Статья посвящена вопросам изучения приемов рациональных вычислений бакалавров педагогико-математического образования.
Ключевые слова: рациональные вычисления, приемы быстрого счета, проектная деятельность, педагогико-математическое образование
Формирование и развитие вычислительных навыков обучающихся — одна из задач школьного математического образования. Решением этой задачи активно занимаются в начальной школе, а также в 5–6 классах. С 7 класса преобладающими в обучении становятся преобразования алгебраических, затем показательных, логарифмических и тригонометрических выражений. Вычислительная работа отодвигается на задний план. На уроках физики или химии активно используются калькуляторы — необходимо обсудить основные аспекты решения задачи, а не тратить время на вычисления. В связи с этим вычислительные навыки школьников либо не формируются вообще, либо частично утрачиваются. Запрет использования калькуляторов и другой вычислительной техники на ЕГЭ по математике приводит к тому, что выпускники делают ошибки даже в простых задачах.
Анализ результатов ЕГЭ по математике показал, что наиболее простую задачу № 1 профильного уровня в 2015 г. не смогли решить около 40 % выпускников: основная причина — арифметические ошибки; значительное число выпускников, сдававших в 2015 г. ЕГЭ по математике базового уровня, не справились с вычислительными заданиями, в среднем, около 30 % участников экзамена не владеют или слабо владеют вычислительными умениями [4]. Анализ ЕГЭ 2016 г. еще впереди, но, видимо, особых изменений не предвидится.
Таким образом, формированию вычислительных навыков, развитию вычислительной культуры обучающихся требуется уделять значительное внимание, систематически изучать рациональные приемы вычислений, постоянно проводить контроль навыков устного счета. Готов ли современный учитель к такой деятельности? Не всегда на этот вопрос можно ответить положительно, поэтому очень важно уделять специальное внимание данным вопросам в профессиональной подготовке будущего учителя математики. Мы считаем, что существует два основных направления решения этой задачи. Первое — введение новых курсов по выбору, специально ориентированных на изучение и обоснование приемов устного счета, второе — включение соответствующих вопросов в проектную работу студентов. Например, в профессионально-образовательном стандарте Южного федерального университета предусмотрен специальный модуль проектной деятельности объемом 9 зачетных единиц (324 часа), реализующийся в течение первых трех лет обучения бакалавра [1]. Его осуществление призвано повысить качество профессионального обучения за счет включения обучающегося в различные виды деятельности. Одной из функций проектной деятельности в обучении является научно-исследовательская [3, с.34].
В качестве примера рассмотрим научно-исследовательский проект «Сельский учитель С. А. Рачинский и его методы и приемы устного счета», выполненный студентами первого курса института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета — бакалаврами педагогического образования с двумя профилями «Математика и информатика».
В рамках этого проекта были рассмотрены следующие приемы рациональных вычислений: умножение чисел, близких к 100, возведение в квадрат любого двузначного числа, способ умножения на число, записанное одними девятками, умножение двузначных чисел, сумма единиц которых равна 10 и другие. Приведем соответствующие примеры.
Умножение чисел, близких к 100.
Предположим, необходимо вычислить произведение чисел a и b. Обозначим 
, 
. Тогда:
.
Таким образом, для того, чтобы перемножить два числа, близкие к 100, необходимо к разности одного из них и дополнению другого до 100 приписать произведение соответствующих дополнений.
Например, 96∙93: 96 = 100–4, 93 = 100–7, 96–7 = 93–4 = 89, 4∙7 = 28, 96∙93 = 8928.
98∙88: 98 = 100–2, 88 = 100–12, 88–2 = 98–12 = 86, 12∙2 = 24, 98∙88 = 8624.
Возведение в квадрат двузначного числа.
Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50:
.
.
.
Для применения этого приема необходимо помнить всего лишь квадраты первых 25 натуральных чисел. Если абсолютная величина разности данного числа и 50 больше 25, то этот прием применяется дважды:
Способ умножения на число, записанное одними девятками.
Для того чтобы найти произведение числа, написанного одними девятками, на число, имеющее с ним одинаковое количество цифр, надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число, все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 10, 100, 1000 и т. д.
Действительно, 
, 
, и, вообще, 
.
Например, 
,
,
и т. д.
Умножение двузначных чисел, сумма единиц которых равна 10.
«Этот прием — измышление 12-летнего мальчугана, усердствовавшего в моей школе по части умственного счета и удивившего меня мгновенным умножением 43 на87…», — писал С. А. Рачинский [2, с.20].
Пусть даны два числа М и К таких, что 
, 
.
Тогда 
Нетрудно составить соответствующее правило.
Например, 
,
,
.
Работа над проектом завершилась публичной защитой и вызвала значительный интерес у студентов не только педагогического отделения, но и других направлений института. Большинство слушателей не были знакомы ни с одним приемом быстрого счета, что свидетельствует об актуальности нашей работы.
В дальнейшем предполагается рассмотреть другие приемы быстрых вычислений. Кроме того, обучение подобным приемам учащихся, проведение контроля устного счета, использование задач Рачинского на уроке требует, разумеется, специальной методики. Созданию подобной методики будет посвящен следующий этап работы над данным проектом.
Таким образом, знание приемов рационального счета позволяет активизировать мыслительную деятельность, развивать логическое мышление, повышать интерес к изучению математики, а, следовательно, является одним из средств повышения качества математического образования.
Литература:
- Приказ ЮФУ от 27.01.2016 г. № 15-ОД О Стандарте проектирования и реализации образовательных программ Южного федерального университета в новой редакции [Электронный ресурс] http://sfedu.ru/pls/rsu/docs/u/U-3319/Folders/file/15-OD.pdf (27.07.2016)
- Баврин И. И. Сельский учитель С. А. Рачинский и его задачи для умственного счета. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.20
- Жмурова И. Ю. Опыт использования проектной деятельности в профессиональной подготовке учителя математики //Уральский научный вестник. 2016. Т. 7. № 1. С. 34–38.
- Ященко И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике [Электронный ресурс] http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy (25.07.2016).
