Замечательный квадрат и проблемы математики



Введены понятия замечательный квадрат и средняя арифметическая площадь треугольника. С помощью их исследованы такие проблемы математики, как проблема бесконечно малых и бесконечно больших величин, проблема параллельных прямых, проблема континуума Кантора.

1. Замечательный квадрат. Рассмотрим единичный квадрат K≡ A₁ABB₁, сторона которого является единичным отрезком; |AA₁| = 1 (рис. 1). Проводим прямую CC, содержащую в себе отрезок A₁B₁. Определим на луче A₁C пункты C₂, C₃, …,C_n, … так, чтобы |A₁B₁| = |B₁C₂| = |C₂C₃| = … = |C_n–1C_n| = …. Проводим наклонные отрезки AB₁,AС₂, AC₃, …,AC_n, …, пересекающие отрезок B₁B в пунктах B₂, B₃, …,B_n, … соответственно. Из этих пунктов проводим горизонтальные отрезки A₂B₂, A₃B₃,…, A_nB_n, …, соединяющие две стороны A₁A и B₁B и параллельные в смысле Евклида стороне A₁B₁ квадрата K. Единичный квадрат K вместе с горизонтальными A₂B₂, A₃B₃,…, A_nB_n, … и наклонными отрезками AB₁,AB₂, …,AB_n, … называется замечательным квадратом.

Рис. 1.

Теорема 1. В замечательном квадратеK=A₁ABB₁: 1) горизонтальные отрезкиA₂B₂, A₃B₃,…, A_nB_n, … расположены так, что |B₁B_n| = 1–1/n; 2)наклонные отрезкиAB₁,AB₂, …,AB_n–1разделяют горизонтальный отрезокA_nB_nнаn равных частей длины1/n.

Доказательство. Наклонные отрезки AB₁,AB₂, …,AB_n–1 пересекают горизонтальный отрезок A_nB_n в точках A_n1, A_n2, …, A_n,n–1 и разделяют его на n частей. Из подобия треугольников AA_nB_n и AA₁C_nследует: |AA_n| = 1/n, |B₁B_n| = 1– 1/n. Из пропорций

следует утверждение теоремы.

2. Средняя арифметическая площадь треугольника. Обозначим через L() пря-мую, проходящую через точку P под углом  = (0  1) к перпендикуляру PQ, опущенному на прямую AA (рис. 2). Заметим, что L(1) представляет собой параллельную к AA прямую BB, а L(0) — перпендикулярную к AA прямую PQ. Откладываем на луче QAотрезки QQ₁, Q₁Q₂, …, Q_n–1Q_n, …, равные PQ. В пунктах Q₁, Q₂, …, Q_n, … луча QA восстановим перпендикуляры Q₁P₁, Q₂P₂, …, Q_nP_n, …. В результате полоса BPQA разбивается на квадраты. Прямая L() пересечет Q₁P₁ в пункте L₁, Q₂P₂ в пункте L₂ и т. д. (рис. 2).

Рис. 2.

Примем длину отрезка PQ равной единице. Пусть s₁ — площадь трапеции PL₁Q₁Q, s₂ — площадь трапеции L₁L₂Q₂Q₁ и т. д. Если прямая L() не пересечет Q_nP_n, то положим s_n+1 = s_n+2 = … = 0. Площадь треугольника T(), ограниченная прямыми PQ, QA, L() определяется суммой Рассмотрим n-ю частичную сумму данного ряда S_n [L()] = s₁ + s₂ + … + s_n. Величина называется средней арифметической площадью треугольника T() вединичном квадрате PP₁Q₁Q. Заметим, что фигура T(1) представляет собой полосу BPQA, для которой g [L(1)] = 1. Ясно, что когда площадь треугольника T() конечна, то g [L()] = 0. Представляет интерес случай, когда 1, т. е. когда угол  между прямыми линиями L() и PB является бесконечно малой величиной в смысле Коши.

Рассмотрим числовую последовательность {_n, n≥1}, удовлетворяющую условие tg_n = n. Отсюда имеем _n=arctgn, nN.

1. Пусть прямая L(_n) пересекает луч QAв точке Q_n. Тогда _n = _nи площадь треугольника PQQ_n равна S_n [L(_n)] = n/2. Отсюда имеем g [L(1– o)] = ½.

Рис. 3.

2. Пусть прямая L(_n) пересекает луч QAв точке Q_n (рис. 3), лежащей за точкой Q_n. Тогда _n>_n. Положим: |QQ_n| = cn, c > 1 (c= const). Прямая L(_n) пересекает перпендикуляр P_nQ_n в точке H. Отрезок Q_nH имеет длину x. Треугольники PQQ_n и HQ_nQ_n подобны, поэтому имеют место равенства 1/cn= x/(cn — n), x= 1–1/c. Отсюда находим площадь трапеции QQ_nHPS_n [L(_n)] = (1–1/2c)n. Следовательно, g [L(1– o)] = 1–1/2c.

3. Пусть в пункте 2 точка Q_n лежит перед точкой Q_n. Тогда _n < _n. Положим |QQ_n| = n/c, c>1. Площадь треугольника PQO_nS_n [L(_n)] = n/2c. Отсюда имеем g [L(1– o)] = 1/2c. Заметим, что если в пп. 2 и 3 положить c= 1, то получится результат п. 1.

4^. Пусть в п. 2^ |QQ_n| = 2ⁿ. Тогда справедливы соотношения:

S_n [L(_n)] = g [L(1– 0)] = 1.

5^. Пусть в п. 3^ |QQ_n| =. Тогда справедливы соотношения:

S_n [L(_n)] = g [L(1– 0)] = 0.

Длину отрезка QQ_n можно выразить через угол QPQ_n = (рис. 3) в виде равенства |QQ_n| = tg, которое может быть использовано для нахождения средней арифметической площади различных треугольников T().

6. Пусть _n = 1 — /n, где  — положительное число. Предположим, что _n < _n. Тогда

g [L(1– o)] = =tg.

Поскольку точка Q_n лежит перед точкой Q_n, то 1/ < 1/2 или  > 2/.

7. Пусть в п. 6_n>_n. Длина отрезка P_nH равна y= n tg(рис. 3). Так как x= 1 — y(см. п. 2), площадь трапеции QQ_nHPравна S_n [L(_n)] = (1 — y/2)n. Отсюда имеем

g [L(1– o)] = =

Поскольку Q_n лежит за точкой Q_n, то 1/2 < 1– /4 < 1 или 0 <  < 2/.

Заметим, что если в пп. 6 и 7 положить  = 2/, то получится g [L(1 — o)] = ½. Такой же результат получится, если в п. 1 точки Q_n и Q_n совпадают.

8. Пусть _n= 1–1/. Тогда _n < _n и также как в п. 6 получим

g [L(1– 0)] = =tg

9. Пусть _n= 1–1/2ⁿ. Тогда _n > _n и также как в п. 7 получим

g [L(1– 0)] =

3. Предел бесконечного деления. Полученные результаты могут быть рассмотрены как геометрическая интерпретация следующих пределов

Далее, с помощью замечательного квадрата будем изучать числовую последовательность {1/n, n≥1}, пределом которой является число нуль  ничто. В силу этого, соответствующая последовательность отрезков {A_nB_n, n≥1} стремится к отрезку АВ (рис. 1), которая представляет собой континуум (не имеет частей  ни один из отрезков AB_n, nN = {1, 2, …, n, …} не пересечет АВ), ибо каждая часть деления A_nА_nm в процессе деления укорачивается, стремится исчезнуть.

Отрезок A_nB_n с точками разделения A_nА_n1, A_nА_n2, A_nА_n3, … A_nА_nn-1 замечательного квадрата представим на отдельном рисунке 4.

Рис. 4.

Если взят ВВ_n = A_nА_n1 в качестве эталона длины (единичного отрезка), то A_nВ_n имеет длину n, что можно выразить в виде отношения

(1)

Поскольку |A_nB_n| =1, |A_nA_n1| =1/n, то равенство (1) может быть представлено в виде

(2)

Когда 1/nстремится к нулю, n, как длина отрезка при эталоне длины A_nА_n1, стремится к мощности континуума, ибо A_nB_n стремится к АВ. По Кантору континуум как множество точек отрезка имеет мощность континуума с. Следовательно, имеет место утверждение: когда 1/n 0, то nc, а не к бесконечности, выражаемой символом . Здесь бесконечность понимается как бесконечное множество единиц:  = {1, 1, 1, …}. Мощность (число элементов) бесконечного множества единиц обозначают буквой омега , хотя и , и  имеют одно и то же смысл.

Исходя из сказанных и равенства (2) мощность континуума символически может быть представлена в виде равенства

(3)

4. Проблема бесконечно малых ибесконечно больших величин. Континуум как отрезок реален, а по поводу реальности бесконечного множества нет однозначного ответа, имеется всего лишь аксиома бесконечности: бесконечное множество существует (Бурбаки) [1, c. 21].

Следующая цепочка рассуждений приводит к выводу, затрагивающему основание математики:

Вселенная бесконечна  существует луч CC' (рис. 1)  множество натуральных чисел N существует актуально  множество отрезков {AB₁, AC₂, AC₃, …, AC_n, …} (рис. 1) существует актуально  в замечательном квадрате имеется отрезок A_B_, состоящий из бесконечного числа равных частей A_A_1, A_1A_2, A_2A_3,..., A_,m-1A_m,..., длина которых равна .

Каждая из частей A_,m-1A_m (m ≥1) имеет протяженность, но она по сравнению с отрезком A_B_, в котором таких частей бесконечное множество, равна нулю , ибо  1 =  (луч, имеющий бесконечную длину, не станет длиннее, если к началу его прибавляется единичный отрезок,  не станет короче, если от начала отнимается единичный отрезок). Между тем, A_,m-1A_m не точка, а отрезок, поэтому ее длина не истинный (абсолютный), а вырожденный (относительный) нуль. Вырожденного нуля обозначим буквой о. Отсюда имеет место равенство . Следовательно, . Ввиду (3) данное отношение может быть названо вырожденным континуумом.

Здесь уместно взглянуть в историю бесконечно малых величин.

Когда в первой половине XVII в. Кеплер и Кавальери ввели в научное употребление понятие бесконечно малой величины, то она представлялась им как актуальная бесконечно малая величина, постоянная и неизменная, образующаяся в итоге завершения процесса бесконечного деления конечной величины. На эту точку зрения встали и другие математики того времени [2, c. 94].Много сделал для того, чтобы утвердить концепцию бесконечной делимости, Л. Эйлер. Он опирался при этом, по-видимому, не столько на математику, сколько на физику и даже биологию, отмечая, что протяженность всегда имеет величину, а всякая величина делима. Чем больше частей, тем они ближе будут к нулю, «но сущими нулями не будут», пишет он «…Два нуля могут иметь друг другу любое геометрическое отношение», пишет Эйлер, и поэтому нельзя смешивать различные нули, которыми являются различные бесконечно малые величины. Все же диалектическая идея Эйлера о содержательности нуля не нашла последователей среди крупных математиков не столько из-за несообразностей в рассуждениях, сколько из-за всеобщего распространения метафизического мышления [3, c. 71].

Поскольку вырожденный нуль равен абсолютному нулю, то вырожденный континуум равен континууму, т. е.

 = с.

Это равенство может быть истолковано как, как «бесконечность есть континуум». Именно такую трактовку в свое время выдвигал Лейбниц.

Г. В. Лейбниц, размышляя о непрерывности отметил: «Все непрерывное бесконечно» [3, с. 51]. Он в соответствии с принципом непрерывности своей философии понимает «истинное бесконечное» как не имеющее частей, нерасчлененное абсолютное. «Истинная бесконечность, — пишет он, — в точном смысле слова заключается лишь в абсолютном, которое предшествует всякому соединению и не образовано путем прибавления частей» [3, с. 44–45].

Итак, бесконечно малые величины — это вырожденные нули, а бесконечно большие величины  это вырожденные континуумы. Бесконечность есть континуум.

5. Проблема параллельных прямых. Как было выяснено в п. 4, из посылки «множество натуральных чисел N существует актуально» следует вывод «в замечательном квадрате имеется отрезок A_B_, состоящий из бесконечного числа равных частей, длина которых равна ». Если через точек A и B_ провести прямую, то она имеет такое положение L(η_*) в полосе DD'C'C (рис. 1), что средняя арифметический площадь треугольника Т(η_*) равна ½. Действительно, числовая последовательность {1/n, n≥1} стремясь к нулю достигнет вырожденного нуля 1/ = о. Соответствующая числовая последовательность прямых {L(η_n), n≥1}, где (см. п. 1°) достигнет такого положения L(η_) при котором g [L(η_)] = ½. Если рассмотреть числовую последовательность {_n, n≥1}, где (см. п. 2), то когда 1/n 0 величина η_n η_ = 1 о', а угол _n_ = (вырожденному прямому углу), где o'' =  вырожденный нуль.

Прямая L(η_), частью которой является луч AC', представляет собой параллельную в смысле Лобачевского прямой CC' по направлению A₁C' для точки А. Следует заметить, что отрезок АВ_ является частью луча AC'. В геометрии Лобачевского прямая DD' (рис. 1) называется сверхпараллельной линией к прямой СС'. Эти рассуждения позволяют сформулировать теорему.

Теорема 2. Аксиома Лобачевского о параллельных прямых верна.

Идея Эйлера о различных нулях свое время была игнорирована, и это привело к тому, что угол ε между прямыми L(η_) и DD' т. е.угол ВАВ_был принять Лобачевским больше нуля, а в самом деле он представлет собой вырожденный нуль ε = .

6. Проблема континуума Кантора. Заметим, что tg(A₁AC') = tg(A₁AВ_) =  (луч A₁C' имеет длину ) и tg(A₁AD') = tg(A₁AВ) = с (отрезок АВ не имеет частей).

Континуум-гипотеза Кантора может быть сформулирована так: между лучамиACи ADникаких лучей, исходящих из точкиA не существуют. Возможно и такая трактовка континуум-гипотезы: между отрезкамиABи A В_никаких отрезков не существуют. Но отрезок BВ_ в замечательном квадрате может быть разделен на две части. Это значит, что между отрезками ABи AВ_может находиться еще один отрезок A_В_. Из этих рассуждений вытекает следующая

Теорема 3. Между мощностью  и мощностью континуума с имеется промежуточ-ная мощность .

Следствие 1. Континуум- гипотеза Кантора неверна.

7. Множество натуральных чисел. Для полноты изложенных результатов, представим теорему, касающейся множества натуральных чисел.

В основе математики лежит следующее

Высказывание 1. Каждый элемент множества натуральных чисел N конечное число, а само N — бесконечное множество.

Насколько верно такое утверждение покажет следующая

Теорема 4. Если бесконечное множество единиц  = {1, 1, 1, …} существует, то оно является элементом множества натуральных чисел, т. е. N.

Доказтельство. Рассмотрим бесконечную прямоугольную матрицу

.

Каждая строка P_n, диагональ D, совокупность номеров строк S матрицы P представляет собой множество натуральных чисел N. Удалим из P все наддиагональные элементы. В результате получим бесконечную треугольную матрицу

.

T_n —n-я строка матрицы T представляет собой отрезок N_n = {1, 2, 3, …, n} множества натуральных чисел N. В этой связи матрица T может быть представлена в виде T = {N₁, N₂,N₃, …}. Согласно высказыванию 1 каждый отрезок N_n из T имеет конечную длину или, то же самое, каждая строка T_n матрицы T содержит конечное число элементов. Это значит, что у матрицы T нет строки с бесконечным числом элементов, т. е. NT.

Между тем, когда удаляются наддиагональные элементы матрицы P, число столбцов «не уменьшается», оно остается быть бесконечным. Этот факт может быть установлен из следующих соображений. Обозначим n-й столбец матрицы P, состоящий из одних n, через E_n. Матрицу P представим в виде P= {E₁,E₂,E₃, …}. В диагонали D каждый столбец E_n имеет своего «представителя» — число n. Когда удаляются наддиагональные элементы матрицы P, часть элементов столбцов E₁,E₂,E₃, … исчезает, но ни один из них не исчезает полностью, ибо элементы диагонали D остаются в сохранности. Отсюда можем заключить, что матрица T имеет бесконечное число столбцов. А это возможно только в том случае, когда матрица T имеет строку с бесконечным числом элементов, т. е., когда NT.

Таким образом, если мы исходим из положения, что каждый элемент множества натуральных чисел N является конечным числом, то приходим к выводу NT. Если же мы исходим из положения, что множество натуральных чиселNявляется бесконечным множеством, то приходим к выводу NT. Отсюда следует

Следствие 2. Высказывание 1 ложно.

Понятия «замечательный квадрат» и средняя арифметическая площадь треугольника» появились в результате исследования марковской игры «Большой матч» [4–7].

Литература:

1. Наан Г. И. Понятие бесконечности в математике и космологии // Бесконечность и Вселенная. М.: Мысль, 1969. 325 с.
2. Свидерский В. И., Кармин А. С. Конечное и бесконечное: Философский аспект проблемы. М.: Наука, 1966. 320 с.
3. Бурова И. Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. На материалах истории философии и математики. М.: Наука, 1987. 134 с.
4. Ибрагимов А. А. Существование значения в общих марковских играх // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. № 2. С.5–15.
5. Ибрагимов А. А. Марковская игра «Большой матч» в классе стационарных стратегий // Журнал «Молодой ученый» № 4 (84), март, 2015 г. Москва. С. 4–7.
6. Ибрагимов А. А. Решение общей марковской игры путем аппроксимации ее игрой с переоценкой // Журнал «Молодой ученый» № 13 (117), июль-1, 2016 г. Москва.