для уравнения (4):

Структурная схема для уравнения (5) и (6):

Структурная схема для уравнения (7):

Структурная схема для уравнения (8):

Для моделирования выберем АКЗ со следующими паспортными данными и параметрами: , , , , , , , , , , , , .

Модель АКЗ, построенная по уравнениям (1) – (6), представлена на рис. 1.

На вход модели в момент времени подаются напряжения , , (), тем самым реализуя прямой пуск.

Осциллоскопы измеряют относительные значения электромагнитного момента и скорости. Результаты моделирования представлены на рис. 2.

Рис. 1. Модель АКЗ в неподвижной системе координат с переменными

Рис. 2. Результаты моделирования, относительные значения электромагнитного момента и скорости

Проверку решения произведем в программном пакете «MathCAD 14».

Систему уравнений (**) преобразуем в систему однородных дифференциальных уравнений (ОДУ):

Нелинейные уравнения оставим без изменения:

В систему ОДУ подставим значения потокосцеплений (ψma, ψmb) и момента m.

Затем правые части ОДУ запишем в матричной форме, состоящей из 5 строк и одного столбца, в результате получим:

В которой:

Причем mc(t) – статический момент на валу двигателя.

Зададим начальные условия isa(0) = 0, isb(0) = 0, v(0) = 0.

Далее зададим функцию решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты четвертого порядка:

где tn – время начала расчета;

tk – время конца расчета;

y – начальные условия;

10000 – количество рассчитываемых точек;

f – функция, заданная матрицей, состоящей из правых частей ОДУ

Чтобы вывести функцию f = m(t) зададим индекс n в пределах 0..10000 и получим:

Результаты решения приведены на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Функция v(t).

Рис. 4. Функция m(t).

Литература:

1. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов

2. переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000. 654 с.

3. Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем Matlab 6.0: Учебное пособие. – Спб.: Корона принт. 2001. – 320с., ил.

4. Емельянов А.А., Клишин А.В., Медведев А.В. Математическая модель АД в неподвижной системе координат с переменными [Текст] / Молодой ученый. – 2010. -№4. – С. 8-24.

5. Шрейнер Р.Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления. Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. 361 с.