Существование периодической траектории в модифицированной модели Калдора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 28 декабря, печатный экземпляр отправим 1 января.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №1 (135) январь 2017 г.

Дата публикации: 06.01.2017

Статья просмотрена: 304 раза

Библиографическое описание:

Асеев, А. С. Существование периодической траектории в модифицированной модели Калдора / А. С. Асеев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 1 (135). — С. 103-108. — URL: https://moluch.ru/archive/135/37870/ (дата обращения: 16.12.2024).



В статье рассматривается нелинейная экономическая модель бизнес-цикла Николаса Калдора. Дается строгое обоснование применения теоремы Пуанкаре-Бендиксона о существовании периодической траектории. Приводятся результаты численного моделирования.

Ключевые слова: модель Калдора, теорема Пуанкаре-Бендиксона, периодическая траектория

В последние годы нелинейные модели экономической динамики привлекают внимание многих исследователей, как экономистов, так и математиков. С одной стороны этот интерес обусловлен практической необходимостью, поскольку во многих ситуациях математическое моделирование является единственным средством исследования сложных экономических процессов. С другой стороны, моделирование экономических систем часто приводит к постановкам новых содержательных математических задач. Особый интерес представляет изучение нелинейных моделей экономической динамики, способных генерировать циклические движения, которые могут интерпретироваться, как периодически повторяющиеся кризисные явления.

Одной из таких экономических моделей, в которой возможна циклическая динамика, является известная модель бизнес-цикла Николаса Калдора, предложенная в 40-е годы ХХ века (см. [1]). Данная модель описывает динамику национального дохода и основных производственных фондов (капитала) абстрактной экономики в зависимости от заданных функций инвестиций и сбережений. Основная идея модели Калдора состоит в том, что возникающие в экономике циклы могут иметь внутреннюю (эндогенную) природу, связанную с нелинейностями, присущими рассматриваемым экономическим процессам.

В статье обосновывается применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона (см. [2]) о существовании периодических траекторий к модифицированной версии модели Калдора. Приведены результаты численного моделирования в среде MAPLE.

Модифицированная модель Калдора

Рассмотрим следующую модификацию модели Калдора:

(1)

здесь и — величины национального дохода и основных производственных фондов (капитала) в момент , — поправочный коэффициент, характеризующий скорость реакции системы, — норма амортизации основных фондов, и — заданные функции инвестиций и сбережений.

Будем считать, что функции инвестиций и сбережений имеют следующий вид:

(2)

где , и — такая положительная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, что , , и существует такое , что если и если . Заметим, что данная модель отличается как от исходной модели Калдора (см. [1]), так и от ее версии, рассмотренной в работе [3]. В нашем случае функция сбережений не зависит от фазовой переменной , а зависит только от переменной . Кроме того, функция инвестиций — неотрицательная (см. (2)).

Известно (см. [3]), что в общем случае система (1) может иметь от одного до трех положений равновесия, которые могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. В некоторых случаях система (1) может демонстрировать циклические движения. Такое поведение траекторий системы можно интерпретировать, как возникающие в экономике циклы экономического подъема с последующими спадами (т. е. кризисами).

Определим открытое множество и кривую следующим образом:

(3)

(4)

Очевидно, что кривая делит множество на две части:

Заметим, что в силу непрерывности функции инвестиций (см. (2)) и стандартной теоремы существования решения дифференциального уравнения (см. [2]), для любого начального состояния соответствующее решение системы (1) с начальными условиями существует на некотором ненулевом интервале . Поскольку во внутренности множества и во множестве функция непрерывно дифференцируема, а произвольное решение системы (1) можете пересекать кривую только в изолированные моменты времени (данный факт легко проверяется непосредственно), то для любого начального состояния решение соответствующей задачи Коши единственно. Далее, в силу ограниченности функции инвестиций все траектории системы (1) с начальным состоянием определены на бесконечном интервале .

Пусть — любое число, превосходящее максимальный корень уравнения . Обозначим через прямоугольник

а через , , и — его стороны:

Кривая (см. (4)) делит прямоугольник на две части:

В множестве система (1) имеет вид

(5)

Соответственно, в множестве система (1) имеет вид

(6)

Следующий результат обосновывает применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона к системе (1) с функцией инвестиций (2).

Теорема 1. Для любого сколь угодно малого существует такая непрерывная замкнутая кривая без самопересечений , отстоящая от границы множества не более чем на (в хаусдорфовой метрике), что в каждой точке векторное поле системы (1) направлено во внутрь множества .

Доказательство. Непосредственно проверяется, что на сторонах , и прямоугольника векторное поле системы (1) направлено во внутрь множества . В точке правая часть системы (1) принимает значение . Выберем произвольное . Для любого достаточно малого рассмотрим отрезок , где — точка кривой , отстоящая от на малое расстояние , а — точка пересечения стороны и прямой, проходящей через точку с углом наклона (см. рис. 1).

999.jpg

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству теоремы 1. Векторное поле системы (1). Множество

Поскольку функция — возрастающая вблизи 0, то при всех достаточно малых отрезок лежит ниже кривой . А так как , то при всех сколь угодно малых в каждой точке этого отрезка векторное поле системы (1) направленно внутрь множества . При этом для всех достаточно малых значений отрезок отстоит от кривой не более чем на величину .

Наряду с точкой рассмотрим лежащую справа от неё на расстоянии точку на кривой . Пусть и — кривые, образованные траекториями системы (6) приходящими в точки и из множества . В силу вида системы (6) такие траектории существуют и при всех достаточно малых и они не имеют общих точек с кривой , кроме и . Пусть и — точки пересечения кривых и со стороной прямоугольника . Поскольку обе кривые и являются графиками траекторий системы (6), то несложно показать, что существует такая кривая , соединяющая точки и , что она трансверсальна векторному полю системы (6), т. е. векторное поле системы (1) на кривой направленно внутрь множества .

Пусть , , и — стороны прямоугольника , лежащего внутри прямоугольника и отстоящего от него на малую величину . Рассмотрим замкнутую непрерывную кривую состоящую из сторон , прямоугольника , части его стороны , лежащей правее ее пересечения с , части кривой до точки , части отрезка , до пересечения с и оставшейся части стороны . Выбирая при фиксированном произвольно малом сначала достаточно малое , а затем достаточно малое получаем непрерывную замкнутую кривую лежащую внутри прямоугольника , и отстоящую от его границы не более чем на величину . По построению эта кривая не имеет точек самопересечения и при всех достаточно малых в каждой точке векторное поле системы (1) направлено во внутрь множества . □

Следствие. Из доказанной теоремы вытекает, что в случае, когда система (1), взятая с функциями инвестиций и сбережений (2), имеет в области единственное неустойчивое положение равновесия, в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона [2], она имеет в области замкнутую периодическую траекторию.

Численное моделирование

Аналогично [4], выберем в качестве функции — логистическую функцию:

(7)

Здесь параметры и — положительные числа. При заданных положительных значениях и соответствующие функции инвестиций и сбережений определяются условиями (2). Очевидно, функция удовлетворяет всем сделанным ранее предположениям.

Следуя [4] выберем следующие значения параметров:

(8)

В этом случае результаты численного моделирования в среде MAPLE показывают, что система (1) имеет периодическую траекторию (см. рис. 2).

pic2.jpg

Рис. 2. Численное моделирование. Периодическая траектория

Действительно, в области система (1) имеет единственное положение равновесия . Матрица линеаризованной в окрестности положения равновесия имеет вид

(9)

Подставляя заданные функции инвестиций и сбережений (см. (2), (7)) и значения параметров (8) получаем, что в этом случае матрица (9) имеет два комплексно-сопряженных собственных значения, имеющих положительные действительные части:

, .

Таким образом, положение равновесия — неустойчивый фокус (см. [5]).

Поскольку — единственное неустойчивое положение равновесия, то в данном случае, в силу теоремы 1 система (1) имеет периодическую траекторию.

Заключение

В статье рассматривается модифицированная модель бизнес-цикла Н. Калдора. Данная модель включает нелинейную систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику капитали и национального дохода в рыночной экономике. Приводится строгое обоснование применения теоремы Пуанкаре-Бендиксона о существовании замкнутых периодических траекторий. При помощи численного моделирования продемонстрирована соответствующая траектория.

Литература:

1. N. Kaldor, A model of trade cycle, The Economic Journal, 1940, vol. 50, No. 197, pp. 78–92.

2. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальный уравнения, М.: Мир, 1970.

3. H. -W. Lorenz, Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion, Berlin, 1993.

4. Т. В. Рязанова, Стохастические аттракторы и индуцированные шумом явления в моделях экономической динамики. Отчет о научно- исследовательской работе, УрФУ, Екатеринбург, 2013.

5. Л. С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальный уравнения, М.: Наука, 1974.

Основные термины (генерируются автоматически): векторное поле системы, численное моделирование, периодическая траектория, MAPLE, множество, система, функция инвестиций, заданная функция инвестиций, национальный доход, начальное состояние.


Ключевые слова

модель Калдора, теорема Пуанкаре-Бендиксона, периодическая траектория

Похожие статьи

Математическое моделирование банкротства предприятия

В данной статье исследуются различные механизмы выплат долгов кредиторам при банкротстве предприятия. Особый интерес представляют механизмы, использующие методы математической теории игр. Проведен обзор задачи в статическом случае и предложен новый п...

Распределение Хотеллинга и его применение

В статье представлено статистическое расстояние и ее отличие от Евклидова расстояния (по прямой линии). Далее представляется одномерная t-статистика Стьюдента и ее обобщение — статистика T^2 Хотеллинга. В заключение показано ее применение на практиче...

Эллиптические кривые в алгоритме Диффи - Хеллмана над полем GF (2m)

Рассмотренная криптосистема Диффи-Хэллмана основана на том, что проблема логарифмирования в конечном простом поле является сложной с вычислительной точки зрения.

Математическая модель конкуренции двух популяций на линейном ареале

Поставлена математическая задача о конкуренции на линейном ареале двух популяций. Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Исследуется устойчивость стационар...

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной прямой с квадратичной особенностью по времени

В работе построено асимптотическое разложение решения задачи Коши для бисингулярной параболического уравнения, в случае, когда решение соответствующего «вырожденного» уравнения имеет полюс второго порядка по времени в начальной точке. Асимптотика реш...

Разработка алгоритма метода Рунге — Кутта четвертого порядка для решения систем дифференциальных уравнений на примере системы Лоренца

В статье приводится краткое описание процесса проектирования и разработки программы алгоритма метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения систем дифференциальных уравнений на примере системы Лоренца.

Построение локально оптимальных систем с использованием проекционного метода

В данной работе рассматривается применение проекционных операторов при разрешении задачи синтеза локально оптимальных управлений объектом, структуру которого можно охарактеризовать наличием нелинейности. В основе рассматриваемой методики лежат проект...

Реализация численного алгоритма метода вариаций в пространстве управлений

В статье разработан алгоритм и реализована программа решения задачи оптимального управления на основе метода вариаций. Реализованный алгоритм был апробирован на тестовых примерах.

Множество Парето в задачи максимизации функции полезности

Решение обратной задачи для параболического уравнения, возникающего при моделировании денежных накоплений семьи

Работа посвящена исследованию обратной задачи для одного параболического уравнения, возникающего при моделировании процесса денежного моделирования. Дополнительная информация для решения обратной задачи задается в некоторой точке. Доказательство суще...

Похожие статьи

Математическое моделирование банкротства предприятия

В данной статье исследуются различные механизмы выплат долгов кредиторам при банкротстве предприятия. Особый интерес представляют механизмы, использующие методы математической теории игр. Проведен обзор задачи в статическом случае и предложен новый п...

Распределение Хотеллинга и его применение

В статье представлено статистическое расстояние и ее отличие от Евклидова расстояния (по прямой линии). Далее представляется одномерная t-статистика Стьюдента и ее обобщение — статистика T^2 Хотеллинга. В заключение показано ее применение на практиче...

Эллиптические кривые в алгоритме Диффи - Хеллмана над полем GF (2m)

Рассмотренная криптосистема Диффи-Хэллмана основана на том, что проблема логарифмирования в конечном простом поле является сложной с вычислительной точки зрения.

Математическая модель конкуренции двух популяций на линейном ареале

Поставлена математическая задача о конкуренции на линейном ареале двух популяций. Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Исследуется устойчивость стационар...

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной прямой с квадратичной особенностью по времени

В работе построено асимптотическое разложение решения задачи Коши для бисингулярной параболического уравнения, в случае, когда решение соответствующего «вырожденного» уравнения имеет полюс второго порядка по времени в начальной точке. Асимптотика реш...

Разработка алгоритма метода Рунге — Кутта четвертого порядка для решения систем дифференциальных уравнений на примере системы Лоренца

В статье приводится краткое описание процесса проектирования и разработки программы алгоритма метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения систем дифференциальных уравнений на примере системы Лоренца.

Построение локально оптимальных систем с использованием проекционного метода

В данной работе рассматривается применение проекционных операторов при разрешении задачи синтеза локально оптимальных управлений объектом, структуру которого можно охарактеризовать наличием нелинейности. В основе рассматриваемой методики лежат проект...

Реализация численного алгоритма метода вариаций в пространстве управлений

В статье разработан алгоритм и реализована программа решения задачи оптимального управления на основе метода вариаций. Реализованный алгоритм был апробирован на тестовых примерах.

Множество Парето в задачи максимизации функции полезности

Решение обратной задачи для параболического уравнения, возникающего при моделировании денежных накоплений семьи

Работа посвящена исследованию обратной задачи для одного параболического уравнения, возникающего при моделировании процесса денежного моделирования. Дополнительная информация для решения обратной задачи задается в некоторой точке. Доказательство суще...

Задать вопрос