Поиск равновесных решений в модели страхования



Рассматривается модель вертикальной дифференциации на рынке страхования, предложенная и исследованная в работах [4], [5], [6], [7], [8]. Конкуренция двух фирм моделируется с помощью двухшаговой игры (первый шаг — выбор качества предоставляемой услуги, второй шаг — выбор цен), при этом каждый потребитель выбирает страховую услугу, максимизируя собственную функцию потребительского излишка, и единственный параметр неоднородности потребителей — вероятность наступления страхового случая.

Ключевые слова: страхование, вертикальная дифференциация, равновесие, дуополия

Неотъемлемой частью современной экономики является сфера страхования. Человеческая жизнь устроена так, что невозможно исключить возникновение непредвиденных ситуаций, вызванных явлениями природы или обстоятельствами, которые не зависят от воли и желания человека. Эти неблагоприятные события, среди которых наиболее распространены стихийные бедствия и несчастные случаи, могут привести к значительным материальным убыткам, ущербу здоровья или потере трудоспособности. Отсюда возникает необходимость поиска путей минимизации указанных потерь, что и обусловило появление и развитие страхования.

Каждая фирма при выборе своего стратегического решения наряду с эластичностью спроса и структурой собственных издержек, должна принимать во внимание возможную реакцию своих конкурентов. Таким образом, задача стратегической конкуренции нескольких фирм в условиях олигополии относится к классу задач принятия решений в условиях конфликта и неопределённости, для исследования которых применяется инструментарий математической теории игр [1], [2]. Для построения SPE (subgameperfectequilibrium) в позиционной игре будет использована попятно-рекуррентная процедура, то есть в рассматриваемой нами двухшаговой игре мы будем начинать со второго шага [3].

Базовые предпосылки модели.

1. Потребители формируют собственные оценки качества предлагаемых им услуг, которые играют роль как в определении верхней границы цены , приемлемой для данных потребителей, так и в выборе конкретной услуги из качества доступных.
2. Потребители в разной степени готовы платить большую цену за повышение качества предлагаемых услуг. Обозначим за параметр, определяющий вероятность страхового случая потребителя:

3. Множество стратегий фирмы — это всевозможные вектора , где — качество предлагаемых услуг, — цена

Перейдём к формализованному описанию двухшаговой теоретико-игровой модели вертикальной дифференциации в условиях олигополистической конкуренции.

На первом этапе фирмы одновременно выбирают уровни качества , достижение которых требует издержек . При этом

.....................................................(1)

C точки зрения потребителей услуги являются заменителями, и в рассматриваемый промежуток времени потребитель может приобрести не более одной услуги.

На втором шаге (этап ценовой конкуренции) фирмы, зная вектор выбранных на первом шаге уровней качеств , одновременно назначают цены на свои услуги соответственно.

Каждый потребитель из числа S (далее будем считать, что ) стремится максимизировать свою функцию потребительского излишка следующего вида:

где — параметр, который показывает вероятность страхового случая потребителя. Чем больше вероятность страхового случая, тем большую цену готов заплатить потребитель за услуги страхования. Предполагается, что мы рассматриваем случай обязательного страхования, а также, что параметр t — случайная величина, равномерно распределённая на отрезке . Реакция потребителей на вектор однозначно определяет доли рынка и доход каждой из фирм (см. Рис. 1). Цель фирм — максимизация прибыли от реализации своих услуг за рассматриваемый период.

Рис. 1. График самоотбора потребителей

Точка на Рис. 1. отвечает потребителю, которому покупка услуги той или иной фирмы в равной степени привлекательна.

Все потребители, для которых параметр , выберут услуги первой фирмы, а все потребители, для которых параметр , выберут товар второй фирмы. Так как доли рынка должны быть неотрицательны, необходимо ввести ограничение:

.......................................................(2)

Функции ожидаемой прибыли обеих фирм могут быть записаны в виде:

.....................................................(3)

.......................................................(4)

где — это затраты на улучшение качества (постоянные издержки), — средний размер страхового возмещения, а — ожидаемые затраты по сопровождению страхового случая потребителя с параметром (costoftheclaimshandingprocedure).

Для построения абсолютного равновесия мы будем использовать “попятно-рекуррентную процедуру”. То есть на первом шаге мы будем рассматривать этап ценовой конкуренции и строить SPE. В соответствии с построенным равновесием далее будем рассматривать первый этап — конкуренцию по качеству.

Рассмотрим модель конкуренции “лидер-последователь” и построим равновесие по Штакельбергу в ценах при условии того, что фирма 2 будет лидером, а фирма 1 — ведомым, также найдём оптимальные параметры цен и качеств для обеих фирм.

Равновесие по Штакельбергу на этапе ценовой конкуренции

Найдём функцию реакции фирмы 1 из формулы (3):

.....................................................(5)

при условии ограничений (2).

Выразим из (5) :

.......................................................(6)

Принимая во внимание такое поведение фирмы 1, составим функцию ожидаемой прибыли для фирмы . Подставив (6) в (4), мы получим функцию прибыли для фирмы 2:

(7)

Функция (7) имеет единственный максимум когда

так как Следовательно, можно сформулировать следующее утверждение:

Утверждение: Вектор цен (8) образует 2-равновесие по Штакельбергу на втором шаге двухшаговой игры в модели страхования для любых , удовлетворяющих условиям (1) и (2).

.......................................................(8)

Далее рассмотрим этап конкуренции по качеству, предполагая, что FC(q)=0. С учётом (8) функция ожидаемой прибыли фирмы 2 будет выглядеть:

....................................................

Тогда при условии (1)

Значит, функция является возрастающей по переменной . Следовательно, оптимальный уровень качества фирмы 2 есть

Функция ожидаемой прибыли фирмы 1 может быть записана следующим образом

.....................................................

тогда, учитывая (1) и (7),

Значит, функция является убывающей по переменной . Следовательно, оптимальный уровень качества фирмы 1 есть

Заключение.

Было построено равновесие по Штакльбергу с ценах при условии того что фирма 2 лидер, а фирма 1 последователь. Так же было показано, что в рассматриваемой задаче присутствует максимальная дифференциация по качеству.

Литература:

1. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. СПб.: Лань, 2010. 448 c.
2. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. Изд. 2-е. СПб.: БХВ-Петербург, 2014. 432 с.
3. Петросян Л. А., Кузютин Д. В. Устойчивые решения позиционных игр. СПб.: Издательство СПбГУ, 2008. 326 c.
4. Kuzyutin D. V., Nikitina M. V., Smirnova N. V., Razgulyaeva L. N. The vertical differentiation model in the insurance market: costs structure and equilibria analysis // Contributions to Game Theory and Management, 2015. P. 176–186
5. Okura M. The vertical differentiation model in the insurance market // International Journal of Economics and Business Modeling, 2010. № 1(2). P. 12–14.
6. Schlesinger H., Schulenburg J. Search costs, switching cost and product heterogeneity in an insurance market // M. G. V. D. Journal of Risk and Insurance, 1991. № 58. P. 109–119.
7. Schlesinger H., Schulenburg J. Consumer information and decisions to switch Insurers. // M. G. V. D. Journal of Risk and Insurance, 1993. № 60. P. 591–615.
8. Tirole J. The theory of industrial organization. Cambridge: The MIT Press, MA. 1988. 943 p.